微分積分例

$y = 7 e^{x^{3} + 2} + \ln (x^{3} + 2)$

ステップ 1

総和則では、 $7 e^{x^{3} + 2} + \ln (x^{3} + 2)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [7 e^{x^{3} + 2}] + \frac{d}{d x} [\ln (x^{3} + 2)]$ です。

$\frac{d}{d x} [7 e^{x^{3} + 2}] + \frac{d}{d x} [\ln (x^{3} + 2)]$

ステップ 2

$\frac{d}{d x} [7 e^{x^{3} + 2}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1

$7$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $7 e^{x^{3} + 2}$ の微分係数は $7 \frac{d}{d x} [e^{x^{3} + 2}]$ です。

$7 \frac{d}{d x} [e^{x^{3} + 2}] + \frac{d}{d x} [\ln (x^{3} + 2)]$

ステップ 2.2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = x^{3} + 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $x^{3} + 2$ とします。

$7 (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x^{3} + 2]) + \frac{d}{d x} [\ln (x^{3} + 2)]$

ステップ 2.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ は $a^{u_{1}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$7 (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{3} + 2]) + \frac{d}{d x} [\ln (x^{3} + 2)]$

ステップ 2.2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $x^{3} + 2$ で置き換えます。

$7 (e^{x^{3} + 2} \frac{d}{d x} [x^{3} + 2]) + \frac{d}{d x} [\ln (x^{3} + 2)]$

ステップ 2.3

総和則では、 $x^{3} + 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2]$ です。

$7 (e^{x^{3} + 2} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2])) + \frac{d}{d x} [\ln (x^{3} + 2)]$

ステップ 2.4

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$7 (e^{x^{3} + 2} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [2])) + \frac{d}{d x} [\ln (x^{3} + 2)]$

ステップ 2.5

$2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$7 (e^{x^{3} + 2} (3 x^{2} + 0)) + \frac{d}{d x} [\ln (x^{3} + 2)]$

ステップ 2.6

$3 x^{2}$ と $0$ をたし算します。

$7 (e^{x^{3} + 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [\ln (x^{3} + 2)]$

ステップ 2.7

$3$ に $7$ をかけます。

$21 e^{x^{3} + 2} x^{2} + \frac{d}{d x} [\ln (x^{3} + 2)]$

ステップ 3

$\frac{d}{d x} [\ln (x^{3} + 2)]$ の値を求めます。

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ステップ 3.1

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = x^{3} + 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $x^{3} + 2$ とします。

$21 e^{x^{3} + 2} x^{2} + \frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{3} + 2]$

ステップ 3.1.2

$u_{2}$ に関する $\ln (u_{2})$ の微分係数は $\frac{1}{u_{2}}$ です。

$21 e^{x^{3} + 2} x^{2} + \frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [x^{3} + 2]$

ステップ 3.1.3

$u_{2}$ のすべての発生を $x^{3} + 2$ で置き換えます。

$21 e^{x^{3} + 2} x^{2} + \frac{1}{x^{3} + 2} \frac{d}{d x} [x^{3} + 2]$

ステップ 3.2

総和則では、 $x^{3} + 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2]$ です。

$21 e^{x^{3} + 2} x^{2} + \frac{1}{x^{3} + 2} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2])$

ステップ 3.3

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$21 e^{x^{3} + 2} x^{2} + \frac{1}{x^{3} + 2} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [2])$

ステップ 3.4

$2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$21 e^{x^{3} + 2} x^{2} + \frac{1}{x^{3} + 2} (3 x^{2} + 0)$

ステップ 3.5

$3 x^{2}$ と $0$ をたし算します。

$21 e^{x^{3} + 2} x^{2} + \frac{1}{x^{3} + 2} (3 x^{2})$

ステップ 3.6

$3$ と $\frac{1}{x^{3} + 2}$ をまとめます。

$21 e^{x^{3} + 2} x^{2} + \frac{3}{x^{3} + 2} x^{2}$

ステップ 3.7

$\frac{3}{x^{3} + 2}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$21 e^{x^{3} + 2} x^{2} + \frac{3 x^{2}}{x^{3} + 2}$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

項をまとめます。

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ステップ 4.1.1

$21 e^{x^{3} + 2} x^{2}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x^{3} + 2}{x^{3} + 2}$ を掛けます。

$\frac{21 e^{x^{3} + 2} x^{2} (x^{3} + 2)}{x^{3} + 2} + \frac{3 x^{2}}{x^{3} + 2}$

ステップ 4.1.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{21 e^{x^{3} + 2} x^{2} (x^{3} + 2) + 3 x^{2}}{x^{3} + 2}$

ステップ 4.2

項を並べ替えます。

$\frac{3 x^{2} + 21 e^{x^{3} + 2} x^{2} (x^{3} + 2)}{x^{3} + 2}$

微分積分 例

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