微分積分例

$y = \ln (x^{2} - 4 x + 4)$

ステップ 1

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = x^{2} - 4 x + 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2} - 4 x + 4$ とします。

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 4]$

ステップ 1.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 4]$

ステップ 1.3

$u$ のすべての発生を $x^{2} - 4 x + 4$ で置き換えます。

$\frac{1}{x^{2} - 4 x + 4} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 4]$

ステップ 2

微分します。

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ステップ 2.1

総和則では、 $x^{2} - 4 x + 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4]$ です。

$\frac{1}{x^{2} - 4 x + 4} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4])$

ステップ 2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{x^{2} - 4 x + 4} (2 x + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4])$

ステップ 2.3

$- 4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 4 x$ の微分係数は $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{1}{x^{2} - 4 x + 4} (2 x - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4])$

ステップ 2.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{x^{2} - 4 x + 4} (2 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4])$

ステップ 2.5

$- 4$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{x^{2} - 4 x + 4} (2 x - 4 + \frac{d}{d x} [4])$

ステップ 2.6

$4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $4$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{x^{2} - 4 x + 4} (2 x - 4 + 0)$

ステップ 2.7

$2 x - 4$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{x^{2} - 4 x + 4} (2 x - 4)$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

$\frac{1}{x^{2} - 4 x + 4} (2 x - 4)$ の因数を並べ替えます。

$(2 x - 4) \frac{1}{x^{2} - 4 x + 4}$

ステップ 3.2

完全平方式を利用して因数分解します。

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ステップ 3.2.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$(2 x - 4) \frac{1}{x^{2} - 4 x + 2^{2}}$

ステップ 3.2.2

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

ステップ 3.2.3

多項式を書き換えます。

$(2 x - 4) \frac{1}{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2}}$

ステップ 3.2.4

$a = x$ と $b = 2$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

$(2 x - 4) \frac{1}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 3.3

$2 x - 4$ に $\frac{1}{{(x - 2)}^{2}}$ をかけます。

$\frac{2 x - 4}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 3.4

$2$ を $2 x - 4$ で因数分解します。

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ステップ 3.4.1

$2$ を $2 x$ で因数分解します。

$\frac{2 (x) - 4}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 3.4.2

$2$ を $- 4$ で因数分解します。

$\frac{2 x + 2 \cdot - 2}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 3.4.3

$2$ を $2 x + 2 \cdot - 2$ で因数分解します。

$\frac{2 (x - 2)}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 3.5

$x - 2$ と ${(x - 2)}^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.5.1

$x - 2$ を $2 (x - 2)$ で因数分解します。

$\frac{(x - 2) \cdot 2}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 3.5.2

共通因数を約分します。

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ステップ 3.5.2.1

$x - 2$ を ${(x - 2)}^{2}$ で因数分解します。

$\frac{(x - 2) \cdot 2}{(x - 2) (x - 2)}$

ステップ 3.5.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{(x - 2) \cdot 2}{(x - 2) (x - 2)}$

ステップ 3.5.2.3

式を書き換えます。

$\frac{2}{x - 2}$

微分積分 例

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