微分積分例

$4 x^{3} - 9 x^{4}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

総和則では、 $4 x^{3} - 9 x^{4}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{4}]$ です。

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{4}]$

ステップ 1.1.2

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x^{3}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{4}]$

ステップ 1.1.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 9 x^{4}]$

ステップ 1.1.2.3

$3$ に $4$ をかけます。

$12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{4}]$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d x} [- 9 x^{4}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

$- 9$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 9 x^{4}$ の微分係数は $- 9 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ です。

$12 x^{2} - 9 \frac{d}{d x} [x^{4}]$

ステップ 1.1.3.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$12 x^{2} - 9 (4 x^{3})$

ステップ 1.1.3.3

$4$ に $- 9$ をかけます。

$12 x^{2} - 36 x^{3}$

ステップ 1.1.4

項を並べ替えます。

$f' (x) = - 36 x^{3} + 12 x^{2}$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $- 36 x^{3} + 12 x^{2}$ です。

$- 36 x^{3} + 12 x^{2}$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- 36 x^{3} + 12 x^{2} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$- 36 x^{3} + 12 x^{2} = 0$

ステップ 2.2

$- 12 x^{2}$ を $- 36 x^{3} + 12 x^{2}$ で因数分解します。

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ステップ 2.2.1

$- 12 x^{2}$ を $- 36 x^{3}$ で因数分解します。

$- 12 x^{2} (3 x) + 12 x^{2} = 0$

ステップ 2.2.2

$- 12 x^{2}$ を $12 x^{2}$ で因数分解します。

$- 12 x^{2} (3 x) - 12 x^{2} \cdot - 1 = 0$

ステップ 2.2.3

$- 12 x^{2}$ を $- 12 x^{2} (3 x) - 12 x^{2} (- 1)$ で因数分解します。

$- 12 x^{2} (3 x - 1) = 0$

ステップ 2.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x^{2} = 0$

$3 x - 1 = 0$

ステップ 2.4

$x^{2}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.4.1

$x^{2}$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} = 0$

ステップ 2.4.2

$x$ について $x^{2} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.4.2.1

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{0}$

ステップ 2.4.2.2

$\pm \sqrt{0}$ を簡約します。

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ステップ 2.4.2.2.1

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

ステップ 2.4.2.2.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 0$

ステップ 2.4.2.2.3

プラスマイナス $0$ は $0$ です。

$x = 0$

ステップ 2.5

$3 x - 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.5.1

$3 x - 1$ が $0$ に等しいとします。

$3 x - 1 = 0$

ステップ 2.5.2

$x$ について $3 x - 1 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.5.2.1

方程式の両辺に $1$ を足します。

$3 x = 1$

ステップ 2.5.2.2

$3 x = 1$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.5.2.2.1

$3 x = 1$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

ステップ 2.5.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.5.2.2.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.5.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

ステップ 2.5.2.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{1}{3}$

ステップ 2.6

最終解は $- 12 x^{2} (3 x - 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, \frac{1}{3}$

ステップ 3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 3.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $4 x^{3} - 9 x^{4}$ の値を求めます。

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ステップ 4.1

$x = 0$ での値を求めます。

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ステップ 4.1.1

$0$ を $x$ に代入します。

$4 {(0)}^{3} - 9 {(0)}^{4}$

ステップ 4.1.2

簡約します。

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ステップ 4.1.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.1.2.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$4 \cdot 0 - 9 {(0)}^{4}$

ステップ 4.1.2.1.2

$4$ に $0$ をかけます。

$0 - 9 {(0)}^{4}$

ステップ 4.1.2.1.3

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$0 - 9 \cdot 0$

ステップ 4.1.2.1.4

$- 9$ に $0$ をかけます。

$0 + 0$

ステップ 4.1.2.2

$0$ と $0$ をたし算します。

$0$

ステップ 4.2

$x = \frac{1}{3}$ での値を求めます。

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ステップ 4.2.1

$\frac{1}{3}$ を $x$ に代入します。

$4 {(\frac{1}{3})}^{3} - 9 {(\frac{1}{3})}^{4}$

ステップ 4.2.2

簡約します。

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ステップ 4.2.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.2.2.1.1

積の法則を $\frac{1}{3}$ に当てはめます。

$4 \frac{1^{3}}{3^{3}} - 9 {(\frac{1}{3})}^{4}$

ステップ 4.2.2.1.2

1のすべての数の累乗は1です。

$4 \frac{1}{3^{3}} - 9 {(\frac{1}{3})}^{4}$

ステップ 4.2.2.1.3

$3$ を $3$ 乗します。

$4 (\frac{1}{27}) - 9 {(\frac{1}{3})}^{4}$

ステップ 4.2.2.1.4

$4$ と $\frac{1}{27}$ をまとめます。

$\frac{4}{27} - 9 {(\frac{1}{3})}^{4}$

ステップ 4.2.2.1.5

積の法則を $\frac{1}{3}$ に当てはめます。

$\frac{4}{27} - 9 \frac{1^{4}}{3^{4}}$

ステップ 4.2.2.1.6

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{4}{27} - 9 \frac{1}{3^{4}}$

ステップ 4.2.2.1.7

$3$ を $4$ 乗します。

$\frac{4}{27} - 9 (\frac{1}{81})$

ステップ 4.2.2.1.8

$9$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.2.1.8.1

$9$ を $- 9$ で因数分解します。

$\frac{4}{27} + 9 (- 1) \frac{1}{81}$

ステップ 4.2.2.1.8.2

$9$ を $81$ で因数分解します。

$\frac{4}{27} + 9 \cdot - 1 \frac{1}{9 \cdot 9}$

ステップ 4.2.2.1.8.3

共通因数を約分します。

$\frac{4}{27} + 9 \cdot - 1 \frac{1}{9 \cdot 9}$

ステップ 4.2.2.1.8.4

式を書き換えます。

$\frac{4}{27} - 1 (\frac{1}{9})$

ステップ 4.2.2.1.9

$- 1 (\frac{1}{9})$ を $- (\frac{1}{9})$ に書き換えます。

$\frac{4}{27} - \frac{1}{9}$

ステップ 4.2.2.2

$- \frac{1}{9}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$\frac{4}{27} - \frac{1}{9} \cdot \frac{3}{3}$

ステップ 4.2.2.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $27$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 4.2.2.3.1

$\frac{1}{9}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$\frac{4}{27} - \frac{3}{9 \cdot 3}$

ステップ 4.2.2.3.2

$9$ に $3$ をかけます。

$\frac{4}{27} - \frac{3}{27}$

ステップ 4.2.2.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{4 - 3}{27}$

ステップ 4.2.2.5

$4$ から $3$ を引きます。

$\frac{1}{27}$

ステップ 4.3

点のすべてを一覧にします。

$(0, 0), (\frac{1}{3}, \frac{1}{27})$

ステップ 5

微分積分 例

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