微分積分例

$y = {(\cot (x) - \csc (x))}^{- 1}$

ステップ 1

$f (x) = x^{- 1}$ および $g (x) = \cot (x) - \csc (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\cot (x) - \csc (x)$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [\cot (x) - \csc (x)]$

ステップ 1.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [\cot (x) - \csc (x)]$

ステップ 1.3

$u$ のすべての発生を $\cot (x) - \csc (x)$ で置き換えます。

$- {(\cot (x) - \csc (x))}^{- 2} \frac{d}{d x} [\cot (x) - \csc (x)]$

ステップ 2

総和則では、 $\cot (x) - \csc (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\cot (x)] + \frac{d}{d x} [- \csc (x)]$ です。

$- {(\cot (x) - \csc (x))}^{- 2} (\frac{d}{d x} [\cot (x)] + \frac{d}{d x} [- \csc (x)])$

ステップ 3

$x$ に関する $\cot (x)$ の微分係数は $- \csc^{2} (x)$ です。

$- {(\cot (x) - \csc (x))}^{- 2} (- \csc^{2} (x) + \frac{d}{d x} [- \csc (x)])$

ステップ 4

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \csc (x)$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [\csc (x)]$ です。

$- {(\cot (x) - \csc (x))}^{- 2} (- \csc^{2} (x) - \frac{d}{d x} [\csc (x)])$

ステップ 5

$x$ に関する $\csc (x)$ の微分係数は $- \csc (x) \cot (x)$ です。

$- {(\cot (x) - \csc (x))}^{- 2} (- \csc^{2} (x) - (- \csc (x) \cot (x)))$

ステップ 6

掛け算します。

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ステップ 6.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$- {(\cot (x) - \csc (x))}^{- 2} (- \csc^{2} (x) + 1 (\csc (x) \cot (x)))$

ステップ 6.2

$\csc (x)$ に $1$ をかけます。

$- {(\cot (x) - \csc (x))}^{- 2} (- \csc^{2} (x) + \csc (x) \cot (x))$

微分積分 例