微分積分例

$y = \frac{5 x^{2}}{\ln (| 3 x |)}$

ステップ 1

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{5 x^{2}}{\ln (| 3 x |)}$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{\ln (| 3 x |)}]$ です。

$5 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{\ln (| 3 x |)}]$

ステップ 2

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = \ln (| 3 x |)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$5 \frac{\ln (| 3 x |) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (| 3 x |)]}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

ステップ 3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5 \frac{\ln (| 3 x |) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (| 3 x |)]}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

ステップ 4

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = | 3 x |$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 4.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $| 3 x |$ とします。

$5 \frac{\ln (| 3 x |) (2 x) - x^{2} (\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [| 3 x |])}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

ステップ 4.2

$u_{1}$ に関する $\ln (u_{1})$ の微分係数は $\frac{1}{u_{1}}$ です。

$5 \frac{\ln (| 3 x |) (2 x) - x^{2} (\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [| 3 x |])}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

ステップ 4.3

$u_{1}$ のすべての発生を $| 3 x |$ で置き換えます。

$5 \frac{\ln (| 3 x |) (2 x) - x^{2} (\frac{1}{| 3 x |} \frac{d}{d x} [| 3 x |])}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

ステップ 5

$\frac{1}{| 3 x |}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$5 \frac{\ln (| 3 x |) (2 x) - \frac{x^{2}}{| 3 x |} \frac{d}{d x} [| 3 x |]}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

ステップ 6

$f (x) = | x |$ および $g (x) = 3 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 6.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $3 x$ とします。

$5 \frac{\ln (| 3 x |) (2 x) - \frac{x^{2}}{| 3 x |} (\frac{d}{d u_{2}} [| u_{2} |] \frac{d}{d x} [3 x])}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

ステップ 6.2

$u_{2}$ に関する $| u_{2} |$ の微分係数は $\frac{u_{2}}{| u_{2} |}$ です。

$5 \frac{\ln (| 3 x |) (2 x) - \frac{x^{2}}{| 3 x |} (\frac{u_{2}}{| u_{2} |} \frac{d}{d x} [3 x])}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

ステップ 6.3

$u_{2}$ のすべての発生を $3 x$ で置き換えます。

$5 \frac{\ln (| 3 x |) (2 x) - \frac{x^{2}}{| 3 x |} (\frac{3 x}{| 3 x |} \frac{d}{d x} [3 x])}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

ステップ 7

$\frac{3 x}{| 3 x |}$ に $\frac{x^{2}}{| 3 x |}$ をかけます。

$5 \frac{\ln (| 3 x |) (2 x) - \frac{3 x \cdot x^{2}}{| 3 x | | 3 x |} \frac{d}{d x} [3 x]}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

ステップ 8

指数を足して $x$ に $x^{2}$ を掛けます。

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ステップ 8.1

$x^{2}$ を移動させます。

$5 \frac{\ln (| 3 x |) (2 x) - \frac{3 (x^{2} x)}{| 3 x | | 3 x |} \frac{d}{d x} [3 x]}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

ステップ 8.2

$x^{2}$ に $x$ をかけます。

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ステップ 8.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$5 \frac{\ln (| 3 x |) (2 x) - \frac{3 (x^{2} x^{1})}{| 3 x | | 3 x |} \frac{d}{d x} [3 x]}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

ステップ 8.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$5 \frac{\ln (| 3 x |) (2 x) - \frac{3 x^{2 + 1}}{| 3 x | | 3 x |} \frac{d}{d x} [3 x]}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

ステップ 8.3

$2$ と $1$ をたし算します。

$5 \frac{\ln (| 3 x |) (2 x) - \frac{3 x^{3}}{| 3 x | | 3 x |} \frac{d}{d x} [3 x]}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

ステップ 9

絶対値を乗算するために、各絶対値の内側にある項を乗算します。

$5 \frac{\ln (| 3 x |) (2 x) - \frac{3 x^{3}}{| 3 x (3 x) |} \frac{d}{d x} [3 x]}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

ステップ 10

$3$ に $3$ をかけます。

$5 \frac{\ln (| 3 x |) (2 x) - \frac{3 x^{3}}{| 9 x \cdot x |} \frac{d}{d x} [3 x]}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

ステップ 11

$x$ を $1$ 乗します。

$5 \frac{\ln (| 3 x |) (2 x) - \frac{3 x^{3}}{| 9 (x^{1} x) |} \frac{d}{d x} [3 x]}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

ステップ 12

$x$ を $1$ 乗します。

$5 \frac{\ln (| 3 x |) (2 x) - \frac{3 x^{3}}{| 9 (x^{1} x^{1}) |} \frac{d}{d x} [3 x]}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

ステップ 13

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$5 \frac{\ln (| 3 x |) (2 x) - \frac{3 x^{3}}{| 9 x^{1 + 1} |} \frac{d}{d x} [3 x]}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

ステップ 14

$1$ と $1$ をたし算します。

$5 \frac{\ln (| 3 x |) (2 x) - \frac{3 x^{3}}{| 9 x^{2} |} \frac{d}{d x} [3 x]}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

ステップ 15

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$5 \frac{\ln (| 3 x |) (2 x) - \frac{3 x^{3}}{| 9 x^{2} |} (3 \frac{d}{d x} [x])}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

ステップ 16

分数をまとめます。

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ステップ 16.1

$3$ に $- 1$ をかけます。

$5 \frac{\ln (| 3 x |) (2 x) - 3 \frac{3 x^{3}}{| 9 x^{2} |} \frac{d}{d x} [x]}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

ステップ 16.2

$- 3$ と $\frac{3 x^{3}}{| 9 x^{2} |}$ をまとめます。

$5 \frac{\ln (| 3 x |) (2 x) + \frac{- 3 (3 x^{3})}{| 9 x^{2} |} \frac{d}{d x} [x]}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

ステップ 16.3

式を簡約します。

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ステップ 16.3.1

$3$ に $- 3$ をかけます。

$5 \frac{\ln (| 3 x |) (2 x) + \frac{- 9 x^{3}}{| 9 x^{2} |} \frac{d}{d x} [x]}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

ステップ 16.3.2

分数の前に負数を移動させます。

$5 \frac{\ln (| 3 x |) (2 x) - \frac{9 x^{3}}{| 9 x^{2} |} \frac{d}{d x} [x]}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

ステップ 17

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5 \frac{\ln (| 3 x |) (2 x) - \frac{9 x^{3}}{| 9 x^{2} |} \cdot 1}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

ステップ 18

分数をまとめます。

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ステップ 18.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$5 \frac{\ln (| 3 x |) (2 x) - \frac{9 x^{3}}{| 9 x^{2} |}}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

ステップ 18.2

$5$ と $\frac{\ln (| 3 x |) (2 x) - \frac{9 x^{3}}{| 9 x^{2} |}}{\ln^{2} (| 3 x |)}$ をまとめます。

$\frac{5 (\ln (| 3 x |) (2 x) - \frac{9 x^{3}}{| 9 x^{2} |})}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

ステップ 19

簡約します。

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ステップ 19.1

分配則を当てはめます。

$\frac{5 (\ln (| 3 x |) (2 x)) + 5 (- \frac{9 x^{3}}{| 9 x^{2} |})}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

ステップ 19.2

分子を簡約します。

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ステップ 19.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 19.2.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{5 (2 \ln (| 3 x |) x) + 5 (- \frac{9 x^{3}}{| 9 x^{2} |})}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

ステップ 19.2.1.2

絶対値から非負の項を削除します。

$\frac{5 (2 \ln (3 | x |) x) + 5 (- \frac{9 x^{3}}{| 9 x^{2} |})}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

ステップ 19.2.1.3

対数の中の $2$ を移動させて $2 \ln (3 | x |)$ を簡約します。

$\frac{5 (\ln ({(3 | x |)}^{2}) x) + 5 (- \frac{9 x^{3}}{| 9 x^{2} |})}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

ステップ 19.2.1.4

積の法則を $3 | x |$ に当てはめます。

$\frac{5 (\ln (3^{2} {| x |}^{2}) x) + 5 (- \frac{9 x^{3}}{| 9 x^{2} |})}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

ステップ 19.2.1.5

$3$ を $2$ 乗します。

$\frac{5 (\ln (9 {| x |}^{2}) x) + 5 (- \frac{9 x^{3}}{| 9 x^{2} |})}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

ステップ 19.2.1.6

偶数乗をもつ累乗法は常に正なので、 ${| x |}^{2}$ の絶対値を削除します。

$\frac{5 (\ln (9 x^{2}) x) + 5 (- \frac{9 x^{3}}{| 9 x^{2} |})}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

ステップ 19.2.1.7

$5 (\ln (9 x^{2}) x)$ を掛けます。

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ステップ 19.2.1.7.1

$\ln (9 x^{2})$ と $5$ を並べ替えます。

$\frac{5 \cdot \ln (9 x^{2}) x + 5 (- \frac{9 x^{3}}{| 9 x^{2} |})}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

ステップ 19.2.1.7.2

対数の中の $5$ を移動させて $5 \cdot \ln (9 x^{2})$ を簡約します。

$\frac{\ln ({(9 x^{2})}^{5}) x + 5 (- \frac{9 x^{3}}{| 9 x^{2} |})}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

ステップ 19.2.1.8

積の法則を $9 x^{2}$ に当てはめます。

$\frac{\ln (9^{5} {(x^{2})}^{5}) x + 5 (- \frac{9 x^{3}}{| 9 x^{2} |})}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

ステップ 19.2.1.9

$9$ を $5$ 乗します。

$\frac{\ln (59049 {(x^{2})}^{5}) x + 5 (- \frac{9 x^{3}}{| 9 x^{2} |})}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

ステップ 19.2.1.10

${(x^{2})}^{5}$ の指数を掛けます。

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ステップ 19.2.1.10.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{\ln (59049 x^{2 \cdot 5}) x + 5 (- \frac{9 x^{3}}{| 9 x^{2} |})}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

ステップ 19.2.1.10.2

$2$ に $5$ をかけます。

$\frac{\ln (59049 x^{10}) x + 5 (- \frac{9 x^{3}}{| 9 x^{2} |})}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

ステップ 19.2.1.11

絶対値から非負の項を削除します。

$\frac{\ln (59049 x^{10}) x + 5 (- \frac{9 x^{3}}{9 x^{2}})}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

ステップ 19.2.1.12

$9$ の共通因数を約分します。

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ステップ 19.2.1.12.1

共通因数を約分します。

$\frac{\ln (59049 x^{10}) x + 5 (- \frac{9 x^{3}}{9 x^{2}})}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

ステップ 19.2.1.12.2

式を書き換えます。

$\frac{\ln (59049 x^{10}) x + 5 (- \frac{x^{3}}{x^{2}})}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

ステップ 19.2.1.13

$x^{3}$ と $x^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 19.2.1.13.1

$x^{2}$ を $x^{3}$ で因数分解します。

$\frac{\ln (59049 x^{10}) x + 5 (- \frac{x^{2} x}{x^{2}})}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

ステップ 19.2.1.13.2

共通因数を約分します。

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ステップ 19.2.1.13.2.1

$1$ を掛けます。

$\frac{\ln (59049 x^{10}) x + 5 (- \frac{x^{2} x}{x^{2} \cdot 1})}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

ステップ 19.2.1.13.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{\ln (59049 x^{10}) x + 5 (- \frac{x^{2} x}{x^{2} \cdot 1})}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

ステップ 19.2.1.13.2.3

式を書き換えます。

$\frac{\ln (59049 x^{10}) x + 5 (- \frac{x}{1})}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

ステップ 19.2.1.13.2.4

$x$ を $1$ で割ります。

$\frac{\ln (59049 x^{10}) x + 5 (- x)}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

ステップ 19.2.1.14

$- 1$ に $5$ をかけます。

$\frac{\ln (59049 x^{10}) x - 5 x}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

ステップ 19.2.2

$\ln (59049 x^{10}) x - 5 x$ の因数を並べ替えます。

$\frac{x \ln (59049 x^{10}) - 5 x}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

ステップ 19.3

$x$ を $x \ln (59049 x^{10}) - 5 x$ で因数分解します。

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ステップ 19.3.1

$x$ を $x \ln (59049 x^{10})$ で因数分解します。

$\frac{x (\ln (59049 x^{10})) - 5 x}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

ステップ 19.3.2

$x$ を $- 5 x$ で因数分解します。

$\frac{x (\ln (59049 x^{10})) + x \cdot - 5}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

ステップ 19.3.3

$x$ を $x (\ln (59049 x^{10})) + x \cdot - 5$ で因数分解します。

$\frac{x (\ln (59049 x^{10}) - 5)}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

ステップ 19.4

絶対値から非負の項を削除します。

$\frac{x (\ln (59049 x^{10}) - 5)}{\ln^{2} (3 | x |)}$

微分積分 例

微分積分例