微分積分例

$y = (1 + 2 x) e^{- 2 x}$

ステップ 1

$f (x) = 1 + 2 x$ および $g (x) = e^{- 2 x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$(1 + 2 x) \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}] + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [1 + 2 x]$

ステップ 2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = - 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $- 2 x$ とします。

$(1 + 2 x) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 2 x]) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [1 + 2 x]$

ステップ 2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$(1 + 2 x) (e^{u} \frac{d}{d x} [- 2 x]) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [1 + 2 x]$

ステップ 2.3

$u$ のすべての発生を $- 2 x$ で置き換えます。

$(1 + 2 x) (e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [- 2 x]) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [1 + 2 x]$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 x$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$(1 + 2 x) e^{- 2 x} (- 2 \frac{d}{d x} [x]) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [1 + 2 x]$

ステップ 3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(1 + 2 x) e^{- 2 x} (- 2 \cdot 1) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [1 + 2 x]$

ステップ 3.3

式を簡約します。

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ステップ 3.3.1

$- 2$ に $1$ をかけます。

$(1 + 2 x) e^{- 2 x} \cdot - 2 + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [1 + 2 x]$

ステップ 3.3.2

$- 2$ を $(1 + 2 x) e^{- 2 x}$ の左に移動させます。

$- 2 \cdot ((1 + 2 x) e^{- 2 x}) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [1 + 2 x]$

ステップ 3.4

総和則では、 $1 + 2 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x]$ です。

$- 2 (1 + 2 x) e^{- 2 x} + e^{- 2 x} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x])$

ステップ 3.5

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$- 2 (1 + 2 x) e^{- 2 x} + e^{- 2 x} (0 + \frac{d}{d x} [2 x])$

ステップ 3.6

$0$ と $\frac{d}{d x} [2 x]$ をたし算します。

$- 2 (1 + 2 x) e^{- 2 x} + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 3.7

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- 2 (1 + 2 x) e^{- 2 x} + e^{- 2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.8

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 2 (1 + 2 x) e^{- 2 x} + e^{- 2 x} (2 \cdot 1)$

ステップ 3.9

式を簡約します。

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ステップ 3.9.1

$2$ に $1$ をかけます。

$- 2 (1 + 2 x) e^{- 2 x} + e^{- 2 x} \cdot 2$

ステップ 3.9.2

$2$ を $e^{- 2 x}$ の左に移動させます。

$- 2 (1 + 2 x) e^{- 2 x} + 2 \cdot e^{- 2 x}$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

分配則を当てはめます。

$(- 2 \cdot 1 - 2 (2 x)) e^{- 2 x} + 2 e^{- 2 x}$

ステップ 4.2

分配則を当てはめます。

$- 2 \cdot 1 e^{- 2 x} - 2 (2 x) e^{- 2 x} + 2 e^{- 2 x}$

ステップ 4.3

項をまとめます。

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ステップ 4.3.1

$- 2$ に $1$ をかけます。

$- 2 e^{- 2 x} - 2 (2 x) e^{- 2 x} + 2 e^{- 2 x}$

ステップ 4.3.2

$2$ に $- 2$ をかけます。

$- 2 e^{- 2 x} - 4 x e^{- 2 x} + 2 e^{- 2 x}$

ステップ 4.3.3

$- 2 e^{- 2 x}$ と $2 e^{- 2 x}$ をたし算します。

$- 4 x e^{- 2 x} + 0$

ステップ 4.3.4

$- 4 x e^{- 2 x}$ と $0$ をたし算します。

$- 4 x e^{- 2 x}$

ステップ 4.4

$- 4 x e^{- 2 x}$ の因数を並べ替えます。

$- 4 e^{- 2 x} x$

ステップ 4.5

$- 4 e^{- 2 x} x$ の因数を並べ替えます。

$- 4 x e^{- 2 x}$

微分積分 例

微分積分例