微分積分例

$y = \frac{3 \tan (x)}{2 π - \sin (x)}$

ステップ 1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{3 \tan (x)}{2 π - \sin (x)}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [\frac{\tan (x)}{2 π - \sin (x)}]$ です。

$3 \frac{d}{d x} [\frac{\tan (x)}{2 π - \sin (x)}]$

ステップ 2

$f (x) = \tan (x)$ および $g (x) = 2 π - \sin (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$3 \frac{(2 π - \sin (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)] - \tan (x) \frac{d}{d x} [2 π - \sin (x)]}{{(2 π - \sin (x))}^{2}}$

ステップ 3

$x$ に関する $\tan (x)$ の微分係数は $\sec^{2} (x)$ です。

$3 \frac{(2 π - \sin (x)) \sec^{2} (x) - \tan (x) \frac{d}{d x} [2 π - \sin (x)]}{{(2 π - \sin (x))}^{2}}$

ステップ 4

微分します。

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ステップ 4.1

総和則では、 $2 π - \sin (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 π] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ です。

$3 \frac{(2 π - \sin (x)) \sec^{2} (x) - \tan (x) (\frac{d}{d x} [2 π] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)])}{{(2 π - \sin (x))}^{2}}$

ステップ 4.2

$2 π$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2 π$ の微分係数は $0$ です。

$3 \frac{(2 π - \sin (x)) \sec^{2} (x) - \tan (x) (0 + \frac{d}{d x} [- \sin (x)])}{{(2 π - \sin (x))}^{2}}$

ステップ 4.3

$0$ と $\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ をたし算します。

$3 \frac{(2 π - \sin (x)) \sec^{2} (x) - \tan (x) \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{{(2 π - \sin (x))}^{2}}$

ステップ 4.4

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \sin (x)$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ です。

$3 \frac{(2 π - \sin (x)) \sec^{2} (x) - \tan (x) (- \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{{(2 π - \sin (x))}^{2}}$

ステップ 4.5

掛け算します。

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ステップ 4.5.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$3 \frac{(2 π - \sin (x)) \sec^{2} (x) + 1 \tan (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{{(2 π - \sin (x))}^{2}}$

ステップ 4.5.2

$\tan (x)$ に $1$ をかけます。

$3 \frac{(2 π - \sin (x)) \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{{(2 π - \sin (x))}^{2}}$

ステップ 5

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$3 \frac{(2 π - \sin (x)) \sec^{2} (x) + \tan (x) \cos (x)}{{(2 π - \sin (x))}^{2}}$

ステップ 6

$3$ と $\frac{(2 π - \sin (x)) \sec^{2} (x) + \tan (x) \cos (x)}{{(2 π - \sin (x))}^{2}}$ をまとめます。

$\frac{3 ((2 π - \sin (x)) \sec^{2} (x) + \tan (x) \cos (x))}{{(2 π - \sin (x))}^{2}}$

ステップ 7

簡約します。

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ステップ 7.1

分配則を当てはめます。

$\frac{3 (2 π \sec^{2} (x) - \sin (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \cos (x))}{{(2 π - \sin (x))}^{2}}$

ステップ 7.2

分配則を当てはめます。

$\frac{3 (2 π \sec^{2} (x)) + 3 (- \sin (x) \sec^{2} (x)) + 3 (\tan (x) \cos (x))}{{(2 π - \sin (x))}^{2}}$

ステップ 7.3

分子を簡約します。

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ステップ 7.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 7.3.1.1

正弦と余弦に関して $\sec (x)$ を書き換えます。

$\frac{3 (2 π {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}) + 3 (- \sin (x) \sec^{2} (x)) + 3 (\tan (x) \cos (x))}{{(2 π - \sin (x))}^{2}}$

ステップ 7.3.1.2

積の法則を $\frac{1}{\cos (x)}$ に当てはめます。

$\frac{3 (2 π \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}) + 3 (- \sin (x) \sec^{2} (x)) + 3 (\tan (x) \cos (x))}{{(2 π - \sin (x))}^{2}}$

ステップ 7.3.1.3

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{3 (2 π \frac{1}{\cos^{2} (x)}) + 3 (- \sin (x) \sec^{2} (x)) + 3 (\tan (x) \cos (x))}{{(2 π - \sin (x))}^{2}}$

ステップ 7.3.1.4

$2 π \frac{1}{\cos^{2} (x)}$ を掛けます。

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ステップ 7.3.1.4.1

$\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{3 (\frac{2}{\cos^{2} (x)} π) + 3 (- \sin (x) \sec^{2} (x)) + 3 (\tan (x) \cos (x))}{{(2 π - \sin (x))}^{2}}$

ステップ 7.3.1.4.2

$\frac{2}{\cos^{2} (x)}$ と $π$ をまとめます。

$\frac{3 \frac{2 π}{\cos^{2} (x)} + 3 (- \sin (x) \sec^{2} (x)) + 3 (\tan (x) \cos (x))}{{(2 π - \sin (x))}^{2}}$

ステップ 7.3.1.5

$3 \frac{2 π}{\cos^{2} (x)}$ を掛けます。

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ステップ 7.3.1.5.1

$3$ と $\frac{2 π}{\cos^{2} (x)}$ をまとめます。

$\frac{\frac{3 (2 π)}{\cos^{2} (x)} + 3 (- \sin (x) \sec^{2} (x)) + 3 (\tan (x) \cos (x))}{{(2 π - \sin (x))}^{2}}$

ステップ 7.3.1.5.2

$2$ に $3$ をかけます。

$\frac{\frac{6 π}{\cos^{2} (x)} + 3 (- \sin (x) \sec^{2} (x)) + 3 (\tan (x) \cos (x))}{{(2 π - \sin (x))}^{2}}$

ステップ 7.3.1.6

正弦と余弦に関して $\sec (x)$ を書き換えます。

$\frac{\frac{6 π}{\cos^{2} (x)} + 3 (- \sin (x) {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}) + 3 (\tan (x) \cos (x))}{{(2 π - \sin (x))}^{2}}$

ステップ 7.3.1.7

積の法則を $\frac{1}{\cos (x)}$ に当てはめます。

$\frac{\frac{6 π}{\cos^{2} (x)} + 3 (- \sin (x) \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}) + 3 (\tan (x) \cos (x))}{{(2 π - \sin (x))}^{2}}$

ステップ 7.3.1.8

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{\frac{6 π}{\cos^{2} (x)} + 3 (- \sin (x) \frac{1}{\cos^{2} (x)}) + 3 (\tan (x) \cos (x))}{{(2 π - \sin (x))}^{2}}$

ステップ 7.3.1.9

$\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ と $\sin (x)$ をまとめます。

$\frac{\frac{6 π}{\cos^{2} (x)} + 3 (- \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}) + 3 (\tan (x) \cos (x))}{{(2 π - \sin (x))}^{2}}$

ステップ 7.3.1.10

$3 (- \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)})$ を掛けます。

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ステップ 7.3.1.10.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$\frac{\frac{6 π}{\cos^{2} (x)} - 3 \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + 3 (\tan (x) \cos (x))}{{(2 π - \sin (x))}^{2}}$

ステップ 7.3.1.10.2

$- 3$ と $\frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$ をまとめます。

$\frac{\frac{6 π}{\cos^{2} (x)} + \frac{- 3 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + 3 (\tan (x) \cos (x))}{{(2 π - \sin (x))}^{2}}$

ステップ 7.3.1.11

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{\frac{6 π}{\cos^{2} (x)} - \frac{3 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + 3 (\tan (x) \cos (x))}{{(2 π - \sin (x))}^{2}}$

ステップ 7.3.1.12

正弦と余弦について書き換え、次に共通因数を約分します。

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ステップ 7.3.1.12.1

正弦と余弦に関して $3 (\tan (x) \cos (x))$ を書き換えます。

$\frac{\frac{6 π}{\cos^{2} (x)} - \frac{3 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + 3 (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cos (x))}{{(2 π - \sin (x))}^{2}}$

ステップ 7.3.1.12.2

共通因数を約分します。

$\frac{\frac{6 π}{\cos^{2} (x)} - \frac{3 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + 3 \sin (x)}{{(2 π - \sin (x))}^{2}}$

ステップ 7.3.2

各項を簡約します。

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ステップ 7.3.2.1

$\cos (x)$ を $\cos^{2} (x)$ で因数分解します。

$\frac{\frac{6 π}{\cos^{2} (x)} - \frac{3 \sin (x)}{\cos (x) \cos (x)} + 3 \sin (x)}{{(2 π - \sin (x))}^{2}}$

ステップ 7.3.2.2

分数を分解します。

$\frac{\frac{6 π}{\cos^{2} (x)} - (\frac{3}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) + 3 \sin (x)}{{(2 π - \sin (x))}^{2}}$

ステップ 7.3.2.3

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ を $\tan (x)$ に変換します。

$\frac{\frac{6 π}{\cos^{2} (x)} - (\frac{3}{\cos (x)} \tan (x)) + 3 \sin (x)}{{(2 π - \sin (x))}^{2}}$

ステップ 7.3.2.4

分数を分解します。

$\frac{\frac{6 π}{\cos^{2} (x)} - (\frac{3}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} \tan (x)) + 3 \sin (x)}{{(2 π - \sin (x))}^{2}}$

ステップ 7.3.2.5

$\frac{1}{\cos (x)}$ を $\sec (x)$ に変換します。

$\frac{\frac{6 π}{\cos^{2} (x)} - (\frac{3}{1} \sec (x) \tan (x)) + 3 \sin (x)}{{(2 π - \sin (x))}^{2}}$

ステップ 7.3.2.6

$3$ を $1$ で割ります。

$\frac{\frac{6 π}{\cos^{2} (x)} - (3 \sec (x) \tan (x)) + 3 \sin (x)}{{(2 π - \sin (x))}^{2}}$

ステップ 7.3.2.7

$3$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{\frac{6 π}{\cos^{2} (x)} - 3 \sec (x) \tan (x) + 3 \sin (x)}{{(2 π - \sin (x))}^{2}}$

ステップ 7.4

項をまとめます。

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ステップ 7.4.1

$\frac{\frac{6 π}{\cos^{2} (x)} - 3 \sec (x) \tan (x) + 3 \sin (x)}{{(2 π - \sin (x))}^{2}}$ に $\frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ をかけます。

$\frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\frac{6 π}{\cos^{2} (x)} - 3 \sec (x) \tan (x) + 3 \sin (x)}{{(2 π - \sin (x))}^{2}}$

ステップ 7.4.2

まとめる。

$\frac{\cos^{2} (x) (\frac{6 π}{\cos^{2} (x)} - 3 \sec (x) \tan (x) + 3 \sin (x))}{\cos^{2} (x) {(2 π - \sin (x))}^{2}}$

ステップ 7.4.3

分配則を当てはめます。

$\frac{\cos^{2} (x) \frac{6 π}{\cos^{2} (x)} + \cos^{2} (x) (- 3 \sec (x) \tan (x)) + \cos^{2} (x) (3 \sin (x))}{\cos^{2} (x) {(2 π - \sin (x))}^{2}}$

ステップ 7.4.4

$\cos^{2} (x)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.4.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{\cos^{2} (x) \frac{6 π}{\cos^{2} (x)} + \cos^{2} (x) (- 3 \sec (x) \tan (x)) + \cos^{2} (x) (3 \sin (x))}{\cos^{2} (x) {(2 π - \sin (x))}^{2}}$

ステップ 7.4.4.2

式を書き換えます。

$\frac{6 π + \cos^{2} (x) (- 3 \sec (x) \tan (x)) + \cos^{2} (x) (3 \sin (x))}{\cos^{2} (x) {(2 π - \sin (x))}^{2}}$

ステップ 7.4.5

$3$ を $\cos^{2} (x)$ の左に移動させます。

$\frac{6 π + \cos^{2} (x) (- 3 \sec (x) \tan (x)) + 3 \cos^{2} (x) \sin (x)}{\cos^{2} (x) {(2 π - \sin (x))}^{2}}$

ステップ 7.5

項を並べ替えます。

$\frac{- 3 \cos^{2} (x) \sec (x) \tan (x) + 3 \cos^{2} (x) \sin (x) + 6 π}{\cos^{2} (x) {(2 π - \sin (x))}^{2}}$

微分積分 例

微分積分例