微分積分例

$y = \frac{1}{4} \cdot \arctan (\frac{4 \sin (x)}{3 + 5 \cos (x)})$

ステップ 1

$\frac{1}{4}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{1}{4} \cdot \arctan (\frac{4 \sin (x)}{3 + 5 \cos (x)})$ の微分係数は $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\arctan (\frac{4 \sin (x)}{3 + 5 \cos (x)})]$ です。

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\arctan (\frac{4 \sin (x)}{3 + 5 \cos (x)})]$

ステップ 2

$f (x) = \arctan (x)$ および $g (x) = \frac{4 \sin (x)}{3 + 5 \cos (x)}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\frac{4 \sin (x)}{3 + 5 \cos (x)}$ とします。

$\frac{1}{4} (\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [\frac{4 \sin (x)}{3 + 5 \cos (x)}])$

ステップ 2.2

$u$ に関する $\arctan (u)$ の微分係数は $\frac{1}{1 + u^{2}}$ です。

$\frac{1}{4} (\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{4 \sin (x)}{3 + 5 \cos (x)}])$

ステップ 2.3

$u$ のすべての発生を $\frac{4 \sin (x)}{3 + 5 \cos (x)}$ で置き換えます。

$\frac{1}{4} (\frac{1}{1 + {(\frac{4 \sin (x)}{3 + 5 \cos (x)})}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{4 \sin (x)}{3 + 5 \cos (x)}])$

ステップ 3

定数倍の公式を使って微分します。

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ステップ 3.1

$\frac{1}{1 + {(\frac{4 \sin (x)}{3 + 5 \cos (x)})}^{2}}$ に $\frac{1}{4}$ をかけます。

$\frac{1}{(1 + {(\frac{4 \sin (x)}{3 + 5 \cos (x)})}^{2}) \cdot 4} \frac{d}{d x} [\frac{4 \sin (x)}{3 + 5 \cos (x)}]$

ステップ 3.2

$4$ を $1 + {(\frac{4 \sin (x)}{3 + 5 \cos (x)})}^{2}$ の左に移動させます。

$\frac{1}{4 \cdot (1 + {(\frac{4 \sin (x)}{3 + 5 \cos (x)})}^{2})} \frac{d}{d x} [\frac{4 \sin (x)}{3 + 5 \cos (x)}]$

ステップ 3.3

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{4 \sin (x)}{3 + 5 \cos (x)}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [\frac{\sin (x)}{3 + 5 \cos (x)}]$ です。

$\frac{1}{4 (1 + {(\frac{4 \sin (x)}{3 + 5 \cos (x)})}^{2})} (4 \frac{d}{d x} [\frac{\sin (x)}{3 + 5 \cos (x)}])$

ステップ 3.4

項を簡約します。

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ステップ 3.4.1

$4$ と $\frac{1}{4 (1 + {(\frac{4 \sin (x)}{3 + 5 \cos (x)})}^{2})}$ をまとめます。

$\frac{4}{4 (1 + {(\frac{4 \sin (x)}{3 + 5 \cos (x)})}^{2})} \frac{d}{d x} [\frac{\sin (x)}{3 + 5 \cos (x)}]$

ステップ 3.4.2

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.4.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{4}{4 (1 + {(\frac{4 \sin (x)}{3 + 5 \cos (x)})}^{2})} \frac{d}{d x} [\frac{\sin (x)}{3 + 5 \cos (x)}]$

ステップ 3.4.2.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{1 + {(\frac{4 \sin (x)}{3 + 5 \cos (x)})}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{\sin (x)}{3 + 5 \cos (x)}]$

ステップ 4

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = 3 + 5 \cos (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{1}{1 + {(\frac{4 \sin (x)}{3 + 5 \cos (x)})}^{2}} \cdot \frac{(3 + 5 \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)] - \sin (x) \frac{d}{d x} [3 + 5 \cos (x)]}{{(3 + 5 \cos (x))}^{2}}$

ステップ 5

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$\frac{1}{1 + {(\frac{4 \sin (x)}{3 + 5 \cos (x)})}^{2}} \cdot \frac{(3 + 5 \cos (x)) \cos (x) - \sin (x) \frac{d}{d x} [3 + 5 \cos (x)]}{{(3 + 5 \cos (x))}^{2}}$

ステップ 6

微分します。

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ステップ 6.1

総和則では、 $3 + 5 \cos (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [5 \cos (x)]$ です。

$\frac{1}{1 + {(\frac{4 \sin (x)}{3 + 5 \cos (x)})}^{2}} \cdot \frac{(3 + 5 \cos (x)) \cos (x) - \sin (x) (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [5 \cos (x)])}{{(3 + 5 \cos (x))}^{2}}$

ステップ 6.2

$3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $3$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{1 + {(\frac{4 \sin (x)}{3 + 5 \cos (x)})}^{2}} \cdot \frac{(3 + 5 \cos (x)) \cos (x) - \sin (x) (0 + \frac{d}{d x} [5 \cos (x)])}{{(3 + 5 \cos (x))}^{2}}$

ステップ 6.3

$0$ と $\frac{d}{d x} [5 \cos (x)]$ をたし算します。

$\frac{1}{1 + {(\frac{4 \sin (x)}{3 + 5 \cos (x)})}^{2}} \cdot \frac{(3 + 5 \cos (x)) \cos (x) - \sin (x) \frac{d}{d x} [5 \cos (x)]}{{(3 + 5 \cos (x))}^{2}}$

ステップ 6.4

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 \cos (x)$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ です。

$\frac{1}{1 + {(\frac{4 \sin (x)}{3 + 5 \cos (x)})}^{2}} \cdot \frac{(3 + 5 \cos (x)) \cos (x) - \sin (x) (5 \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{{(3 + 5 \cos (x))}^{2}}$

ステップ 6.5

$5$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{1 + {(\frac{4 \sin (x)}{3 + 5 \cos (x)})}^{2}} \cdot \frac{(3 + 5 \cos (x)) \cos (x) - 5 \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{{(3 + 5 \cos (x))}^{2}}$

ステップ 7

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$\frac{1}{1 + {(\frac{4 \sin (x)}{3 + 5 \cos (x)})}^{2}} \cdot \frac{(3 + 5 \cos (x)) \cos (x) - 5 \sin (x) (- \sin (x))}{{(3 + 5 \cos (x))}^{2}}$

ステップ 8

$- 1$ に $- 5$ をかけます。

$\frac{1}{1 + {(\frac{4 \sin (x)}{3 + 5 \cos (x)})}^{2}} \cdot \frac{(3 + 5 \cos (x)) \cos (x) + 5 \sin (x) \sin (x)}{{(3 + 5 \cos (x))}^{2}}$

ステップ 9

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{1 + {(\frac{4 \sin (x)}{3 + 5 \cos (x)})}^{2}} \cdot \frac{(3 + 5 \cos (x)) \cos (x) + 5 (\sin^{1} (x) \sin (x))}{{(3 + 5 \cos (x))}^{2}}$

ステップ 10

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{1 + {(\frac{4 \sin (x)}{3 + 5 \cos (x)})}^{2}} \cdot \frac{(3 + 5 \cos (x)) \cos (x) + 5 (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))}{{(3 + 5 \cos (x))}^{2}}$

ステップ 11

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1}{1 + {(\frac{4 \sin (x)}{3 + 5 \cos (x)})}^{2}} \cdot \frac{(3 + 5 \cos (x)) \cos (x) + 5 {\sin (x)}^{1 + 1}}{{(3 + 5 \cos (x))}^{2}}$

ステップ 12

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{1}{1 + {(\frac{4 \sin (x)}{3 + 5 \cos (x)})}^{2}} \cdot \frac{(3 + 5 \cos (x)) \cos (x) + 5 \sin^{2} (x)}{{(3 + 5 \cos (x))}^{2}}$

ステップ 13

$\frac{1}{1 + {(\frac{4 \sin (x)}{3 + 5 \cos (x)})}^{2}}$ に $\frac{(3 + 5 \cos (x)) \cos (x) + 5 \sin^{2} (x)}{{(3 + 5 \cos (x))}^{2}}$ をかけます。

$\frac{(3 + 5 \cos (x)) \cos (x) + 5 \sin^{2} (x)}{(1 + {(\frac{4 \sin (x)}{3 + 5 \cos (x)})}^{2}) {(3 + 5 \cos (x))}^{2}}$

ステップ 14

簡約します。

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ステップ 14.1

積の法則を $\frac{4 \sin (x)}{3 + 5 \cos (x)}$ に当てはめます。

$\frac{(3 + 5 \cos (x)) \cos (x) + 5 \sin^{2} (x)}{(1 + \frac{{(4 \sin (x))}^{2}}{{(3 + 5 \cos (x))}^{2}}) {(3 + 5 \cos (x))}^{2}}$

ステップ 14.2

積の法則を $4 \sin (x)$ に当てはめます。

$\frac{(3 + 5 \cos (x)) \cos (x) + 5 \sin^{2} (x)}{(1 + \frac{4^{2} \sin^{2} (x)}{{(3 + 5 \cos (x))}^{2}}) {(3 + 5 \cos (x))}^{2}}$

ステップ 14.3

分配則を当てはめます。

$\frac{3 \cos (x) + 5 \cos (x) \cos (x) + 5 \sin^{2} (x)}{(1 + \frac{4^{2} \sin^{2} (x)}{{(3 + 5 \cos (x))}^{2}}) {(3 + 5 \cos (x))}^{2}}$

ステップ 14.4

分子を簡約します。

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ステップ 14.4.1

$5 \cos (x) \cos (x)$ を掛けます。

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ステップ 14.4.1.1

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{3 \cos (x) + 5 (\cos^{1} (x) \cos (x)) + 5 \sin^{2} (x)}{(1 + \frac{4^{2} \sin^{2} (x)}{{(3 + 5 \cos (x))}^{2}}) {(3 + 5 \cos (x))}^{2}}$

ステップ 14.4.1.2

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{3 \cos (x) + 5 (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)) + 5 \sin^{2} (x)}{(1 + \frac{4^{2} \sin^{2} (x)}{{(3 + 5 \cos (x))}^{2}}) {(3 + 5 \cos (x))}^{2}}$

ステップ 14.4.1.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{3 \cos (x) + 5 {\cos (x)}^{1 + 1} + 5 \sin^{2} (x)}{(1 + \frac{4^{2} \sin^{2} (x)}{{(3 + 5 \cos (x))}^{2}}) {(3 + 5 \cos (x))}^{2}}$

ステップ 14.4.1.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{3 \cos (x) + 5 \cos^{2} (x) + 5 \sin^{2} (x)}{(1 + \frac{4^{2} \sin^{2} (x)}{{(3 + 5 \cos (x))}^{2}}) {(3 + 5 \cos (x))}^{2}}$

ステップ 14.4.2

$5$ を $5 \cos^{2} (x)$ で因数分解します。

$\frac{3 \cos (x) + 5 (\cos^{2} (x)) + 5 \sin^{2} (x)}{(1 + \frac{4^{2} \sin^{2} (x)}{{(3 + 5 \cos (x))}^{2}}) {(3 + 5 \cos (x))}^{2}}$

ステップ 14.4.3

$5$ を $5 \sin^{2} (x)$ で因数分解します。

$\frac{3 \cos (x) + 5 (\cos^{2} (x)) + 5 (\sin^{2} (x))}{(1 + \frac{4^{2} \sin^{2} (x)}{{(3 + 5 \cos (x))}^{2}}) {(3 + 5 \cos (x))}^{2}}$

ステップ 14.4.4

$5$ を $5 (\cos^{2} (x)) + 5 (\sin^{2} (x))$ で因数分解します。

$\frac{3 \cos (x) + 5 (\cos^{2} (x) + \sin^{2} (x))}{(1 + \frac{4^{2} \sin^{2} (x)}{{(3 + 5 \cos (x))}^{2}}) {(3 + 5 \cos (x))}^{2}}$

ステップ 14.4.5

項を並べ替えます。

$\frac{3 \cos (x) + 5 (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x))}{(1 + \frac{4^{2} \sin^{2} (x)}{{(3 + 5 \cos (x))}^{2}}) {(3 + 5 \cos (x))}^{2}}$

ステップ 14.4.6

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$\frac{3 \cos (x) + 5 \cdot 1}{(1 + \frac{4^{2} \sin^{2} (x)}{{(3 + 5 \cos (x))}^{2}}) {(3 + 5 \cos (x))}^{2}}$

ステップ 14.4.7

$5$ に $1$ をかけます。

$\frac{3 \cos (x) + 5}{(1 + \frac{4^{2} \sin^{2} (x)}{{(3 + 5 \cos (x))}^{2}}) {(3 + 5 \cos (x))}^{2}}$

ステップ 14.5

$4$ を $2$ 乗します。

$\frac{3 \cos (x) + 5}{(1 + \frac{16 \sin^{2} (x)}{{(3 + 5 \cos (x))}^{2}}) {(3 + 5 \cos (x))}^{2}}$

ステップ 14.6

項を並べ替えます。

$\frac{5 + 3 \cos (x)}{{(3 + 5 \cos (x))}^{2} (1 + \frac{16 \sin^{2} (x)}{{(3 + 5 \cos (x))}^{2}})}$

微分積分 例

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