微分積分例

$y = \frac{1}{4} \cdot (x e^{4 x}) - \frac{1}{16} \cdot e^{4 x}$

ステップ 1

総和則では、 $\frac{1}{4} \cdot (x e^{4 x}) - \frac{1}{16} \cdot e^{4 x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} \cdot (x e^{4 x})] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{16} \cdot e^{4 x}]$ です。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} \cdot (x e^{4 x})] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{16} \cdot e^{4 x}]$

ステップ 2

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} \cdot (x e^{4 x})]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$x$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{4} \cdot e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{16} \cdot e^{4 x}]$

ステップ 2.2

$\frac{x}{4}$ と $e^{4 x}$ をまとめます。

$\frac{d}{d x} [\frac{x e^{4 x}}{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{16} \cdot e^{4 x}]$

ステップ 2.3

$\frac{1}{4}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{x e^{4 x}}{4}$ の微分係数は $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x e^{4 x}]$ です。

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{16} \cdot e^{4 x}]$

ステップ 2.4

$f (x) = x$ および $g (x) = e^{4 x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$\frac{1}{4} (x \frac{d}{d x} [e^{4 x}] + e^{4 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{16} \cdot e^{4 x}]$

ステップ 2.5

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = 4 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $4 x$ とします。

$\frac{1}{4} (x (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [4 x]) + e^{4 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{16} \cdot e^{4 x}]$

ステップ 2.5.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ は $a^{u_{1}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$\frac{1}{4} (x (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [4 x]) + e^{4 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{16} \cdot e^{4 x}]$

ステップ 2.5.3

$u_{1}$ のすべての発生を $4 x$ で置き換えます。

$\frac{1}{4} (x (e^{4 x} \frac{d}{d x} [4 x]) + e^{4 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{16} \cdot e^{4 x}]$

ステップ 2.6

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{1}{4} (x (e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} [x])) + e^{4 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{16} \cdot e^{4 x}]$

ステップ 2.7

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{4} (x (e^{4 x} (4 \cdot 1)) + e^{4 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{16} \cdot e^{4 x}]$

ステップ 2.8

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{4} (x (e^{4 x} (4 \cdot 1)) + e^{4 x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{16} \cdot e^{4 x}]$

ステップ 2.9

$4$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{4} (x (e^{4 x} \cdot 4) + e^{4 x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{16} \cdot e^{4 x}]$

ステップ 2.10

$4$ を $e^{4 x}$ の左に移動させます。

$\frac{1}{4} (x (4 \cdot e^{4 x}) + e^{4 x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{16} \cdot e^{4 x}]$

ステップ 2.11

$e^{4 x}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{4} (x (4 e^{4 x}) + e^{4 x}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{16} \cdot e^{4 x}]$

ステップ 3

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{16} \cdot e^{4 x}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$- \frac{1}{16}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{1}{16} \cdot e^{4 x}$ の微分係数は $- \frac{1}{16} \frac{d}{d x} [e^{4 x}]$ です。

$\frac{1}{4} (x (4 e^{4 x}) + e^{4 x}) - \frac{1}{16} \frac{d}{d x} [e^{4 x}]$

ステップ 3.2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = 4 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $4 x$ とします。

$\frac{1}{4} (x (4 e^{4 x}) + e^{4 x}) - \frac{1}{16} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [4 x])$

ステップ 3.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ は $a^{u_{2}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$\frac{1}{4} (x (4 e^{4 x}) + e^{4 x}) - \frac{1}{16} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [4 x])$

ステップ 3.2.3

$u_{2}$ のすべての発生を $4 x$ で置き換えます。

$\frac{1}{4} (x (4 e^{4 x}) + e^{4 x}) - \frac{1}{16} (e^{4 x} \frac{d}{d x} [4 x])$

ステップ 3.3

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{1}{4} (x (4 e^{4 x}) + e^{4 x}) - \frac{1}{16} (e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} [x]))$

ステップ 3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{4} (x (4 e^{4 x}) + e^{4 x}) - \frac{1}{16} (e^{4 x} (4 \cdot 1))$

ステップ 3.5

$4$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{4} (x (4 e^{4 x}) + e^{4 x}) - \frac{1}{16} (e^{4 x} \cdot 4)$

ステップ 3.6

$4$ を $e^{4 x}$ の左に移動させます。

$\frac{1}{4} (x (4 e^{4 x}) + e^{4 x}) - \frac{1}{16} (4 \cdot e^{4 x})$

ステップ 3.7

$4$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{4} (x (4 e^{4 x}) + e^{4 x}) - 4 (\frac{1}{16}) e^{4 x}$

ステップ 3.8

$- 4$ と $\frac{1}{16}$ をまとめます。

$\frac{1}{4} (x (4 e^{4 x}) + e^{4 x}) + \frac{- 4}{16} e^{4 x}$

ステップ 3.9

$\frac{- 4}{16}$ と $e^{4 x}$ をまとめます。

$\frac{1}{4} (x (4 e^{4 x}) + e^{4 x}) + \frac{- 4 e^{4 x}}{16}$

ステップ 3.10

$- 4$ と $16$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.10.1

$4$ を $- 4 e^{4 x}$ で因数分解します。

$\frac{1}{4} (x (4 e^{4 x}) + e^{4 x}) + \frac{4 (- e^{4 x})}{16}$

ステップ 3.10.2

共通因数を約分します。

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ステップ 3.10.2.1

$4$ を $16$ で因数分解します。

$\frac{1}{4} (x (4 e^{4 x}) + e^{4 x}) + \frac{4 (- e^{4 x})}{4 (4)}$

ステップ 3.10.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{4} (x (4 e^{4 x}) + e^{4 x}) + \frac{4 (- e^{4 x})}{4 \cdot 4}$

ステップ 3.10.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{4} (x (4 e^{4 x}) + e^{4 x}) + \frac{- e^{4 x}}{4}$

ステップ 3.11

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{4} (x (4 e^{4 x}) + e^{4 x}) - \frac{e^{4 x}}{4}$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{4} (x (4 e^{4 x})) + \frac{1}{4} e^{4 x} - \frac{e^{4 x}}{4}$

ステップ 4.2

項をまとめます。

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ステップ 4.2.1

$x$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$\frac{x}{4} (4 e^{4 x}) + \frac{1}{4} e^{4 x} - \frac{e^{4 x}}{4}$

ステップ 4.2.2

$4$ と $\frac{x}{4}$ をまとめます。

$\frac{4 x}{4} e^{4 x} + \frac{1}{4} e^{4 x} - \frac{e^{4 x}}{4}$

ステップ 4.2.3

$\frac{4 x}{4}$ と $e^{4 x}$ をまとめます。

$\frac{4 x e^{4 x}}{4} + \frac{1}{4} e^{4 x} - \frac{e^{4 x}}{4}$

ステップ 4.2.4

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 x e^{4 x}}{4} + \frac{1}{4} e^{4 x} - \frac{e^{4 x}}{4}$

ステップ 4.2.4.2

$x e^{4 x}$ を $1$ で割ります。

$x e^{4 x} + \frac{1}{4} e^{4 x} - \frac{e^{4 x}}{4}$

ステップ 4.2.5

$x e^{4 x}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$\frac{1}{4} e^{4 x} + x e^{4 x} \cdot \frac{4}{4} - \frac{e^{4 x}}{4}$

ステップ 4.2.6

$x e^{4 x}$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$\frac{1}{4} e^{4 x} + \frac{x e^{4 x} \cdot 4}{4} - \frac{e^{4 x}}{4}$

ステップ 4.2.7

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{4} e^{4 x} + \frac{x e^{4 x} \cdot 4 - e^{4 x}}{4}$

ステップ 4.2.8

$4$ を $x e^{4 x}$ の左に移動させます。

$\frac{1}{4} e^{4 x} + \frac{4 \cdot (x e^{4 x}) - e^{4 x}}{4}$

ステップ 4.2.9

項を並べ替えます。

$\frac{1}{4} e^{4 x} + \frac{4 e^{4 x} x - e^{4 x}}{4}$

ステップ 4.2.10

$\frac{1}{4} e^{4 x}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$\frac{1}{4} e^{4 x} \cdot \frac{4}{4} + \frac{4 e^{4 x} x - e^{4 x}}{4}$

ステップ 4.2.11

$\frac{1}{4} e^{4 x}$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$\frac{\frac{1}{4} e^{4 x} \cdot 4}{4} + \frac{4 e^{4 x} x - e^{4 x}}{4}$

ステップ 4.2.12

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\frac{1}{4} e^{4 x} \cdot 4 + 4 e^{4 x} x - e^{4 x}}{4}$

ステップ 4.2.13

$\frac{1}{4}$ と $e^{4 x}$ をまとめます。

$\frac{\frac{e^{4 x}}{4} \cdot 4 + 4 e^{4 x} x - e^{4 x}}{4}$

ステップ 4.2.14

$\frac{e^{4 x}}{4}$ と $4$ をまとめます。

$\frac{\frac{e^{4 x} \cdot 4}{4} + 4 e^{4 x} x - e^{4 x}}{4}$

ステップ 4.2.15

$4$ を $e^{4 x}$ の左に移動させます。

$\frac{\frac{4 \cdot e^{4 x}}{4} + 4 e^{4 x} x - e^{4 x}}{4}$

ステップ 4.2.16

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.16.1

共通因数を約分します。

$\frac{\frac{4 e^{4 x}}{4} + 4 e^{4 x} x - e^{4 x}}{4}$

ステップ 4.2.16.2

$e^{4 x}$ を $1$ で割ります。

$\frac{e^{4 x} + 4 e^{4 x} x - e^{4 x}}{4}$

ステップ 4.2.17

$e^{4 x}$ から $e^{4 x}$ を引きます。

$\frac{4 e^{4 x} x + 0}{4}$

ステップ 4.2.18

$4 e^{4 x} x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{4 e^{4 x} x}{4}$

ステップ 4.2.19

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.19.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 e^{4 x} x}{4}$

ステップ 4.2.19.2

$e^{4 x} x$ を $1$ で割ります。

$e^{4 x} x$

ステップ 4.3

$e^{4 x} x$ の因数を並べ替えます。

$x e^{4 x}$

微分積分 例

微分積分例