微分積分例

$y = \frac{500}{12 + 4 e^{- 0.5 x}}$

ステップ 1

定数倍の公式を使って微分します。

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ステップ 1.1

$500$ と $12 + 4 e^{- 0.5 x}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.1

$4$ を $500$ で因数分解します。

$\frac{d}{d x} [\frac{4 \cdot 125}{12 + 4 e^{- 0.5 x}}]$

ステップ 1.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.2.1

$4$ を $12$ で因数分解します。

$\frac{d}{d x} [\frac{4 \cdot 125}{4 (3) + 4 e^{- 0.5 x}}]$

ステップ 1.1.2.2

$4$ を $4 e^{- 0.5 x}$ で因数分解します。

$\frac{d}{d x} [\frac{4 \cdot 125}{4 (3) + 4 (e^{- 0.5 x})}]$

ステップ 1.1.2.3

$4$ を $4 (3) + 4 (e^{- 0.5 x})$ で因数分解します。

$\frac{d}{d x} [\frac{4 \cdot 125}{4 (3 + e^{- 0.5 x})}]$

ステップ 1.1.2.4

共通因数を約分します。

$\frac{d}{d x} [\frac{4 \cdot 125}{4 (3 + e^{- 0.5 x})}]$

ステップ 1.1.2.5

式を書き換えます。

$\frac{d}{d x} [\frac{125}{3 + e^{- 0.5 x}}]$

ステップ 1.2

$125$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{125}{3 + e^{- 0.5 x}}$ の微分係数は $125 \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 + e^{- 0.5 x}}]$ です。

$125 \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 + e^{- 0.5 x}}]$

ステップ 1.3

$\frac{1}{3 + e^{- 0.5 x}}$ を ${(3 + e^{- 0.5 x})}^{- 1}$ に書き換えます。

$125 \frac{d}{d x} [{(3 + e^{- 0.5 x})}^{- 1}]$

ステップ 2

$f (x) = x^{- 1}$ および $g (x) = 3 + e^{- 0.5 x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $3 + e^{- 0.5 x}$ とします。

$125 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [3 + e^{- 0.5 x}])$

ステップ 2.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$125 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [3 + e^{- 0.5 x}])$

ステップ 2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $3 + e^{- 0.5 x}$ で置き換えます。

$125 (- {(3 + e^{- 0.5 x})}^{- 2} \frac{d}{d x} [3 + e^{- 0.5 x}])$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

$- 1$ に $125$ をかけます。

$- 125 ({(3 + e^{- 0.5 x})}^{- 2} \frac{d}{d x} [3 + e^{- 0.5 x}])$

ステップ 3.2

総和則では、 $3 + e^{- 0.5 x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [e^{- 0.5 x}]$ です。

$- 125 {(3 + e^{- 0.5 x})}^{- 2} (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [e^{- 0.5 x}])$

ステップ 3.3

$3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $3$ の微分係数は $0$ です。

$- 125 {(3 + e^{- 0.5 x})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d x} [e^{- 0.5 x}])$

ステップ 3.4

$0$ と $\frac{d}{d x} [e^{- 0.5 x}]$ をたし算します。

$- 125 {(3 + e^{- 0.5 x})}^{- 2} \frac{d}{d x} [e^{- 0.5 x}]$

ステップ 4

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = - 0.5 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 4.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $- 0.5 x$ とします。

$- 125 {(3 + e^{- 0.5 x})}^{- 2} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- 0.5 x])$

ステップ 4.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ は $a^{u_{2}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$- 125 {(3 + e^{- 0.5 x})}^{- 2} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- 0.5 x])$

ステップ 4.3

$u_{2}$ のすべての発生を $- 0.5 x$ で置き換えます。

$- 125 {(3 + e^{- 0.5 x})}^{- 2} (e^{- 0.5 x} \frac{d}{d x} [- 0.5 x])$

ステップ 5

微分します。

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ステップ 5.1

$- 0.5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 0.5 x$ の微分係数は $- 0.5 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- 125 {(3 + e^{- 0.5 x})}^{- 2} (e^{- 0.5 x} (- 0.5 \frac{d}{d x} [x]))$

ステップ 5.2

$- 0.5$ に $- 125$ をかけます。

$62.5 {(3 + e^{- 0.5 x})}^{- 2} (e^{- 0.5 x} (\frac{d}{d x} [x]))$

ステップ 5.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$62.5 {(3 + e^{- 0.5 x})}^{- 2} (e^{- 0.5 x} \cdot 1)$

ステップ 5.4

$e^{- 0.5 x}$ に $1$ をかけます。

$62.5 {(3 + e^{- 0.5 x})}^{- 2} e^{- 0.5 x}$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

$62.5 {(3 + e^{- 0.5 x})}^{- 2} e^{- 0.5 x}$ の因数を並べ替えます。

$62.5 e^{- 0.5 x} {(3 + e^{- 0.5 x})}^{- 2}$

ステップ 6.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$62.5 e^{- 0.5 x} \frac{1}{{(3 + e^{- 0.5 x})}^{2}}$

ステップ 6.3

$62.5 e^{- 0.5 x} \frac{1}{{(3 + e^{- 0.5 x})}^{2}}$ を掛けます。

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ステップ 6.3.1

$\frac{1}{{(3 + e^{- 0.5 x})}^{2}}$ と $62.5$ をまとめます。

$\frac{62.5}{{(3 + e^{- 0.5 x})}^{2}} e^{- 0.5 x}$

ステップ 6.3.2

$\frac{62.5}{{(3 + e^{- 0.5 x})}^{2}}$ と $e^{- 0.5 x}$ をまとめます。

$\frac{62.5 e^{- 0.5 x}}{{(3 + e^{- 0.5 x})}^{2}}$

微分積分 例

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