微分積分例

$y = \frac{5 x}{\log_{5} (x)}$

ステップ 1

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{5 x}{\log_{5} (x)}$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [\frac{x}{\log_{5} (x)}]$ です。

$5 \frac{d}{d x} [\frac{x}{\log_{5} (x)}]$

ステップ 2

$f (x) = x$ および $g (x) = \log_{5} (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$5 \frac{\log_{5} (x) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [\log_{5} (x)]}{{\log_{5}}^{2} (x)}$

ステップ 3

べき乗則を使って微分します。

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ステップ 3.1

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5 \frac{\log_{5} (x) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [\log_{5} (x)]}{{\log_{5}}^{2} (x)}$

ステップ 3.2

$\log_{5} (x)$ に $1$ をかけます。

$5 \frac{\log_{5} (x) - x \frac{d}{d x} [\log_{5} (x)]}{{\log_{5}}^{2} (x)}$

ステップ 4

$x$ に関する $\log_{5} (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x \ln (5)}$ です。

$5 \frac{\log_{5} (x) - x \frac{1}{x \ln (5)}}{{\log_{5}}^{2} (x)}$

ステップ 5

項を簡約します。

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ステップ 5.1

$\frac{1}{x \ln (5)}$ と $x$ をまとめます。

$5 \frac{\log_{5} (x) - \frac{x}{x \ln (5)}}{{\log_{5}}^{2} (x)}$

ステップ 5.2

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.1

共通因数を約分します。

$5 \frac{\log_{5} (x) - \frac{x}{x \ln (5)}}{{\log_{5}}^{2} (x)}$

ステップ 5.2.2

式を書き換えます。

$5 \frac{\log_{5} (x) - \frac{1}{\ln (5)}}{{\log_{5}}^{2} (x)}$

ステップ 5.3

$5$ と $\frac{\log_{5} (x) - \frac{1}{\ln (5)}}{{\log_{5}}^{2} (x)}$ をまとめます。

$\frac{5 (\log_{5} (x) - \frac{1}{\ln (5)})}{{\log_{5}}^{2} (x)}$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

分配則を当てはめます。

$\frac{5 \log_{5} (x) + 5 (- \frac{1}{\ln (5)})}{{\log_{5}}^{2} (x)}$

ステップ 6.2

各項を簡約します。

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ステップ 6.2.1

対数の中の $5$ を移動させて $5 \log_{5} (x)$ を簡約します。

$\frac{\log_{5} (x^{5}) + 5 (- \frac{1}{\ln (5)})}{{\log_{5}}^{2} (x)}$

ステップ 6.2.2

$5 (- \frac{1}{\ln (5)})$ を掛けます。

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ステップ 6.2.2.1

$- 1$ に $5$ をかけます。

$\frac{\log_{5} (x^{5}) - 5 \frac{1}{\ln (5)}}{{\log_{5}}^{2} (x)}$

ステップ 6.2.2.2

$- 5$ と $\frac{1}{\ln (5)}$ をまとめます。

$\frac{\log_{5} (x^{5}) + \frac{- 5}{\ln (5)}}{{\log_{5}}^{2} (x)}$

ステップ 6.2.3

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{\log_{5} (x^{5}) - \frac{5}{\ln (5)}}{{\log_{5}}^{2} (x)}$

微分積分 例

微分積分例