微分積分例

$y = x^{\frac{1}{x}}$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{x}})$

ステップ 2

$x$ に関する $y$ の微分係数は $y'$ です。

$y'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

対数の性質を利用して微分を簡約します。

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ステップ 3.1.1

$x^{\frac{1}{x}}$ を $e^{\ln (x^{\frac{1}{x}})}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{\frac{1}{x}})}]$

ステップ 3.1.2

$\frac{1}{x}$ を対数の外に移動させて、 $\ln (x^{\frac{1}{x}})$ を展開します。

$\frac{d}{d x} [e^{\frac{1}{x} \ln (x)}]$

ステップ 3.2

$\frac{1}{x}$ と $\ln (x)$ をまとめます。

$\frac{d}{d x} [e^{\frac{\ln (x)}{x}}]$

ステップ 3.3

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = \frac{\ln (x)}{x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\frac{\ln (x)}{x}$ とします。

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\frac{\ln (x)}{x}]$

ステップ 3.3.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$e^{u} \frac{d}{d x} [\frac{\ln (x)}{x}]$

ステップ 3.3.3

$u$ のすべての発生を $\frac{\ln (x)}{x}$ で置き換えます。

$e^{\frac{\ln (x)}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{\ln (x)}{x}]$

ステップ 3.4

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$e^{\frac{\ln (x)}{x}} \frac{x \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 3.5

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$e^{\frac{\ln (x)}{x}} \frac{x \frac{1}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 3.6

べき乗則を使って微分します。

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ステップ 3.6.1

$x$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$e^{\frac{\ln (x)}{x}} \frac{\frac{x}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 3.6.2

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.6.2.1

共通因数を約分します。

$e^{\frac{\ln (x)}{x}} \frac{\frac{x}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 3.6.2.2

式を書き換えます。

$e^{\frac{\ln (x)}{x}} \frac{1 - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 3.6.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{\frac{\ln (x)}{x}} \frac{1 - \ln (x) \cdot 1}{x^{2}}$

ステップ 3.6.4

分数をまとめます。

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ステップ 3.6.4.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$e^{\frac{\ln (x)}{x}} \frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$

ステップ 3.6.4.2

$e^{\frac{\ln (x)}{x}}$ と $\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$ をまとめます。

$\frac{e^{\frac{\ln (x)}{x}} (1 - \ln (x))}{x^{2}}$

ステップ 3.7

簡約します。

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ステップ 3.7.1

分配則を当てはめます。

$\frac{e^{\frac{\ln (x)}{x}} \cdot 1 + e^{\frac{\ln (x)}{x}} (- \ln (x))}{x^{2}}$

ステップ 3.7.2

各項を簡約します。

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ステップ 3.7.2.1

$e^{\frac{\ln (x)}{x}}$ に $1$ をかけます。

$\frac{e^{\frac{\ln (x)}{x}} + e^{\frac{\ln (x)}{x}} (- \ln (x))}{x^{2}}$

ステップ 3.7.2.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{e^{\frac{\ln (x)}{x}} - e^{\frac{\ln (x)}{x}} \ln (x)}{x^{2}}$

ステップ 3.7.3

項を並べ替えます。

$\frac{- e^{\frac{\ln (x)}{x}} \ln (x) + e^{\frac{\ln (x)}{x}}}{x^{2}}$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y' = \frac{- e^{\frac{\ln (x)}{x}} \ln (x) + e^{\frac{\ln (x)}{x}}}{x^{2}}$

ステップ 5

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{- e^{\frac{\ln (x)}{x}} \ln (x) + e^{\frac{\ln (x)}{x}}}{x^{2}}$

微分積分 例

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