微分積分例

$y = \sqrt[3]{15 x^{2}}$

ステップ 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{15 x^{2}}$ を ${(15 x^{2})}^{\frac{1}{3}}$ に書き換えます。

$y = {(15 x^{2})}^{\frac{1}{3}}$

ステップ 2

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(15 x^{2})}^{\frac{1}{3}})$

ステップ 3

$x$ に関する $y$ の微分係数は $y'$ です。

$y'$

ステップ 4

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 4.1

くくりだして簡約します。

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ステップ 4.1.1

$15$ を $15 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{d}{d x} [{(15 (x^{2}))}^{\frac{1}{3}}]$

ステップ 4.1.2

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 4.1.2.1

積の法則を $15 (x^{2})$ に当てはめます。

$\frac{d}{d x} [15^{\frac{1}{3}} {(x^{2})}^{\frac{1}{3}}]$

ステップ 4.1.2.2

${(x^{2})}^{\frac{1}{3}}$ の指数を掛けます。

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ステップ 4.1.2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{d}{d x} [15^{\frac{1}{3}} x^{2 (\frac{1}{3})}]$

ステップ 4.1.2.2.2

$2$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$\frac{d}{d x} [15^{\frac{1}{3}} x^{\frac{2}{3}}]$

ステップ 4.2

$15^{\frac{1}{3}}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $15^{\frac{1}{3}} x^{\frac{2}{3}}$ の微分係数は $15^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$ です。

$15^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

ステップ 4.3

$n = \frac{2}{3}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$15^{\frac{1}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})$

ステップ 4.4

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$15^{\frac{1}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

ステップ 4.5

$- 1$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$15^{\frac{1}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

ステップ 4.6

公分母の分子をまとめます。

$15^{\frac{1}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}})$

ステップ 4.7

分子を簡約します。

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ステップ 4.7.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$15^{\frac{1}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}})$

ステップ 4.7.2

$2$ から $3$ を引きます。

$15^{\frac{1}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}})$

ステップ 4.8

分数の前に負数を移動させます。

$15^{\frac{1}{3}} (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}})$

ステップ 4.9

$\frac{2}{3}$ と $x^{- \frac{1}{3}}$ をまとめます。

$15^{\frac{1}{3}} \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$

ステップ 4.10

$15^{\frac{1}{3}}$ と $\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ をまとめます。

$\frac{15^{\frac{1}{3}} (2 x^{- \frac{1}{3}})}{3}$

ステップ 4.11

式を簡約します。

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ステップ 4.11.1

$2$ を $15^{\frac{1}{3}}$ の左に移動させます。

$\frac{2 \cdot 15^{\frac{1}{3}} x^{- \frac{1}{3}}}{3}$

ステップ 4.11.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- \frac{1}{3}}$ を分母に移動させます。

$\frac{2 \cdot 15^{\frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 5

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y' = \frac{2 \cdot 15^{\frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 \cdot 15^{\frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

微分積分 例

微分積分例