微分積分例

$y = \sqrt{\sin^{2} (3 x) + x}$

ステップ 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{\sin^{2} (3 x) + x}$ を ${(\sin^{2} (3 x) + x)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$y = {(\sin^{2} (3 x) + x)}^{\frac{1}{2}}$

ステップ 2

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(\sin^{2} (3 x) + x)}^{\frac{1}{2}})$

ステップ 3

$x$ に関する $y$ の微分係数は $y'$ です。

$y'$

ステップ 4

方程式の右辺を微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = \sin^{2} (3 x) + x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $\sin^{2} (3 x) + x$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [\sin^{2} (3 x) + x]$

ステップ 4.1.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\sin^{2} (3 x) + x]$

ステップ 4.1.3

$u_{1}$ のすべての発生を $\sin^{2} (3 x) + x$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} {(\sin^{2} (3 x) + x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\sin^{2} (3 x) + x]$

ステップ 4.2

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{1}{2} {(\sin^{2} (3 x) + x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\sin^{2} (3 x) + x]$

ステップ 4.3

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} {(\sin^{2} (3 x) + x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\sin^{2} (3 x) + x]$

ステップ 4.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{2} {(\sin^{2} (3 x) + x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\sin^{2} (3 x) + x]$

ステップ 4.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{2} {(\sin^{2} (3 x) + x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [\sin^{2} (3 x) + x]$

ステップ 4.5.2

$1$ から $2$ を引きます。

$\frac{1}{2} {(\sin^{2} (3 x) + x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [\sin^{2} (3 x) + x]$

ステップ 4.6

和の法則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.6.1

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{2} {(\sin^{2} (3 x) + x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\sin^{2} (3 x) + x]$

ステップ 4.6.2

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.6.2.1

$\frac{1}{2}$ と ${(\sin^{2} (3 x) + x)}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$\frac{{(\sin^{2} (3 x) + x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [\sin^{2} (3 x) + x]$

ステップ 4.6.2.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(\sin^{2} (3 x) + x)}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$\frac{1}{2 {(\sin^{2} (3 x) + x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\sin^{2} (3 x) + x]$

ステップ 4.6.3

総和則では、 $\sin^{2} (3 x) + x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\sin^{2} (3 x)] + \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{1}{2 {(\sin^{2} (3 x) + x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [\sin^{2} (3 x)] + \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4.7

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = \sin (3 x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.7.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $\sin (3 x)$ とします。

$\frac{1}{2 {(\sin^{2} (3 x) + x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (3 x)] + \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4.7.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ は $n {u_{2}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2 {(\sin^{2} (3 x) + x)}^{\frac{1}{2}}} (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\sin (3 x)] + \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4.7.3

$u_{2}$ のすべての発生を $\sin (3 x)$ で置き換えます。

$\frac{1}{2 {(\sin^{2} (3 x) + x)}^{\frac{1}{2}}} (2 \sin (3 x) \frac{d}{d x} [\sin (3 x)] + \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4.8

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = 3 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.8.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{3}$ を $3 x$ とします。

$\frac{1}{2 {(\sin^{2} (3 x) + x)}^{\frac{1}{2}}} (2 \sin (3 x) (\frac{d}{d u_{3}} [\sin (u_{3})] \frac{d}{d x} [3 x]) + \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4.8.2

$u_{3}$ に関する $\sin (u_{3})$ の微分係数は $\cos (u_{3})$ です。

$\frac{1}{2 {(\sin^{2} (3 x) + x)}^{\frac{1}{2}}} (2 \sin (3 x) (\cos (u_{3}) \frac{d}{d x} [3 x]) + \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4.8.3

$u_{3}$ のすべての発生を $3 x$ で置き換えます。

$\frac{1}{2 {(\sin^{2} (3 x) + x)}^{\frac{1}{2}}} (2 \sin (3 x) (\cos (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]) + \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4.9

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.9.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{1}{2 {(\sin^{2} (3 x) + x)}^{\frac{1}{2}}} (2 \sin (3 x) \cos (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4.9.2

$3$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{2 {(\sin^{2} (3 x) + x)}^{\frac{1}{2}}} (6 \sin (3 x) \cos (3 x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4.9.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2 {(\sin^{2} (3 x) + x)}^{\frac{1}{2}}} (6 \sin (3 x) \cos (3 x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4.9.4

$6$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2 {(\sin^{2} (3 x) + x)}^{\frac{1}{2}}} (6 \sin (3 x) \cos (3 x) + \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4.9.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2 {(\sin^{2} (3 x) + x)}^{\frac{1}{2}}} (6 \sin (3 x) \cos (3 x) + 1)$

ステップ 4.9.6

$\frac{1}{2 {(\sin^{2} (3 x) + x)}^{\frac{1}{2}}} (6 \sin (3 x) \cos (3 x) + 1)$ の因数を並べ替えます。

$(6 \sin (3 x) \cos (3 x) + 1) \frac{1}{2 {(\sin^{2} (3 x) + x)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 5

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y' = (6 \sin (3 x) \cos (3 x) + 1) (\frac{1}{2 {(\sin^{2} (3 x) + x)}^{\frac{1}{2}}})$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = (6 \sin (3 x) \cos (3 x) + 1) (\frac{1}{2 {(\sin^{2} (3 x) + x)}^{\frac{1}{2}}})$

微分積分 例

微分積分例