微分積分例

$y = \frac{2 x - 9}{2 x^{2} + 8}$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{2 x - 9}{2 x^{2} + 8})$

ステップ 2

$x$ に関する $y$ の微分係数は $y'$ です。

$y'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$f (x) = 2 x - 9$ および $g (x) = 2 x^{2} + 8$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(2 x^{2} + 8) \frac{d}{d x} [2 x - 9] - (2 x - 9) \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 8]}{{(2 x^{2} + 8)}^{2}}$

ステップ 3.2

微分します。

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ステップ 3.2.1

総和則では、 $2 x - 9$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ です。

$\frac{(2 x^{2} + 8) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 9]) - (2 x - 9) \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 8]}{{(2 x^{2} + 8)}^{2}}$

ステップ 3.2.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{(2 x^{2} + 8) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]) - (2 x - 9) \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 8]}{{(2 x^{2} + 8)}^{2}}$

ステップ 3.2.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(2 x^{2} + 8) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 9]) - (2 x - 9) \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 8]}{{(2 x^{2} + 8)}^{2}}$

ステップ 3.2.4

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{(2 x^{2} + 8) (2 + \frac{d}{d x} [- 9]) - (2 x - 9) \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 8]}{{(2 x^{2} + 8)}^{2}}$

ステップ 3.2.5

$- 9$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 9$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{(2 x^{2} + 8) (2 + 0) - (2 x - 9) \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 8]}{{(2 x^{2} + 8)}^{2}}$

ステップ 3.2.6

式を簡約します。

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ステップ 3.2.6.1

$2$ と $0$ をたし算します。

$\frac{(2 x^{2} + 8) \cdot 2 - (2 x - 9) \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 8]}{{(2 x^{2} + 8)}^{2}}$

ステップ 3.2.6.2

$2$ を $2 x^{2} + 8$ の左に移動させます。

$\frac{2 \cdot (2 x^{2} + 8) - (2 x - 9) \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 8]}{{(2 x^{2} + 8)}^{2}}$

ステップ 3.2.7

総和則では、 $2 x^{2} + 8$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8]$ です。

$\frac{2 (2 x^{2} + 8) - (2 x - 9) (\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8])}{{(2 x^{2} + 8)}^{2}}$

ステップ 3.2.8

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x^{2}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$\frac{2 (2 x^{2} + 8) - (2 x - 9) (2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8])}{{(2 x^{2} + 8)}^{2}}$

ステップ 3.2.9

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{2 (2 x^{2} + 8) - (2 x - 9) (2 (2 x) + \frac{d}{d x} [8])}{{(2 x^{2} + 8)}^{2}}$

ステップ 3.2.10

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{2 (2 x^{2} + 8) - (2 x - 9) (4 x + \frac{d}{d x} [8])}{{(2 x^{2} + 8)}^{2}}$

ステップ 3.2.11

$8$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $8$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{2 (2 x^{2} + 8) - (2 x - 9) (4 x + 0)}{{(2 x^{2} + 8)}^{2}}$

ステップ 3.2.12

式を簡約します。

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ステップ 3.2.12.1

$4 x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{2 (2 x^{2} + 8) - (2 x - 9) (4 x)}{{(2 x^{2} + 8)}^{2}}$

ステップ 3.2.12.2

$4$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{2 (2 x^{2} + 8) - 4 (2 x - 9) x}{{(2 x^{2} + 8)}^{2}}$

ステップ 3.3

簡約します。

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ステップ 3.3.1

分配則を当てはめます。

$\frac{2 (2 x^{2}) + 2 \cdot 8 - 4 (2 x - 9) x}{{(2 x^{2} + 8)}^{2}}$

ステップ 3.3.2

分配則を当てはめます。

$\frac{2 (2 x^{2}) + 2 \cdot 8 + (- 4 (2 x) - 4 \cdot - 9) x}{{(2 x^{2} + 8)}^{2}}$

ステップ 3.3.3

分配則を当てはめます。

$\frac{2 (2 x^{2}) + 2 \cdot 8 - 4 (2 x) x - 4 \cdot - 9 x}{{(2 x^{2} + 8)}^{2}}$

ステップ 3.3.4

分子を簡約します。

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ステップ 3.3.4.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.3.4.1.1

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{4 x^{2} + 2 \cdot 8 - 4 (2 x) x - 4 \cdot - 9 x}{{(2 x^{2} + 8)}^{2}}$

ステップ 3.3.4.1.2

$2$ に $8$ をかけます。

$\frac{4 x^{2} + 16 - 4 (2 x) x - 4 \cdot - 9 x}{{(2 x^{2} + 8)}^{2}}$

ステップ 3.3.4.1.3

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 3.3.4.1.3.1

$x$ を移動させます。

$\frac{4 x^{2} + 16 - 4 (2 (x \cdot x)) - 4 \cdot - 9 x}{{(2 x^{2} + 8)}^{2}}$

ステップ 3.3.4.1.3.2

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{4 x^{2} + 16 - 4 (2 x^{2}) - 4 \cdot - 9 x}{{(2 x^{2} + 8)}^{2}}$

ステップ 3.3.4.1.4

$2$ に $- 4$ をかけます。

$\frac{4 x^{2} + 16 - 8 x^{2} - 4 \cdot - 9 x}{{(2 x^{2} + 8)}^{2}}$

ステップ 3.3.4.1.5

$- 4$ に $- 9$ をかけます。

$\frac{4 x^{2} + 16 - 8 x^{2} + 36 x}{{(2 x^{2} + 8)}^{2}}$

ステップ 3.3.4.2

$4 x^{2}$ から $8 x^{2}$ を引きます。

$\frac{- 4 x^{2} + 16 + 36 x}{{(2 x^{2} + 8)}^{2}}$

ステップ 3.3.5

項を並べ替えます。

$\frac{- 4 x^{2} + 36 x + 16}{{(2 x^{2} + 8)}^{2}}$

ステップ 3.3.6

$4$ を $- 4 x^{2} + 36 x + 16$ で因数分解します。

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ステップ 3.3.6.1

$4$ を $- 4 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{4 (- x^{2}) + 36 x + 16}{{(2 x^{2} + 8)}^{2}}$

ステップ 3.3.6.2

$4$ を $36 x$ で因数分解します。

$\frac{4 (- x^{2}) + 4 (9 x) + 16}{{(2 x^{2} + 8)}^{2}}$

ステップ 3.3.6.3

$4$ を $16$ で因数分解します。

$\frac{4 (- x^{2}) + 4 (9 x) + 4 (4)}{{(2 x^{2} + 8)}^{2}}$

ステップ 3.3.6.4

$4$ を $4 (- x^{2}) + 4 (9 x)$ で因数分解します。

$\frac{4 (- x^{2} + 9 x) + 4 (4)}{{(2 x^{2} + 8)}^{2}}$

ステップ 3.3.6.5

$4$ を $4 (- x^{2} + 9 x) + 4 (4)$ で因数分解します。

$\frac{4 (- x^{2} + 9 x + 4)}{{(2 x^{2} + 8)}^{2}}$

ステップ 3.3.7

分母を簡約します。

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ステップ 3.3.7.1

$2$ を $2 x^{2} + 8$ で因数分解します。

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ステップ 3.3.7.1.1

$2$ を $2 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{4 (- x^{2} + 9 x + 4)}{{(2 (x^{2}) + 8)}^{2}}$

ステップ 3.3.7.1.2

$2$ を $8$ で因数分解します。

$\frac{4 (- x^{2} + 9 x + 4)}{{(2 x^{2} + 2 \cdot 4)}^{2}}$

ステップ 3.3.7.1.3

$2$ を $2 x^{2} + 2 \cdot 4$ で因数分解します。

$\frac{4 (- x^{2} + 9 x + 4)}{{(2 (x^{2} + 4))}^{2}}$

ステップ 3.3.7.2

積の法則を $2 (x^{2} + 4)$ に当てはめます。

$\frac{4 (- x^{2} + 9 x + 4)}{2^{2} {(x^{2} + 4)}^{2}}$

ステップ 3.3.7.3

$2$ を $2$ 乗します。

$\frac{4 (- x^{2} + 9 x + 4)}{4 {(x^{2} + 4)}^{2}}$

ステップ 3.3.8

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.8.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 (- x^{2} + 9 x + 4)}{4 {(x^{2} + 4)}^{2}}$

ステップ 3.3.8.2

式を書き換えます。

$\frac{- x^{2} + 9 x + 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

ステップ 3.3.9

$- 1$ を $- x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{- (x^{2}) + 9 x + 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

ステップ 3.3.10

$- 1$ を $9 x$ で因数分解します。

$\frac{- (x^{2}) - (- 9 x) + 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

ステップ 3.3.11

$- 1$ を $- (x^{2}) - (- 9 x)$ で因数分解します。

$\frac{- (x^{2} - 9 x) + 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

ステップ 3.3.12

$4$ を $- 1 (- 4)$ に書き換えます。

$\frac{- (x^{2} - 9 x) - 1 (- 4)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

ステップ 3.3.13

$- 1$ を $- (x^{2} - 9 x) - 1 (- 4)$ で因数分解します。

$\frac{- (x^{2} - 9 x - 4)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

ステップ 3.3.14

$- (x^{2} - 9 x - 4)$ を $- 1 (x^{2} - 9 x - 4)$ に書き換えます。

$\frac{- 1 (x^{2} - 9 x - 4)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

ステップ 3.3.15

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{x^{2} - 9 x - 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y' = - \frac{x^{2} - 9 x - 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

ステップ 5

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x^{2} - 9 x - 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

微分積分 例

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