微分積分例

$y = \ln ({(x)}^{\ln (x)})$

ステップ 1

括弧を削除します。

$y = \ln (x^{\ln (x)})$

ステップ 2

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\ln (x^{\ln (x)}))$

ステップ 3

$x$ に関する $y$ の微分係数は $y'$ です。

$y'$

ステップ 4

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 4.1

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = x^{\ln (x)}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 4.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $x^{\ln (x)}$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [x^{\ln (x)}]$

ステップ 4.1.2

$u_{1}$ に関する $\ln (u_{1})$ の微分係数は $\frac{1}{u_{1}}$ です。

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{\ln (x)}]$

ステップ 4.1.3

$u_{1}$ のすべての発生を $x^{\ln (x)}$ で置き換えます。

$\frac{1}{x^{\ln (x)}} \frac{d}{d x} [x^{\ln (x)}]$

ステップ 4.2

対数の性質を利用して微分を簡約します。

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ステップ 4.2.1

$x^{\ln (x)}$ を $e^{\ln (x^{\ln (x)})}$ に書き換えます。

$\frac{1}{x^{\ln (x)}} \frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{\ln (x)})}]$

ステップ 4.2.2

$\ln (x)$ を対数の外に移動させて、 $\ln (x^{\ln (x)})$ を展開します。

$\frac{1}{x^{\ln (x)}} \frac{d}{d x} [e^{\ln (x) \ln (x)}]$

ステップ 4.3

$\ln (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{x^{\ln (x)}} \frac{d}{d x} [e^{\ln^{1} (x) \ln (x)}]$

ステップ 4.4

$\ln (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{x^{\ln (x)}} \frac{d}{d x} [e^{\ln^{1} (x) \ln^{1} (x)}]$

ステップ 4.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1}{x^{\ln (x)}} \frac{d}{d x} [e^{{\ln (x)}^{1 + 1}}]$

ステップ 4.6

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{1}{x^{\ln (x)}} \frac{d}{d x} [e^{\ln^{2} (x)}]$

ステップ 4.7

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = \ln^{2} (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 4.7.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $\ln^{2} (x)$ とします。

$\frac{1}{x^{\ln (x)}} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)])$

ステップ 4.7.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ は $a^{u_{2}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$\frac{1}{x^{\ln (x)}} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)])$

ステップ 4.7.3

$u_{2}$ のすべての発生を $\ln^{2} (x)$ で置き換えます。

$\frac{1}{x^{\ln (x)}} (e^{\ln^{2} (x)} \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)])$

ステップ 4.8

$e^{\ln^{2} (x)}$ と $\frac{1}{x^{\ln (x)}}$ をまとめます。

$\frac{e^{\ln^{2} (x)}}{x^{\ln (x)}} \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)]$

ステップ 4.9

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = \ln (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 4.9.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{3}$ を $\ln (x)$ とします。

$\frac{e^{\ln^{2} (x)}}{x^{\ln (x)}} (\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{2}] \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

ステップ 4.9.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ は $n {u_{3}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{e^{\ln^{2} (x)}}{x^{\ln (x)}} (2 u_{3} \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

ステップ 4.9.3

$u_{3}$ のすべての発生を $\ln (x)$ で置き換えます。

$\frac{e^{\ln^{2} (x)}}{x^{\ln (x)}} (2 \ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

ステップ 4.10

分数をまとめます。

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ステップ 4.10.1

$2$ と $\frac{e^{\ln^{2} (x)}}{x^{\ln (x)}}$ をまとめます。

$\frac{2 e^{\ln^{2} (x)}}{x^{\ln (x)}} (\ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

ステップ 4.10.2

$\ln (x)$ と $\frac{2 e^{\ln^{2} (x)}}{x^{\ln (x)}}$ をまとめます。

$\frac{\ln (x) (2 e^{\ln^{2} (x)})}{x^{\ln (x)}} \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

ステップ 4.11

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$\frac{\ln (x) (2 e^{\ln^{2} (x)})}{x^{\ln (x)}} \cdot \frac{1}{x}$

ステップ 4.12

$\frac{\ln (x) (2 e^{\ln^{2} (x)})}{x^{\ln (x)}}$ に $\frac{1}{x}$ をかけます。

$\frac{\ln (x) (2 e^{\ln^{2} (x)})}{x^{\ln (x)} x}$

ステップ 4.13

$x^{\ln (x)}$ に $x$ をかけます。

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ステップ 4.13.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{\ln (x) (2 e^{\ln^{2} (x)})}{x^{\ln (x)} x^{1}}$

ステップ 4.13.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\ln (x) (2 e^{\ln^{2} (x)})}{x^{\ln (x) + 1}}$

ステップ 4.14

分子を簡約します。

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ステップ 4.14.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{2 \ln (x) e^{\ln^{2} (x)}}{x^{\ln (x) + 1}}$

ステップ 4.14.2

対数の中の $2$ を移動させて $2 \ln (x)$ を簡約します。

$\frac{\ln (x^{2}) e^{\ln^{2} (x)}}{x^{\ln (x) + 1}}$

ステップ 4.14.3

$\ln (x^{2}) e^{\ln^{2} (x)}$ の因数を並べ替えます。

$\frac{e^{\ln^{2} (x)} \ln (x^{2})}{x^{\ln (x) + 1}}$

ステップ 5

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y' = \frac{e^{\ln^{2} (x)} \ln (x^{2})}{x^{\ln (x) + 1}}$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{e^{\ln^{2} (x)} \ln (x^{2})}{x^{\ln (x) + 1}}$

微分積分 例

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