微分積分例

y = \ln ({(x)}^{\ln (x)})

$y = \ln ({(x)}^{\ln (x)})$

ステップ 1

括弧を削除します。

y = \ln (x^{\ln (x)})

$y = \ln (x^{\ln (x)})$

ステップ 2

方程式の両辺を微分します。

\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\ln (x^{\ln (x)}))

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\ln (x^{\ln (x)}))$

ステップ 3

x

$x$ に関する

y

$y$ の微分係数は

y'

$y'$ です。

y'

$y'$

ステップ 4

方程式の右辺を微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

f (x) = \ln (x)

$f (x) = \ln (x)$ および

g (x) = x^{\ln (x)}

$g (x) = x^{\ln (x)}$ のとき、

\frac{d}{d x} [f (g (x))]

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は

f' (g (x)) g' (x)

$f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

連鎖律を当てはめるために、

u_{1}

$u_{1}$ を

x^{\ln (x)}

$x^{\ln (x)}$ とします。

\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [x^{\ln (x)}]

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [x^{\ln (x)}]$

ステップ 4.1.2

u_{1}

$u_{1}$ に関する

\ln (u_{1})

$\ln (u_{1})$ の微分係数は

\frac{1}{u_{1}}

$\frac{1}{u_{1}}$ です。

\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{\ln (x)}]

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{\ln (x)}]$

ステップ 4.1.3

u_{1}

$u_{1}$ のすべての発生を

x^{\ln (x)}

$x^{\ln (x)}$ で置き換えます。

\frac{1}{x^{\ln (x)}} \frac{d}{d x} [x^{\ln (x)}]

$\frac{1}{x^{\ln (x)}} \frac{d}{d x} [x^{\ln (x)}]$

\frac{1}{x^{\ln (x)}} \frac{d}{d x} [x^{\ln (x)}]

$\frac{1}{x^{\ln (x)}} \frac{d}{d x} [x^{\ln (x)}]$

ステップ 4.2

対数の性質を利用して微分を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

x^{\ln (x)}

$x^{\ln (x)}$ を

e^{\ln (x^{\ln (x)})}

$e^{\ln (x^{\ln (x)})}$ に書き換えます。

\frac{1}{x^{\ln (x)}} \frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{\ln (x)})}]

$\frac{1}{x^{\ln (x)}} \frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{\ln (x)})}]$

ステップ 4.2.2

\ln (x)

$\ln (x)$ を対数の外に移動させて、

\ln (x^{\ln (x)})

$\ln (x^{\ln (x)})$ を展開します。

\frac{1}{x^{\ln (x)}} \frac{d}{d x} [e^{\ln (x) \ln (x)}]

$\frac{1}{x^{\ln (x)}} \frac{d}{d x} [e^{\ln (x) \ln (x)}]$

\frac{1}{x^{\ln (x)}} \frac{d}{d x} [e^{\ln (x) \ln (x)}]

$\frac{1}{x^{\ln (x)}} \frac{d}{d x} [e^{\ln (x) \ln (x)}]$

ステップ 4.3

\ln (x)

$\ln (x)$ を

1

$1$ 乗します。

\frac{1}{x^{\ln (x)}} \frac{d}{d x} [e^{\ln^{1} (x) \ln (x)}]

$\frac{1}{x^{\ln (x)}} \frac{d}{d x} [e^{\ln^{1} (x) \ln (x)}]$

ステップ 4.4

\ln (x)

$\ln (x)$ を

1

$1$ 乗します。

\frac{1}{x^{\ln (x)}} \frac{d}{d x} [e^{\ln^{1} (x) \ln^{1} (x)}]

$\frac{1}{x^{\ln (x)}} \frac{d}{d x} [e^{\ln^{1} (x) \ln^{1} (x)}]$

ステップ 4.5

べき乗則

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

\frac{1}{x^{\ln (x)}} \frac{d}{d x} [e^{{\ln (x)}^{1 + 1}}]

$\frac{1}{x^{\ln (x)}} \frac{d}{d x} [e^{{\ln (x)}^{1 + 1}}]$

ステップ 4.6

1

$1$ と

1

$1$ をたし算します。

\frac{1}{x^{\ln (x)}} \frac{d}{d x} [e^{\ln^{2} (x)}]

$\frac{1}{x^{\ln (x)}} \frac{d}{d x} [e^{\ln^{2} (x)}]$

ステップ 4.7

f (x) = e^{x}

$f (x) = e^{x}$ および

g (x) = \ln^{2} (x)

$g (x) = \ln^{2} (x)$ のとき、

\frac{d}{d x} [f (g (x))]

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は

f' (g (x)) g' (x)

$f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.7.1

連鎖律を当てはめるために、

u_{2}

$u_{2}$ を

\ln^{2} (x)

$\ln^{2} (x)$ とします。

\frac{1}{x^{\ln (x)}} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)])

$\frac{1}{x^{\ln (x)}} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)])$

ステップ 4.7.2

a

$a$ =

e

$e$ のとき、

\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]

$\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ は

a^{u_{2}} \ln (a)

$a^{u_{2}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

\frac{1}{x^{\ln (x)}} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)])

$\frac{1}{x^{\ln (x)}} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)])$

ステップ 4.7.3

u_{2}

$u_{2}$ のすべての発生を

\ln^{2} (x)

$\ln^{2} (x)$ で置き換えます。

\frac{1}{x^{\ln (x)}} (e^{\ln^{2} (x)} \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)])

$\frac{1}{x^{\ln (x)}} (e^{\ln^{2} (x)} \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)])$

\frac{1}{x^{\ln (x)}} (e^{\ln^{2} (x)} \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)])

$\frac{1}{x^{\ln (x)}} (e^{\ln^{2} (x)} \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)])$

ステップ 4.8

e^{\ln^{2} (x)}

$e^{\ln^{2} (x)}$ と

\frac{1}{x^{\ln (x)}}

$\frac{1}{x^{\ln (x)}}$ をまとめます。

\frac{e^{\ln^{2} (x)}}{x^{\ln (x)}} \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)]

$\frac{e^{\ln^{2} (x)}}{x^{\ln (x)}} \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)]$

ステップ 4.9

f (x) = x^{2}

$f (x) = x^{2}$ および

g (x) = \ln (x)

$g (x) = \ln (x)$ のとき、

\frac{d}{d x} [f (g (x))]

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は

f' (g (x)) g' (x)

$f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.9.1

連鎖律を当てはめるために、

u_{3}

$u_{3}$ を

\ln (x)

$\ln (x)$ とします。

\frac{e^{\ln^{2} (x)}}{x^{\ln (x)}} (\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{2}] \frac{d}{d x} [\ln (x)])

$\frac{e^{\ln^{2} (x)}}{x^{\ln (x)}} (\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{2}] \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

ステップ 4.9.2

n = 2

$n = 2$ のとき、

\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]

$\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ は

n {u_{3}}^{n - 1}

$n {u_{3}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

\frac{e^{\ln^{2} (x)}}{x^{\ln (x)}} (2 u_{3} \frac{d}{d x} [\ln (x)])

$\frac{e^{\ln^{2} (x)}}{x^{\ln (x)}} (2 u_{3} \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

ステップ 4.9.3

u_{3}

$u_{3}$ のすべての発生を

\ln (x)

$\ln (x)$ で置き換えます。

\frac{e^{\ln^{2} (x)}}{x^{\ln (x)}} (2 \ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)])

$\frac{e^{\ln^{2} (x)}}{x^{\ln (x)}} (2 \ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

\frac{e^{\ln^{2} (x)}}{x^{\ln (x)}} (2 \ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)])

$\frac{e^{\ln^{2} (x)}}{x^{\ln (x)}} (2 \ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

ステップ 4.10

分数をまとめます。

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ステップ 4.10.1

2

$2$ と

\frac{e^{\ln^{2} (x)}}{x^{\ln (x)}}

$\frac{e^{\ln^{2} (x)}}{x^{\ln (x)}}$ をまとめます。

\frac{2 e^{\ln^{2} (x)}}{x^{\ln (x)}} (\ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)])

$\frac{2 e^{\ln^{2} (x)}}{x^{\ln (x)}} (\ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

ステップ 4.10.2

\ln (x)

$\ln (x)$ と

\frac{2 e^{\ln^{2} (x)}}{x^{\ln (x)}}

$\frac{2 e^{\ln^{2} (x)}}{x^{\ln (x)}}$ をまとめます。

\frac{\ln (x) (2 e^{\ln^{2} (x)})}{x^{\ln (x)}} \frac{d}{d x} [\ln (x)]

$\frac{\ln (x) (2 e^{\ln^{2} (x)})}{x^{\ln (x)}} \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

\frac{\ln (x) (2 e^{\ln^{2} (x)})}{x^{\ln (x)}} \frac{d}{d x} [\ln (x)]

$\frac{\ln (x) (2 e^{\ln^{2} (x)})}{x^{\ln (x)}} \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

ステップ 4.11

x

$x$ に関する

\ln (x)

$\ln (x)$ の微分係数は

\frac{1}{x}

$\frac{1}{x}$ です。

\frac{\ln (x) (2 e^{\ln^{2} (x)})}{x^{\ln (x)}} \cdot \frac{1}{x}

$\frac{\ln (x) (2 e^{\ln^{2} (x)})}{x^{\ln (x)}} \cdot \frac{1}{x}$

ステップ 4.12

\frac{\ln (x) (2 e^{\ln^{2} (x)})}{x^{\ln (x)}}

$\frac{\ln (x) (2 e^{\ln^{2} (x)})}{x^{\ln (x)}}$ に

\frac{1}{x}

$\frac{1}{x}$ をかけます。

\frac{\ln (x) (2 e^{\ln^{2} (x)})}{x^{\ln (x)} x}

$\frac{\ln (x) (2 e^{\ln^{2} (x)})}{x^{\ln (x)} x}$

ステップ 4.13

x^{\ln (x)}

$x^{\ln (x)}$ に

x

$x$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.13.1

x

$x$ を

1

$1$ 乗します。

\frac{\ln (x) (2 e^{\ln^{2} (x)})}{x^{\ln (x)} x^{1}}

$\frac{\ln (x) (2 e^{\ln^{2} (x)})}{x^{\ln (x)} x^{1}}$

ステップ 4.13.2

べき乗則

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

\frac{\ln (x) (2 e^{\ln^{2} (x)})}{x^{\ln (x) + 1}}

$\frac{\ln (x) (2 e^{\ln^{2} (x)})}{x^{\ln (x) + 1}}$

\frac{\ln (x) (2 e^{\ln^{2} (x)})}{x^{\ln (x) + 1}}

$\frac{\ln (x) (2 e^{\ln^{2} (x)})}{x^{\ln (x) + 1}}$

ステップ 4.14

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.14.1

積の可換性を利用して書き換えます。

\frac{2 \ln (x) e^{\ln^{2} (x)}}{x^{\ln (x) + 1}}

$\frac{2 \ln (x) e^{\ln^{2} (x)}}{x^{\ln (x) + 1}}$

ステップ 4.14.2

対数の中の

2

$2$ を移動させて

2 \ln (x)

$2 \ln (x)$ を簡約します。

\frac{\ln (x^{2}) e^{\ln^{2} (x)}}{x^{\ln (x) + 1}}

$\frac{\ln (x^{2}) e^{\ln^{2} (x)}}{x^{\ln (x) + 1}}$

ステップ 4.14.3

\ln (x^{2}) e^{\ln^{2} (x)}

$\ln (x^{2}) e^{\ln^{2} (x)}$ の因数を並べ替えます。

\frac{e^{\ln^{2} (x)} \ln (x^{2})}{x^{\ln (x) + 1}}

$\frac{e^{\ln^{2} (x)} \ln (x^{2})}{x^{\ln (x) + 1}}$

\frac{e^{\ln^{2} (x)} \ln (x^{2})}{x^{\ln (x) + 1}}

$\frac{e^{\ln^{2} (x)} \ln (x^{2})}{x^{\ln (x) + 1}}$

\frac{e^{\ln^{2} (x)} \ln (x^{2})}{x^{\ln (x) + 1}}

$\frac{e^{\ln^{2} (x)} \ln (x^{2})}{x^{\ln (x) + 1}}$

ステップ 5

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

y' = \frac{e^{\ln^{2} (x)} \ln (x^{2})}{x^{\ln (x) + 1}}

$y' = \frac{e^{\ln^{2} (x)} \ln (x^{2})}{x^{\ln (x) + 1}}$

ステップ 6

y'

$y'$ を

\frac{d y}{d x}

$\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

\frac{d y}{d x} = \frac{e^{\ln^{2} (x)} \ln (x^{2})}{x^{\ln (x) + 1}}

$\frac{d y}{d x} = \frac{e^{\ln^{2} (x)} \ln (x^{2})}{x^{\ln (x) + 1}}$

微分積分 例

微分積分例