微分積分例

$y = \frac{x + 1}{x + 2}$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{x + 1}{x + 2})$

ステップ 2

$x$ に関する $y$ の微分係数は $y'$ です。

$y'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

$f (x) = x + 1$ および $g (x) = x + 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(x + 2) \frac{d}{d x} [x + 1] - (x + 1) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

ステップ 3.2

微分します。

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ステップ 3.2.1

総和則では、 $x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{(x + 2) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

ステップ 3.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(x + 2) (1 + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

ステップ 3.2.3

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{(x + 2) (1 + 0) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

ステップ 3.2.4

式を簡約します。

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ステップ 3.2.4.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{(x + 2) \cdot 1 - (x + 1) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

ステップ 3.2.4.2

$x + 2$ に $1$ をかけます。

$\frac{x + 2 - (x + 1) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

ステップ 3.2.5

総和則では、 $x + 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ です。

$\frac{x + 2 - (x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])}{{(x + 2)}^{2}}$

ステップ 3.2.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x + 2 - (x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [2])}{{(x + 2)}^{2}}$

ステップ 3.2.7

$2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{x + 2 - (x + 1) (1 + 0)}{{(x + 2)}^{2}}$

ステップ 3.2.8

式を簡約します。

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ステップ 3.2.8.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{x + 2 - (x + 1) \cdot 1}{{(x + 2)}^{2}}$

ステップ 3.2.8.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{x + 2 - (x + 1)}{{(x + 2)}^{2}}$

ステップ 3.3

簡約します。

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ステップ 3.3.1

分配則を当てはめます。

$\frac{x + 2 - x - 1 \cdot 1}{{(x + 2)}^{2}}$

ステップ 3.3.2

分子を簡約します。

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ステップ 3.3.2.1

$x + 2 - x - 1 \cdot 1$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 3.3.2.1.1

$x$ から $x$ を引きます。

$\frac{0 + 2 - 1 \cdot 1}{{(x + 2)}^{2}}$

ステップ 3.3.2.1.2

$0$ と $2$ をたし算します。

$\frac{2 - 1 \cdot 1}{{(x + 2)}^{2}}$

ステップ 3.3.2.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{2 - 1}{{(x + 2)}^{2}}$

ステップ 3.3.2.3

$2$ から $1$ を引きます。

$\frac{1}{{(x + 2)}^{2}}$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y' = \frac{1}{{(x + 2)}^{2}}$

ステップ 5

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{{(x + 2)}^{2}}$

微分積分 例

微分積分例