微分積分例

$y = x e^{\sin (x)}$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x e^{\sin (x)})$

ステップ 2

$x$ に関する $y$ の微分係数は $y'$ です。

$y'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

$f (x) = x$ および $g (x) = e^{\sin (x)}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x \frac{d}{d x} [e^{\sin (x)}] + e^{\sin (x)} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = \sin (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\sin (x)$ とします。

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + e^{\sin (x)} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$x (e^{u} \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + e^{\sin (x)} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.2.3

$u$ のすべての発生を $\sin (x)$ で置き換えます。

$x (e^{\sin (x)} \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + e^{\sin (x)} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.3

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$x (e^{\sin (x)} \cos (x)) + e^{\sin (x)} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.4

べき乗則を使って微分します。

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ステップ 3.4.1

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x (e^{\sin (x)} \cos (x)) + e^{\sin (x)} \cdot 1$

ステップ 3.4.2

$e^{\sin (x)}$ に $1$ をかけます。

$x (e^{\sin (x)} \cos (x)) + e^{\sin (x)}$

ステップ 3.5

簡約します。

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ステップ 3.5.1

項を並べ替えます。

$e^{\sin (x)} x \cos (x) + e^{\sin (x)}$

ステップ 3.5.2

$e^{\sin (x)} x \cos (x) + e^{\sin (x)}$ の因数を並べ替えます。

$x e^{\sin (x)} \cos (x) + e^{\sin (x)}$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y' = x e^{\sin (x)} \cos (x) + e^{\sin (x)}$

ステップ 5

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = x e^{\sin (x)} \cos (x) + e^{\sin (x)}$

微分積分 例

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