微分積分例

$y = \frac{t^{2} + 3}{t^{4} - 5 t^{2} + 1}$

ステップ 1

$f (t) = t^{2} + 3$ および $g (t) = t^{4} - 5 t^{2} + 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ は $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(t^{4} - 5 t^{2} + 1) \frac{d}{d t} [t^{2} + 3] - (t^{2} + 3) \frac{d}{d t} [t^{4} - 5 t^{2} + 1]}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $t^{2} + 3$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [3]$ です。

$\frac{(t^{4} - 5 t^{2} + 1) (\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [3]) - (t^{2} + 3) \frac{d}{d t} [t^{4} - 5 t^{2} + 1]}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(t^{4} - 5 t^{2} + 1) (2 t + \frac{d}{d t} [3]) - (t^{2} + 3) \frac{d}{d t} [t^{4} - 5 t^{2} + 1]}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 2.3

$3$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $3$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{(t^{4} - 5 t^{2} + 1) (2 t + 0) - (t^{2} + 3) \frac{d}{d t} [t^{4} - 5 t^{2} + 1]}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 2.4

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

$2 t$ と $0$ をたし算します。

$\frac{(t^{4} - 5 t^{2} + 1) (2 t) - (t^{2} + 3) \frac{d}{d t} [t^{4} - 5 t^{2} + 1]}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 2.4.2

$2$ を $t^{4} - 5 t^{2} + 1$ の左に移動させます。

$\frac{2 \cdot (t^{4} - 5 t^{2} + 1) t - (t^{2} + 3) \frac{d}{d t} [t^{4} - 5 t^{2} + 1]}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 2.5

総和則では、 $t^{4} - 5 t^{2} + 1$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [t^{4}] + \frac{d}{d t} [- 5 t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$ です。

$\frac{2 (t^{4} - 5 t^{2} + 1) t - (t^{2} + 3) (\frac{d}{d t} [t^{4}] + \frac{d}{d t} [- 5 t^{2}] + \frac{d}{d t} [1])}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 2.6

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{2 (t^{4} - 5 t^{2} + 1) t - (t^{2} + 3) (4 t^{3} + \frac{d}{d t} [- 5 t^{2}] + \frac{d}{d t} [1])}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 2.7

$- 5$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $- 5 t^{2}$ の微分係数は $- 5 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ です。

$\frac{2 (t^{4} - 5 t^{2} + 1) t - (t^{2} + 3) (4 t^{3} - 5 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1])}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 2.8

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{2 (t^{4} - 5 t^{2} + 1) t - (t^{2} + 3) (4 t^{3} - 5 (2 t) + \frac{d}{d t} [1])}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 2.9

$2$ に $- 5$ をかけます。

$\frac{2 (t^{4} - 5 t^{2} + 1) t - (t^{2} + 3) (4 t^{3} - 10 t + \frac{d}{d t} [1])}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 2.10

$1$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{2 (t^{4} - 5 t^{2} + 1) t - (t^{2} + 3) (4 t^{3} - 10 t + 0)}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 2.11

$4 t^{3} - 10 t$ と $0$ をたし算します。

$\frac{2 (t^{4} - 5 t^{2} + 1) t - (t^{2} + 3) (4 t^{3} - 10 t)}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

分配則を当てはめます。

$\frac{(2 t^{4} + 2 (- 5 t^{2}) + 2 \cdot 1) t - (t^{2} + 3) (4 t^{3} - 10 t)}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 3.2

分配則を当てはめます。

$\frac{2 t^{4} t + 2 (- 5 t^{2}) t + 2 \cdot 1 t - (t^{2} + 3) (4 t^{3} - 10 t)}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 3.3

分配則を当てはめます。

$\frac{2 t^{4} t + 2 (- 5 t^{2}) t + 2 \cdot 1 t + (- t^{2} - 1 \cdot 3) (4 t^{3} - 10 t)}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 3.4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1.1

指数を足して $t^{4}$ に $t$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1.1.1

$t$ を移動させます。

$\frac{2 (t \cdot t^{4}) + 2 (- 5 t^{2}) t + 2 \cdot 1 t + (- t^{2} - 1 \cdot 3) (4 t^{3} - 10 t)}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 3.4.1.1.2

$t$ に $t^{4}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1.1.2.1

$t$ を $1$ 乗します。

$\frac{2 (t^{1} t^{4}) + 2 (- 5 t^{2}) t + 2 \cdot 1 t + (- t^{2} - 1 \cdot 3) (4 t^{3} - 10 t)}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 3.4.1.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{2 t^{1 + 4} + 2 (- 5 t^{2}) t + 2 \cdot 1 t + (- t^{2} - 1 \cdot 3) (4 t^{3} - 10 t)}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 3.4.1.1.3

$1$ と $4$ をたし算します。

$\frac{2 t^{5} + 2 (- 5 t^{2}) t + 2 \cdot 1 t + (- t^{2} - 1 \cdot 3) (4 t^{3} - 10 t)}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 3.4.1.2

指数を足して $t^{2}$ に $t$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1.2.1

$t$ を移動させます。

$\frac{2 t^{5} + 2 (- 5 (t \cdot t^{2})) + 2 \cdot 1 t + (- t^{2} - 1 \cdot 3) (4 t^{3} - 10 t)}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 3.4.1.2.2

$t$ に $t^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1.2.2.1

$t$ を $1$ 乗します。

$\frac{2 t^{5} + 2 (- 5 (t^{1} t^{2})) + 2 \cdot 1 t + (- t^{2} - 1 \cdot 3) (4 t^{3} - 10 t)}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 3.4.1.2.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{2 t^{5} + 2 (- 5 t^{1 + 2}) + 2 \cdot 1 t + (- t^{2} - 1 \cdot 3) (4 t^{3} - 10 t)}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 3.4.1.2.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{2 t^{5} + 2 (- 5 t^{3}) + 2 \cdot 1 t + (- t^{2} - 1 \cdot 3) (4 t^{3} - 10 t)}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 3.4.1.3

$- 5$ に $2$ をかけます。

$\frac{2 t^{5} - 10 t^{3} + 2 \cdot 1 t + (- t^{2} - 1 \cdot 3) (4 t^{3} - 10 t)}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 3.4.1.4

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{2 t^{5} - 10 t^{3} + 2 t + (- t^{2} - 1 \cdot 3) (4 t^{3} - 10 t)}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 3.4.1.5

$- 1$ に $3$ をかけます。

$\frac{2 t^{5} - 10 t^{3} + 2 t + (- t^{2} - 3) (4 t^{3} - 10 t)}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 3.4.1.6

分配法則（FOIL法）を使って $(- t^{2} - 3) (4 t^{3} - 10 t)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1.6.1

分配則を当てはめます。

$\frac{2 t^{5} - 10 t^{3} + 2 t - t^{2} (4 t^{3} - 10 t) - 3 (4 t^{3} - 10 t)}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 3.4.1.6.2

分配則を当てはめます。

$\frac{2 t^{5} - 10 t^{3} + 2 t - t^{2} (4 t^{3}) - t^{2} (- 10 t) - 3 (4 t^{3} - 10 t)}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 3.4.1.6.3

分配則を当てはめます。

$\frac{2 t^{5} - 10 t^{3} + 2 t - t^{2} (4 t^{3}) - t^{2} (- 10 t) - 3 (4 t^{3}) - 3 (- 10 t)}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 3.4.1.7

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1.7.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1.7.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{2 t^{5} - 10 t^{3} + 2 t - 1 \cdot 4 t^{2} t^{3} - t^{2} (- 10 t) - 3 (4 t^{3}) - 3 (- 10 t)}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 3.4.1.7.1.2

指数を足して $t^{2}$ に $t^{3}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1.7.1.2.1

$t^{3}$ を移動させます。

$\frac{2 t^{5} - 10 t^{3} + 2 t - 1 \cdot 4 (t^{3} t^{2}) - t^{2} (- 10 t) - 3 (4 t^{3}) - 3 (- 10 t)}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 3.4.1.7.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{2 t^{5} - 10 t^{3} + 2 t - 1 \cdot 4 t^{3 + 2} - t^{2} (- 10 t) - 3 (4 t^{3}) - 3 (- 10 t)}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 3.4.1.7.1.2.3

$3$ と $2$ をたし算します。

$\frac{2 t^{5} - 10 t^{3} + 2 t - 1 \cdot 4 t^{5} - t^{2} (- 10 t) - 3 (4 t^{3}) - 3 (- 10 t)}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 3.4.1.7.1.3

$- 1$ に $4$ をかけます。

$\frac{2 t^{5} - 10 t^{3} + 2 t - 4 t^{5} - t^{2} (- 10 t) - 3 (4 t^{3}) - 3 (- 10 t)}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 3.4.1.7.1.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{2 t^{5} - 10 t^{3} + 2 t - 4 t^{5} - 1 \cdot - 10 t^{2} t - 3 (4 t^{3}) - 3 (- 10 t)}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 3.4.1.7.1.5

指数を足して $t^{2}$ に $t$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1.7.1.5.1

$t$ を移動させます。

$\frac{2 t^{5} - 10 t^{3} + 2 t - 4 t^{5} - 1 \cdot - 10 (t \cdot t^{2}) - 3 (4 t^{3}) - 3 (- 10 t)}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 3.4.1.7.1.5.2

$t$ に $t^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1.7.1.5.2.1

$t$ を $1$ 乗します。

$\frac{2 t^{5} - 10 t^{3} + 2 t - 4 t^{5} - 1 \cdot - 10 (t^{1} t^{2}) - 3 (4 t^{3}) - 3 (- 10 t)}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 3.4.1.7.1.5.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{2 t^{5} - 10 t^{3} + 2 t - 4 t^{5} - 1 \cdot - 10 t^{1 + 2} - 3 (4 t^{3}) - 3 (- 10 t)}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 3.4.1.7.1.5.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{2 t^{5} - 10 t^{3} + 2 t - 4 t^{5} - 1 \cdot - 10 t^{3} - 3 (4 t^{3}) - 3 (- 10 t)}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 3.4.1.7.1.6

$- 1$ に $- 10$ をかけます。

$\frac{2 t^{5} - 10 t^{3} + 2 t - 4 t^{5} + 10 t^{3} - 3 (4 t^{3}) - 3 (- 10 t)}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 3.4.1.7.1.7

$4$ に $- 3$ をかけます。

$\frac{2 t^{5} - 10 t^{3} + 2 t - 4 t^{5} + 10 t^{3} - 12 t^{3} - 3 (- 10 t)}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 3.4.1.7.1.8

$- 10$ に $- 3$ をかけます。

$\frac{2 t^{5} - 10 t^{3} + 2 t - 4 t^{5} + 10 t^{3} - 12 t^{3} + 30 t}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 3.4.1.7.2

$10 t^{3}$ から $12 t^{3}$ を引きます。

$\frac{2 t^{5} - 10 t^{3} + 2 t - 4 t^{5} - 2 t^{3} + 30 t}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 3.4.2

$2 t^{5}$ から $4 t^{5}$ を引きます。

$\frac{- 2 t^{5} - 10 t^{3} + 2 t - 2 t^{3} + 30 t}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 3.4.3

$- 10 t^{3}$ から $2 t^{3}$ を引きます。

$\frac{- 2 t^{5} - 12 t^{3} + 2 t + 30 t}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 3.4.4

$2 t$ と $30 t$ をたし算します。

$\frac{- 2 t^{5} - 12 t^{3} + 32 t}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 3.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1

$2 t$ を $- 2 t^{5} - 12 t^{3} + 32 t$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1.1

$2 t$ を $- 2 t^{5}$ で因数分解します。

$\frac{2 t (- t^{4}) - 12 t^{3} + 32 t}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 3.5.1.2

$2 t$ を $- 12 t^{3}$ で因数分解します。

$\frac{2 t (- t^{4}) + 2 t (- 6 t^{2}) + 32 t}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 3.5.1.3

$2 t$ を $32 t$ で因数分解します。

$\frac{2 t (- t^{4}) + 2 t (- 6 t^{2}) + 2 t (16)}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 3.5.1.4

$2 t$ を $2 t (- t^{4}) + 2 t (- 6 t^{2})$ で因数分解します。

$\frac{2 t (- t^{4} - 6 t^{2}) + 2 t (16)}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 3.5.1.5

$2 t$ を $2 t (- t^{4} - 6 t^{2}) + 2 t (16)$ で因数分解します。

$\frac{2 t (- t^{4} - 6 t^{2} + 16)}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 3.5.2

$t^{4}$ を ${(t^{2})}^{2}$ に書き換えます。

$\frac{2 t (- {(t^{2})}^{2} - 6 t^{2} + 16)}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 3.5.3

$u = t^{2}$ とします。 $u$ を $t^{2}$ に代入します。

$\frac{2 t (- u^{2} - 6 u + 16)}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 3.5.4

群による因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.4.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = - 1 \cdot 16 = - 16$ で和が $b = - 6$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.4.1.1

$- 6$ を $- 6 u$ で因数分解します。

$\frac{2 t (- u^{2} - 6 (u) + 16)}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 3.5.4.1.2

$- 6$ を $2$ プラス $- 8$ に書き換える

$\frac{2 t (- u^{2} + (2 - 8) u + 16)}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 3.5.4.1.3

分配則を当てはめます。

$\frac{2 t (- u^{2} + 2 u - 8 u + 16)}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 3.5.4.2

各群から最大公約数を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.4.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$\frac{2 t ((- u^{2} + 2 u) - 8 u + 16)}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 3.5.4.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$\frac{2 t (u (- u + 2) + 8 (- u + 2))}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 3.5.4.3

最大公約数 $- u + 2$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$\frac{2 t ((- u + 2) (u + 8))}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 3.5.5

$u$ のすべての発生を $t^{2}$ で置き換えます。

$\frac{2 t (- t^{2} + 2) (t^{2} + 8)}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 3.6

$- 1$ を $- t^{2}$ で因数分解します。

$\frac{2 t (- (t^{2}) + 2) (t^{2} + 8)}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 3.7

$2$ を $- 1 (- 2)$ に書き換えます。

$\frac{2 t (- (t^{2}) - 1 (- 2)) (t^{2} + 8)}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 3.8

$- 1$ を $- (t^{2}) - 1 (- 2)$ で因数分解します。

$\frac{2 t (- (t^{2} - 2)) (t^{2} + 8)}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 3.9

$- (t^{2} - 2)$ を $- 1 (t^{2} - 2)$ に書き換えます。

$\frac{2 t (- 1 (t^{2} - 2)) (t^{2} + 8)}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 3.10

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{((2 t) (t^{2} - 2)) (t^{2} + 8)}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

微分積分 例

微分積分例