微分積分例

$y = \frac{1}{t} + \frac{1}{t^{2}} - \frac{1}{\sqrt{t}}$

ステップ 1

総和則では、 $\frac{1}{t} + \frac{1}{t^{2}} - \frac{1}{\sqrt{t}}$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [\frac{1}{t}] + \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{2}}] + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{\sqrt{t}}]$ です。

$\frac{d}{d t} [\frac{1}{t}] + \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{2}}] + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{\sqrt{t}}]$

ステップ 2

$\frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$\frac{1}{t}$ を $t^{- 1}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d t} [t^{- 1}] + \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{2}}] + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{\sqrt{t}}]$

ステップ 2.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- t^{- 2} + \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{2}}] + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{\sqrt{t}}]$

ステップ 3

$\frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{2}}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$\frac{1}{t^{2}}$ を ${(t^{2})}^{- 1}$ に書き換えます。

$- t^{- 2} + \frac{d}{d t} [{(t^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{\sqrt{t}}]$

ステップ 3.2

$f (t) = t^{- 1}$ および $g (t) = t^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ は $f' (g (t)) g' (t)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $t^{2}$ とします。

$- t^{- 2} + \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{\sqrt{t}}]$

ステップ 3.2.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- t^{- 2} - {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{\sqrt{t}}]$

ステップ 3.2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $t^{2}$ で置き換えます。

$- t^{- 2} - {(t^{2})}^{- 2} \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{\sqrt{t}}]$

ステップ 3.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- t^{- 2} - {(t^{2})}^{- 2} (2 t) + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{\sqrt{t}}]$

ステップ 3.4

${(t^{2})}^{- 2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 3.4.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- t^{- 2} - t^{2 \cdot - 2} (2 t) + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{\sqrt{t}}]$

ステップ 3.4.2

$2$ に $- 2$ をかけます。

$- t^{- 2} - t^{- 4} (2 t) + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{\sqrt{t}}]$

ステップ 3.5

$2$ に $- 1$ をかけます。

$- t^{- 2} - 2 t^{- 4} t + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{\sqrt{t}}]$

ステップ 3.6

$t$ を $1$ 乗します。

$- t^{- 2} - 2 (t^{1} t^{- 4}) + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{\sqrt{t}}]$

ステップ 3.7

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- t^{- 2} - 2 t^{1 - 4} + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{\sqrt{t}}]$

ステップ 3.8

$1$ から $4$ を引きます。

$- t^{- 2} - 2 t^{- 3} + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{\sqrt{t}}]$

ステップ 4

$\frac{d}{d t} [- \frac{1}{\sqrt{t}}]$ の値を求めます。

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ステップ 4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{t}$ を $t^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$- t^{- 2} - 2 t^{- 3} + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}]$

ステップ 4.2

$f (t) = - 1$ および $g (t) = \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ は $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$- t^{- 2} - 2 t^{- 3} - \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}] + \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [- 1]$

ステップ 4.3

$\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$ を ${(t^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ に書き換えます。

$- t^{- 2} - 2 t^{- 3} - \frac{d}{d t} [{(t^{\frac{1}{2}})}^{- 1}] + \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [- 1]$

ステップ 4.4

$f (t) = t^{- 1}$ および $g (t) = t^{\frac{1}{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ は $f' (g (t)) g' (t)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 4.4.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $t^{\frac{1}{2}}$ とします。

$- t^{- 2} - 2 t^{- 3} - (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]) + \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [- 1]$

ステップ 4.4.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ は $n {u_{2}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- t^{- 2} - 2 t^{- 3} - (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]) + \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [- 1]$

ステップ 4.4.3

$u_{2}$ のすべての発生を $t^{\frac{1}{2}}$ で置き換えます。

$- t^{- 2} - 2 t^{- 3} - (- {(t^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]) + \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [- 1]$

ステップ 4.5

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- t^{- 2} - 2 t^{- 3} - (- {(t^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [- 1]$

ステップ 4.6

$- 1$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$- t^{- 2} - 2 t^{- 3} - (- {(t^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

ステップ 4.7

${(t^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 4.7.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- t^{- 2} - 2 t^{- 3} - (- t^{\frac{1}{2} \cdot - 2} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

ステップ 4.7.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.7.2.1

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$- t^{- 2} - 2 t^{- 3} - (- t^{\frac{1}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

ステップ 4.7.2.2

共通因数を約分します。

$- t^{- 2} - 2 t^{- 3} - (- t^{\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

ステップ 4.7.2.3

式を書き換えます。

$- t^{- 2} - 2 t^{- 3} - (- t^{- 1} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

ステップ 4.8

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$- t^{- 2} - 2 t^{- 3} - (- t^{- 1} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})) + \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

ステップ 4.9

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$- t^{- 2} - 2 t^{- 3} - (- t^{- 1} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})) + \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

ステップ 4.10

公分母の分子をまとめます。

$- t^{- 2} - 2 t^{- 3} - (- t^{- 1} (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})) + \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

ステップ 4.11

分子を簡約します。

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ステップ 4.11.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$- t^{- 2} - 2 t^{- 3} - (- t^{- 1} (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 2}{2}})) + \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

ステップ 4.11.2

$1$ から $2$ を引きます。

$- t^{- 2} - 2 t^{- 3} - (- t^{- 1} (\frac{1}{2} t^{\frac{- 1}{2}})) + \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

ステップ 4.12

分数の前に負数を移動させます。

$- t^{- 2} - 2 t^{- 3} - (- t^{- 1} (\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}})) + \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

ステップ 4.13

$\frac{1}{2}$ と $t^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$- t^{- 2} - 2 t^{- 3} - (- t^{- 1} \frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2}) + \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

ステップ 4.14

$\frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2}$ と $t^{- 1}$ をまとめます。

$- t^{- 2} - 2 t^{- 3} - - \frac{t^{- \frac{1}{2}} t^{- 1}}{2} + \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

ステップ 4.15

指数を足して $t^{- \frac{1}{2}}$ に $t^{- 1}$ を掛けます。

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ステップ 4.15.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- t^{- 2} - 2 t^{- 3} - - \frac{t^{- \frac{1}{2} - 1}}{2} + \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

ステップ 4.15.2

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$- t^{- 2} - 2 t^{- 3} - - \frac{t^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}{2} + \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

ステップ 4.15.3

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$- t^{- 2} - 2 t^{- 3} - - \frac{t^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}{2} + \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

ステップ 4.15.4

公分母の分子をまとめます。

$- t^{- 2} - 2 t^{- 3} - - \frac{t^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}}}{2} + \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

ステップ 4.15.5

分子を簡約します。

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ステップ 4.15.5.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$- t^{- 2} - 2 t^{- 3} - - \frac{t^{\frac{- 1 - 2}{2}}}{2} + \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

ステップ 4.15.5.2

$- 1$ から $2$ を引きます。

$- t^{- 2} - 2 t^{- 3} - - \frac{t^{\frac{- 3}{2}}}{2} + \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

ステップ 4.15.6

分数の前に負数を移動させます。

$- t^{- 2} - 2 t^{- 3} - - \frac{t^{- \frac{3}{2}}}{2} + \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

ステップ 4.16

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $t^{- \frac{3}{2}}$ を分母に移動させます。

$- t^{- 2} - 2 t^{- 3} - - \frac{1}{2 t^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

ステップ 4.17

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$- t^{- 2} - 2 t^{- 3} + 1 \frac{1}{2 t^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

ステップ 4.18

$\frac{1}{2 t^{\frac{3}{2}}}$ に $1$ をかけます。

$- t^{- 2} - 2 t^{- 3} + \frac{1}{2 t^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

ステップ 4.19

$\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$ に $0$ をかけます。

$- t^{- 2} - 2 t^{- 3} + \frac{1}{2 t^{\frac{3}{2}}} + 0$

ステップ 4.20

$\frac{1}{2 t^{\frac{3}{2}}}$ と $0$ をたし算します。

$- t^{- 2} - 2 t^{- 3} + \frac{1}{2 t^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 5

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$- \frac{1}{t^{2}} - 2 t^{- 3} + \frac{1}{2 t^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 6

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$- \frac{1}{t^{2}} - 2 \frac{1}{t^{3}} + \frac{1}{2 t^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 7

項をまとめます。

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ステップ 7.1

$- 2$ と $\frac{1}{t^{3}}$ をまとめます。

$- \frac{1}{t^{2}} + \frac{- 2}{t^{3}} + \frac{1}{2 t^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 7.2

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{1}{t^{2}} - \frac{2}{t^{3}} + \frac{1}{2 t^{\frac{3}{2}}}$

微分積分 例

微分積分例