微分積分例

$y = \ln ({(1 - t)}^{- 2})$

ステップ 1

$f (t) = \ln (t)$ および $g (t) = {(1 - t)}^{- 2}$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ は $f' (g (t)) g' (t)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を ${(1 - t)}^{- 2}$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d t} [{(1 - t)}^{- 2}]$

ステップ 1.2

$u_{1}$ に関する $\ln (u_{1})$ の微分係数は $\frac{1}{u_{1}}$ です。

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d t} [{(1 - t)}^{- 2}]$

ステップ 1.3

$u_{1}$ のすべての発生を ${(1 - t)}^{- 2}$ で置き換えます。

$\frac{1}{{(1 - t)}^{- 2}} \frac{d}{d t} [{(1 - t)}^{- 2}]$

ステップ 2

負の指数法則 $\frac{1}{b^{- n}} = b^{n}$ を利用して ${(1 - t)}^{- 2}$ を分子に移動させます。

${(1 - t)}^{2} \frac{d}{d t} [{(1 - t)}^{- 2}]$

ステップ 3

$f (t) = t^{- 2}$ および $g (t) = 1 - t$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ は $f' (g (t)) g' (t)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $1 - t$ とします。

${(1 - t)}^{2} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 2}] \frac{d}{d t} [1 - t])$

ステップ 3.2

$n = - 2$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ は $n {u_{2}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

${(1 - t)}^{2} (- 2 {u_{2}}^{- 3} \frac{d}{d t} [1 - t])$

ステップ 3.3

$u_{2}$ のすべての発生を $1 - t$ で置き換えます。

${(1 - t)}^{2} (- 2 {(1 - t)}^{- 3} \frac{d}{d t} [1 - t])$

ステップ 4

指数を足して ${(1 - t)}^{2}$ に ${(1 - t)}^{- 3}$ を掛けます。

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ステップ 4.1

${(1 - t)}^{- 3}$ を移動させます。

${(1 - t)}^{- 3} {(1 - t)}^{2} (- 2 \frac{d}{d t} [1 - t])$

ステップ 4.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

${(1 - t)}^{- 3 + 2} (- 2 \frac{d}{d t} [1 - t])$

ステップ 4.3

$- 3$ と $2$ をたし算します。

${(1 - t)}^{- 1} (- 2 \frac{d}{d t} [1 - t])$

ステップ 5

総和則では、 $1 - t$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- t]$ です。

${(1 - t)}^{- 1} (- 2 (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- t]))$

ステップ 6

$1$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

${(1 - t)}^{- 1} (- 2 (0 + \frac{d}{d t} [- t]))$

ステップ 7

$0$ と $\frac{d}{d t} [- t]$ をたし算します。

${(1 - t)}^{- 1} (- 2 \frac{d}{d t} [- t])$

ステップ 8

$- 1$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $- t$ の微分係数は $- \frac{d}{d t} [t]$ です。

${(1 - t)}^{- 1} (- 2 (- \frac{d}{d t} [t]))$

ステップ 9

式を簡約します。

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ステップ 9.1

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

${(1 - t)}^{- 1} (2 \frac{d}{d t} [t])$

ステップ 9.2

$2$ を ${(1 - t)}^{- 1}$ の左に移動させます。

$2 \cdot {(1 - t)}^{- 1} \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 10

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 {(1 - t)}^{- 1} \cdot 1$

ステップ 11

$2$ に $1$ をかけます。

$2 {(1 - t)}^{- 1}$

ステップ 12

簡約します。

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ステップ 12.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$2 \frac{1}{1 - t}$

ステップ 12.2

$2$ と $\frac{1}{1 - t}$ をまとめます。

$\frac{2}{1 - t}$

微分積分 例

微分積分例