微分積分例

$y = \arctan (\sqrt{6 t})$

ステップ 1

くくりだして簡約します。

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ステップ 1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{6 t}$ を ${(6 t)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d t} [\arctan ({(6 t)}^{\frac{1}{2}})]$

ステップ 1.2

$6$ を $6 t$ で因数分解します。

$\frac{d}{d t} [\arctan ({(6 (t))}^{\frac{1}{2}})]$

ステップ 1.3

積の法則を $6 (t)$ に当てはめます。

$\frac{d}{d t} [\arctan (6^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}})]$

ステップ 2

$f (t) = \arctan (t)$ および $g (t) = 6^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ は $f' (g (t)) g' (t)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $6^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}$ とします。

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d t} [6^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 2.2

$u$ に関する $\arctan (u)$ の微分係数は $\frac{1}{1 + u^{2}}$ です。

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d t} [6^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 2.3

$u$ のすべての発生を $6^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}$ で置き換えます。

$\frac{1}{1 + {(6^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d t} [6^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

$6^{\frac{1}{2}}$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $6^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}$ の微分係数は $6^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$ です。

$\frac{1}{1 + {(6^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}})}^{2}} (6^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}])$

ステップ 3.2

$6^{\frac{1}{2}}$ と $\frac{1}{1 + {(6^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$ をまとめます。

$\frac{6^{\frac{1}{2}}}{1 + {(6^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 3.3

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{6^{\frac{1}{2}}}{1 + {(6^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}})}^{2}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1})$

ステップ 4

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{6^{\frac{1}{2}}}{1 + {(6^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}})}^{2}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

ステップ 5

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{6^{\frac{1}{2}}}{1 + {(6^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}})}^{2}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

ステップ 6

公分母の分子をまとめます。

$\frac{6^{\frac{1}{2}}}{1 + {(6^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}})}^{2}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

ステップ 7

分子を簡約します。

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ステップ 7.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{6^{\frac{1}{2}}}{1 + {(6^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}})}^{2}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 2}{2}})$

ステップ 7.2

$1$ から $2$ を引きます。

$\frac{6^{\frac{1}{2}}}{1 + {(6^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}})}^{2}} (\frac{1}{2} t^{\frac{- 1}{2}})$

ステップ 8

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{6^{\frac{1}{2}}}{1 + {(6^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}})}^{2}} (\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}})$

ステップ 9

$\frac{1}{2}$ と $t^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$\frac{6^{\frac{1}{2}}}{1 + {(6^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}})}^{2}} \cdot \frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2}$

ステップ 10

$\frac{6^{\frac{1}{2}}}{1 + {(6^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$ に $\frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2}$ をかけます。

$\frac{6^{\frac{1}{2}} t^{- \frac{1}{2}}}{(1 + {(6^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}})}^{2}) \cdot 2}$

ステップ 11

式を簡約します。

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ステップ 11.1

$2$ を $1 + {(6^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の左に移動させます。

$\frac{6^{\frac{1}{2}} t^{- \frac{1}{2}}}{2 \cdot (1 + {(6^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}})}^{2})}$

ステップ 11.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $t^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$\frac{6^{\frac{1}{2}}}{2 (1 + {(6^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}})}^{2}) t^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 12

簡約します。

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ステップ 12.1

積の法則を $6^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}$ に当てはめます。

$\frac{6^{\frac{1}{2}}}{2 (1 + {(6^{\frac{1}{2}})}^{2} {(t^{\frac{1}{2}})}^{2}) t^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 12.2

分配則を当てはめます。

$\frac{6^{\frac{1}{2}}}{(2 \cdot 1 + 2 ({(6^{\frac{1}{2}})}^{2} {(t^{\frac{1}{2}})}^{2})) t^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 12.3

分配則を当てはめます。

$\frac{6^{\frac{1}{2}}}{2 \cdot 1 t^{\frac{1}{2}} + 2 ({(6^{\frac{1}{2}})}^{2} {(t^{\frac{1}{2}})}^{2}) t^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 12.4

項をまとめます。

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ステップ 12.4.1

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{6^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}} + 2 ({(6^{\frac{1}{2}})}^{2} {(t^{\frac{1}{2}})}^{2}) t^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 12.4.2

${(6^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 12.4.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{6^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}} + 2 (6^{\frac{1}{2} \cdot 2} {(t^{\frac{1}{2}})}^{2}) t^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 12.4.2.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 12.4.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{6^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}} + 2 (6^{\frac{1}{2} \cdot 2} {(t^{\frac{1}{2}})}^{2}) t^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 12.4.2.2.2

式を書き換えます。

$\frac{6^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}} + 2 (6^{1} {(t^{\frac{1}{2}})}^{2}) t^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 12.4.3

指数を求めます。

$\frac{6^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}} + 2 (6 {(t^{\frac{1}{2}})}^{2}) t^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 12.4.4

${(t^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 12.4.4.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{6^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}} + 2 (6 t^{\frac{1}{2} \cdot 2}) t^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 12.4.4.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 12.4.4.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{6^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}} + 2 (6 t^{\frac{1}{2} \cdot 2}) t^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 12.4.4.2.2

式を書き換えます。

$\frac{6^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}} + 2 (6 t^{1}) t^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 12.4.5

簡約します。

$\frac{6^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}} + 2 (6 t) t^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 12.4.6

$6$ に $2$ をかけます。

$\frac{6^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}} + 12 t \cdot t^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 12.4.7

指数を足して $t$ に $t^{\frac{1}{2}}$ を掛けます。

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ステップ 12.4.7.1

$t^{\frac{1}{2}}$ を移動させます。

$\frac{6^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}} + 12 (t^{\frac{1}{2}} t)}$

ステップ 12.4.7.2

$t^{\frac{1}{2}}$ に $t$ をかけます。

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ステップ 12.4.7.2.1

$t$ を $1$ 乗します。

$\frac{6^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}} + 12 (t^{\frac{1}{2}} t^{1})}$

ステップ 12.4.7.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{6^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}} + 12 t^{\frac{1}{2} + 1}}$

ステップ 12.4.7.3

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{6^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}} + 12 t^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

ステップ 12.4.7.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{6^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}} + 12 t^{\frac{1 + 2}{2}}}$

ステップ 12.4.7.5

$1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{6^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}} + 12 t^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 12.5

項を並べ替えます。

$\frac{6^{\frac{1}{2}}}{12 t^{\frac{3}{2}} + 2 t^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 12.6

分母を簡約します。

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ステップ 12.6.1

$2 t^{\frac{1}{2}}$ を $12 t^{\frac{3}{2}} + 2 t^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

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ステップ 12.6.1.1

$2 t^{\frac{1}{2}}$ を $12 t^{\frac{3}{2}}$ で因数分解します。

$\frac{6^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}} (6 t^{\frac{2}{2}}) + 2 t^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 12.6.1.2

$2 t^{\frac{1}{2}}$ を $2 t^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

$\frac{6^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}} (6 t^{\frac{2}{2}}) + 2 t^{\frac{1}{2}} (1)}$

ステップ 12.6.1.3

$2 t^{\frac{1}{2}}$ を $2 t^{\frac{1}{2}} (6 t^{\frac{2}{2}}) + 2 t^{\frac{1}{2}} (1)$ で因数分解します。

$\frac{6^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}} (6 t^{\frac{2}{2}} + 1)}$

ステップ 12.6.2

$2$ を $2$ で割ります。

$\frac{6^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}} (6 t^{1} + 1)}$

ステップ 12.6.3

簡約します。

$\frac{6^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}} (6 t + 1)}$

微分積分 例

微分積分例