微分積分例

$f (x) = {(x + 2)}^{\frac{6}{7}}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

$f (x) = x^{\frac{6}{7}}$ および $g (x) = x + 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x + 2$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{6}{7}}] \frac{d}{d x} [x + 2]$

ステップ 1.1.1.2

$n = \frac{6}{7}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{6}{7} u^{\frac{6}{7} - 1} \frac{d}{d x} [x + 2]$

ステップ 1.1.1.3

$u$ のすべての発生を $x + 2$ で置き換えます。

$\frac{6}{7} {(x + 2)}^{\frac{6}{7} - 1} \frac{d}{d x} [x + 2]$

ステップ 1.1.2

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{7}{7}$ を掛けます。

$\frac{6}{7} {(x + 2)}^{\frac{6}{7} - 1 \cdot \frac{7}{7}} \frac{d}{d x} [x + 2]$

ステップ 1.1.3

$- 1$ と $\frac{7}{7}$ をまとめます。

$\frac{6}{7} {(x + 2)}^{\frac{6}{7} + \frac{- 1 \cdot 7}{7}} \frac{d}{d x} [x + 2]$

ステップ 1.1.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{6}{7} {(x + 2)}^{\frac{6 - 1 \cdot 7}{7}} \frac{d}{d x} [x + 2]$

ステップ 1.1.5

分子を簡約します。

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ステップ 1.1.5.1

$- 1$ に $7$ をかけます。

$\frac{6}{7} {(x + 2)}^{\frac{6 - 7}{7}} \frac{d}{d x} [x + 2]$

ステップ 1.1.5.2

$6$ から $7$ を引きます。

$\frac{6}{7} {(x + 2)}^{\frac{- 1}{7}} \frac{d}{d x} [x + 2]$

ステップ 1.1.6

分数をまとめます。

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ステップ 1.1.6.1

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{6}{7} {(x + 2)}^{- \frac{1}{7}} \frac{d}{d x} [x + 2]$

ステップ 1.1.6.2

$\frac{6}{7}$ と ${(x + 2)}^{- \frac{1}{7}}$ をまとめます。

$\frac{6 {(x + 2)}^{- \frac{1}{7}}}{7} \frac{d}{d x} [x + 2]$

ステップ 1.1.6.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(x + 2)}^{- \frac{1}{7}}$ を分母に移動させます。

$\frac{6}{7 {(x + 2)}^{\frac{1}{7}}} \frac{d}{d x} [x + 2]$

ステップ 1.1.7

総和則では、 $x + 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ です。

$\frac{6}{7 {(x + 2)}^{\frac{1}{7}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])$

ステップ 1.1.8

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{6}{7 {(x + 2)}^{\frac{1}{7}}} (1 + \frac{d}{d x} [2])$

ステップ 1.1.9

$2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{6}{7 {(x + 2)}^{\frac{1}{7}}} (1 + 0)$

ステップ 1.1.10

式を簡約します。

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ステップ 1.1.10.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{6}{7 {(x + 2)}^{\frac{1}{7}}} \cdot 1$

ステップ 1.1.10.2

$\frac{6}{7 {(x + 2)}^{\frac{1}{7}}}$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = \frac{6}{7 {(x + 2)}^{\frac{1}{7}}}$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $\frac{6}{7 {(x + 2)}^{\frac{1}{7}}}$ です。

$\frac{6}{7 {(x + 2)}^{\frac{1}{7}}}$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{6}{7 {(x + 2)}^{\frac{1}{7}}} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$\frac{6}{7 {(x + 2)}^{\frac{1}{7}}} = 0$

ステップ 2.2

分子を0に等しくします。

$6 = 0$

ステップ 2.3

$6 \neq 0$ なので、解はありません。

解がありません

ステップ 3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 3.1

分数指数をもつ式を根に変換します。

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ステップ 3.1.1

法則 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ を当てはめ、累乗法を根で書き換えます。

$\frac{6}{7 \sqrt[7]{{(x + 2)}^{1}}}$

ステップ 3.1.2

$1$ に乗じたものは底そのものです。

$\frac{6}{7 \sqrt[7]{x + 2}}$

ステップ 3.2

$\frac{6}{7 \sqrt[7]{x + 2}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$7 \sqrt[7]{x + 2} = 0$

ステップ 3.3

$x$ について解きます。

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ステップ 3.3.1

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を $7$ 乗します。

${(7 \sqrt[7]{x + 2})}^{7} = 0^{7}$

ステップ 3.3.2

方程式の各辺を簡約します。

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ステップ 3.3.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[7]{x + 2}$ を ${(x + 2)}^{\frac{1}{7}}$ に書き換えます。

${(7 {(x + 2)}^{\frac{1}{7}})}^{7} = 0^{7}$

ステップ 3.3.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.3.2.2.1

${(7 {(x + 2)}^{\frac{1}{7}})}^{7}$ を簡約します。

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ステップ 3.3.2.2.1.1

積の法則を $7 {(x + 2)}^{\frac{1}{7}}$ に当てはめます。

$7^{7} {({(x + 2)}^{\frac{1}{7}})}^{7} = 0^{7}$

ステップ 3.3.2.2.1.2

$7$ を $7$ 乗します。

$823543 {({(x + 2)}^{\frac{1}{7}})}^{7} = 0^{7}$

ステップ 3.3.2.2.1.3

${({(x + 2)}^{\frac{1}{7}})}^{7}$ の指数を掛けます。

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ステップ 3.3.2.2.1.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$823543 {(x + 2)}^{\frac{1}{7} \cdot 7} = 0^{7}$

ステップ 3.3.2.2.1.3.2

$7$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.2.2.1.3.2.1

共通因数を約分します。

$823543 {(x + 2)}^{\frac{1}{7} \cdot 7} = 0^{7}$

ステップ 3.3.2.2.1.3.2.2

式を書き換えます。

$823543 {(x + 2)}^{1} = 0^{7}$

ステップ 3.3.2.2.1.4

簡約します。

$823543 (x + 2) = 0^{7}$

ステップ 3.3.2.2.1.5

分配則を当てはめます。

$823543 x + 823543 \cdot 2 = 0^{7}$

ステップ 3.3.2.2.1.6

$823543$ に $2$ をかけます。

$823543 x + 1647086 = 0^{7}$

ステップ 3.3.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.3.2.3.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$823543 x + 1647086 = 0$

ステップ 3.3.3

$x$ について解きます。

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ステップ 3.3.3.1

方程式の両辺から $1647086$ を引きます。

$823543 x = - 1647086$

ステップ 3.3.3.2

$823543 x = - 1647086$ の各項を $823543$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.3.3.2.1

$823543 x = - 1647086$ の各項を $823543$ で割ります。

$\frac{823543 x}{823543} = \frac{- 1647086}{823543}$

ステップ 3.3.3.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.2.2.1

$823543$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{823543 x}{823543} = \frac{- 1647086}{823543}$

ステップ 3.3.3.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 1647086}{823543}$

ステップ 3.3.3.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.3.3.2.3.1

$- 1647086$ を $823543$ で割ります。

$x = - 2$

ステップ 4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における ${(x + 2)}^{\frac{6}{7}}$ の値を求めます。

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ステップ 4.1

$x = - 2$ での値を求めます。

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ステップ 4.1.1

$- 2$ を $x$ に代入します。

${((- 2) + 2)}^{\frac{6}{7}}$

ステップ 4.1.2

簡約します。

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ステップ 4.1.2.1

式を簡約します。

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ステップ 4.1.2.1.1

$- 2$ と $2$ をたし算します。

$0^{\frac{6}{7}}$

ステップ 4.1.2.1.2

$0$ を $0^{7}$ に書き換えます。

${(0^{7})}^{\frac{6}{7}}$

ステップ 4.1.2.1.3

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$0^{7 (\frac{6}{7})}$

ステップ 4.1.2.2

$7$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.1.2.2.1

共通因数を約分します。

$0^{7 (\frac{6}{7})}$

ステップ 4.1.2.2.2

式を書き換えます。

$0^{6}$

ステップ 4.1.2.3

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$0$

ステップ 4.2

点のすべてを一覧にします。

$(- 2, 0)$

ステップ 5

微分積分 例

微分積分例