微分積分例

$\frac{3 x - 2}{\sqrt{2 x^{2} + 1}}$

ステップ 1

式

$\frac{3 x - 2}{\sqrt{2 x^{2} + 1}}$ が未定義である場所を求めます。

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 2

垂直漸近線は無限が不連続になる場所で発生します。

垂直漸近線がありません

ステップ 3

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x - 2}{\sqrt{2 x^{2} + 1}}$ の値を求め水平漸近線を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

分子と分母を分母の

$x$ の最大べき乗で割ると、

$x = \sqrt{x^{2}}$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3 x}{x} + \frac{- 2}{x}}{\sqrt{\frac{2 x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}$

ステップ 3.2

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

各項を簡約します。

$lim_{x \to \infty} \frac{3 - \frac{2}{x}}{\sqrt{\frac{2 x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}$

ステップ 3.2.2

$x^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1

共通因数を約分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{3 - \frac{2}{x}}{\sqrt{\frac{2 x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}$

ステップ 3.2.2.2

$2$ を

$1$ で割ります。

$lim_{x \to \infty} \frac{3 - \frac{2}{x}}{\sqrt{2 + \frac{1}{x^{2}}}}$

ステップ 3.2.3

$x$ が

$\infty$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{lim_{x \to \infty} 3 - \frac{2}{x}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{2 + \frac{1}{x^{2}}}}$

ステップ 3.2.4

$x$ が

$\infty$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to \infty} 3 - lim_{x \to \infty} \frac{2}{x}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{2 + \frac{1}{x^{2}}}}$

ステップ 3.2.5

$x$ が

$\infty$ に近づくと定数である

$3$ の極限値を求めます。

$\frac{3 - lim_{x \to \infty} \frac{2}{x}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{2 + \frac{1}{x^{2}}}}$

ステップ 3.2.6

$2$ の項は

$x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{3 - 2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{2 + \frac{1}{x^{2}}}}$

ステップ 3.3

分子が実数に近づき、分母が有界でないので、分数

$\frac{1}{x}$ は

$0$ に近づきます。

$\frac{3 - 2 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} \sqrt{2 + \frac{1}{x^{2}}}}$

ステップ 3.4

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

根号の下に極限を移動させます。

$\frac{3 - 2 \cdot 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x^{2}}}}$

ステップ 3.4.2

$x$ が

$\infty$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{3 - 2 \cdot 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} 2 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}}$

ステップ 3.4.3

$x$ が

$\infty$ に近づくと定数である

$2$ の極限値を求めます。

$\frac{3 - 2 \cdot 0}{\sqrt{2 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}}$

ステップ 3.5

分子が実数に近づき、分母が有界でないので、分数

$\frac{1}{x^{2}}$ は

$0$ に近づきます。

$\frac{3 - 2 \cdot 0}{\sqrt{2 + 0}}$

ステップ 3.6

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.1.1

$- 2$ に

$0$ をかけます。

$\frac{3 + 0}{\sqrt{2 + 0}}$

ステップ 3.6.1.2

$3$ と

$0$ をたし算します。

$\frac{3}{\sqrt{2 + 0}}$

ステップ 3.6.2

$2$ と

$0$ をたし算します。

$\frac{3}{\sqrt{2}}$

ステップ 3.6.3

$\frac{3}{\sqrt{2}}$ に

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ をかけます。

$\frac{3}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

ステップ 3.6.4

分母を組み合わせて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.4.1

$\frac{3}{\sqrt{2}}$ に

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ をかけます。

$\frac{3 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

ステップ 3.6.4.2

$\sqrt{2}$ を

$1$ 乗します。

$\frac{3 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

ステップ 3.6.4.3

$\sqrt{2}$ を

$1$ 乗します。

$\frac{3 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

ステップ 3.6.4.4

べき乗則

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{3 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

ステップ 3.6.4.5

$1$ と

$1$ をたし算します。

$\frac{3 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

ステップ 3.6.4.6

${\sqrt{2}}^{2}$ を

$2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.4.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、

$\sqrt{2}$ を

$2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{3 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 3.6.4.6.2

べき乗則を当てはめて、指数

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{3 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 3.6.4.6.3

$\frac{1}{2}$ と

$2$ をまとめます。

$\frac{3 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 3.6.4.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.4.6.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 3.6.4.6.4.2

式を書き換えます。

$\frac{3 \sqrt{2}}{2^{1}}$

ステップ 3.6.4.6.5

指数を求めます。

$\frac{3 \sqrt{2}}{2}$

ステップ 4

$lim_{x \to - \infty} \frac{3 x - 2}{\sqrt{2 x^{2} + 1}}$ の値を求め水平漸近線を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

分子と分母を分母の

$x$ の最大べき乗で割ると、

$x = - \sqrt{x^{2}}$ です。

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{3 x}{x} + \frac{- 2}{x}}{- \sqrt{\frac{2 x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}$

ステップ 4.2

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

各項を簡約します。

$lim_{x \to - \infty} \frac{3 - \frac{2}{x}}{- \sqrt{\frac{2 x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}$

ステップ 4.2.2

$x^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1

共通因数を約分します。

$lim_{x \to - \infty} \frac{3 - \frac{2}{x}}{- \sqrt{\frac{2 x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}$

ステップ 4.2.2.2

$2$ を

$1$ で割ります。

$lim_{x \to - \infty} \frac{3 - \frac{2}{x}}{- \sqrt{2 + \frac{1}{x^{2}}}}$

ステップ 4.2.3

$x$ が

$- \infty$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{lim_{x \to - \infty} 3 - \frac{2}{x}}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{2 + \frac{1}{x^{2}}}}$

ステップ 4.2.4

$x$ が

$- \infty$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to - \infty} 3 - lim_{x \to - \infty} \frac{2}{x}}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{2 + \frac{1}{x^{2}}}}$

ステップ 4.2.5

$x$ が

$- \infty$ に近づくと定数である

$3$ の極限値を求めます。

$\frac{3 - lim_{x \to - \infty} \frac{2}{x}}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{2 + \frac{1}{x^{2}}}}$

ステップ 4.2.6

$2$ の項は

$x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{3 - 2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{2 + \frac{1}{x^{2}}}}$

ステップ 4.3

分子が実数に近づき、分母が有界でないので、分数

$\frac{1}{x}$ は

$0$ に近づきます。

$\frac{3 - 2 \cdot 0}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{2 + \frac{1}{x^{2}}}}$

ステップ 4.4

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.1

$- 1$ の項は

$x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{3 - 2 \cdot 0}{- lim_{x \to - \infty} \sqrt{2 + \frac{1}{x^{2}}}}$

ステップ 4.4.2

根号の下に極限を移動させます。

$\frac{3 - 2 \cdot 0}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x^{2}}}}$

ステップ 4.4.3

$x$ が

$- \infty$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{3 - 2 \cdot 0}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} 2 + lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}}}}$

ステップ 4.4.4

$x$ が

$- \infty$ に近づくと定数である

$2$ の極限値を求めます。

$\frac{3 - 2 \cdot 0}{- \sqrt{2 + lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}}}}$

ステップ 4.5

分子が実数に近づき、分母が有界でないので、分数

$\frac{1}{x^{2}}$ は

$0$ に近づきます。

$\frac{3 - 2 \cdot 0}{- \sqrt{2 + 0}}$

ステップ 4.6

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.6.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.6.1.1

$- 2$ に

$0$ をかけます。

$\frac{3 + 0}{- \sqrt{2 + 0}}$

ステップ 4.6.1.2

$3$ と

$0$ をたし算します。

$\frac{3}{- \sqrt{2 + 0}}$

ステップ 4.6.2

$2$ と

$0$ をたし算します。

$\frac{3}{- \sqrt{2}}$

ステップ 4.6.3

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{3}{\sqrt{2}}$

ステップ 4.6.4

$\frac{3}{\sqrt{2}}$ に

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ をかけます。

$- (\frac{3}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

ステップ 4.6.5

分母を組み合わせて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.6.5.1

$\frac{3}{\sqrt{2}}$ に

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ をかけます。

$- \frac{3 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

ステップ 4.6.5.2

$\sqrt{2}$ を

$1$ 乗します。

$- \frac{3 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

ステップ 4.6.5.3

$\sqrt{2}$ を

$1$ 乗します。

$- \frac{3 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

ステップ 4.6.5.4

べき乗則

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- \frac{3 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

ステップ 4.6.5.5

$1$ と

$1$ をたし算します。

$- \frac{3 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

ステップ 4.6.5.6

${\sqrt{2}}^{2}$ を

$2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.6.5.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、

$\sqrt{2}$ を

$2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$- \frac{3 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 4.6.5.6.2

べき乗則を当てはめて、指数

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- \frac{3 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 4.6.5.6.3

$\frac{1}{2}$ と

$2$ をまとめます。

$- \frac{3 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 4.6.5.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.6.5.6.4.1

共通因数を約分します。

$- \frac{3 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 4.6.5.6.4.2

式を書き換えます。

$- \frac{3 \sqrt{2}}{2^{1}}$

ステップ 4.6.5.6.5

指数を求めます。

$- \frac{3 \sqrt{2}}{2}$

ステップ 5

水平漸近線のリスト：

$y = \frac{3 \sqrt{2}}{2}, - \frac{3 \sqrt{2}}{2}$

ステップ 6

多項式の割り算を利用して斜めの漸近線を求めます。これはラジカルを含む式なので、多項式の割り算はできません。

斜めの漸近線を求められません

ステップ 7

すべての漸近線の集合です。

垂直漸近線がありません

水平漸近線：

$y = \frac{3 \sqrt{2}}{2}, - \frac{3 \sqrt{2}}{2}$

斜めの漸近線を求められません

ステップ 8

微分積分 例

微分積分例