微分積分例

$y = \frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}$

ステップ 1

方程式を $\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}} = y$ として書き換えます。

$\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}} = y$

ステップ 2

両辺に $1 - e^{x}$ を掛けます。

$\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}} (1 - e^{x}) = y (1 - e^{x})$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

左辺を簡約します。

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ステップ 3.1.1

$1 - e^{x}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.1.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}} (1 - e^{x}) = y (1 - e^{x})$

ステップ 3.1.1.2

式を書き換えます。

$1 + e^{x} = y (1 - e^{x})$

ステップ 3.2

右辺を簡約します。

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ステップ 3.2.1

$y (1 - e^{x})$ を簡約します。

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ステップ 3.2.1.1

分配則を当てはめます。

$1 + e^{x} = y \cdot 1 + y (- e^{x})$

ステップ 3.2.1.2

式を簡約します。

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ステップ 3.2.1.2.1

$y$ に $1$ をかけます。

$1 + e^{x} = y + y (- e^{x})$

ステップ 3.2.1.2.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$1 + e^{x} = y - y e^{x}$

ステップ 4

$x$ について解きます。

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ステップ 4.1

方程式の両辺に $y e^{x}$ を足します。

$1 + e^{x} + y e^{x} = y$

ステップ 4.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$e^{x} + y e^{x} = y - 1$

ステップ 4.3

$e^{x}$ を $e^{x} + y e^{x}$ で因数分解します。

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ステップ 4.3.1

$1$ を掛けます。

$e^{x} \cdot 1 + y e^{x} = y - 1$

ステップ 4.3.2

$e^{x}$ を $y e^{x}$ で因数分解します。

$e^{x} \cdot 1 + e^{x} y = y - 1$

ステップ 4.3.3

$e^{x}$ を $e^{x} \cdot 1 + e^{x} y$ で因数分解します。

$e^{x} (1 + y) = y - 1$

ステップ 4.4

$e^{x} (1 + y) = y - 1$ の各項を $1 + y$ で割り、簡約します。

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ステップ 4.4.1

$e^{x} (1 + y) = y - 1$ の各項を $1 + y$ で割ります。

$\frac{e^{x} (1 + y)}{1 + y} = \frac{y}{1 + y} + \frac{- 1}{1 + y}$

ステップ 4.4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 4.4.2.1

$1 + y$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{e^{x} (1 + y)}{1 + y} = \frac{y}{1 + y} + \frac{- 1}{1 + y}$

ステップ 4.4.2.1.2

$e^{x}$ を $1$ で割ります。

$e^{x} = \frac{y}{1 + y} + \frac{- 1}{1 + y}$

ステップ 4.4.3

右辺を簡約します。

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ステップ 4.4.3.1

公分母の分子をまとめます。

$e^{x} = \frac{y - 1}{1 + y}$

ステップ 4.5

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (e^{x}) = \ln (\frac{y - 1}{1 + y})$

ステップ 4.6

左辺を展開します。

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ステップ 4.6.1

$x$ を対数の外に移動させて、 $\ln (e^{x})$ を展開します。

$x \ln (e) = \ln (\frac{y - 1}{1 + y})$

ステップ 4.6.2

$e$ の自然対数は $1$ です。

$x \cdot 1 = \ln (\frac{y - 1}{1 + y})$

ステップ 4.6.3

$x$ に $1$ をかけます。

$x = \ln (\frac{y - 1}{1 + y})$

微分積分 例

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