微分積分例

$y = 12 x - 3 x^{2}$

ステップ 1

与えられた放物線の特性を求めます。

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ステップ 1.1

方程式を頂点形で書き換えます。

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ステップ 1.1.1

$12 x$ と $- 3 x^{2}$ を並べ替えます。

$y = - 3 x^{2} + 12 x$

ステップ 1.1.2

$- 3 x^{2} + 12 x$ の平方完成。

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ステップ 1.1.2.1

式 $a x^{2} + b x + c$ を利用して、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ の値を求めます。

$a = - 3$

$b = 12$

$c = 0$

ステップ 1.1.2.2

放物線の標準形を考えます。

$a {(x + d)}^{2} + e$

ステップ 1.1.2.3

公式 $d = \frac{b}{2 a}$ を利用して $d$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.2.3.1

$a$ と $b$ の値を公式 $d = \frac{b}{2 a}$ に代入します。

$d = \frac{12}{2 \cdot - 3}$

ステップ 1.1.2.3.2

右辺を簡約します。

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ステップ 1.1.2.3.2.1

$12$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.2.3.2.1.1

$2$ を $12$ で因数分解します。

$d = \frac{2 \cdot 6}{2 \cdot - 3}$

ステップ 1.1.2.3.2.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.2.3.2.1.2.1

$2$ を $2 \cdot - 3$ で因数分解します。

$d = \frac{2 \cdot 6}{2 (- 3)}$

ステップ 1.1.2.3.2.1.2.2

共通因数を約分します。

$d = \frac{2 \cdot 6}{2 \cdot - 3}$

ステップ 1.1.2.3.2.1.2.3

式を書き換えます。

$d = \frac{6}{- 3}$

ステップ 1.1.2.3.2.2

$6$ と $- 3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.2.3.2.2.1

$3$ を $6$ で因数分解します。

$d = \frac{3 (2)}{- 3}$

ステップ 1.1.2.3.2.2.2

$\frac{2}{- 1}$ の分母からマイナス1を移動させます。

$d = - 1 \cdot 2$

ステップ 1.1.2.3.2.3

$- 1$ に $2$ をかけます。

$d = - 2$

ステップ 1.1.2.4

公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ を利用して $e$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.2.4.1

$c$ 、 $b$ 、および $a$ の値を公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ に代入します。

$e = 0 - \frac{12^{2}}{4 \cdot - 3}$

ステップ 1.1.2.4.2

右辺を簡約します。

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ステップ 1.1.2.4.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.1.2.4.2.1.1

$12$ を $2$ 乗します。

$e = 0 - \frac{144}{4 \cdot - 3}$

ステップ 1.1.2.4.2.1.2

$4$ に $- 3$ をかけます。

$e = 0 - \frac{144}{- 12}$

ステップ 1.1.2.4.2.1.3

$144$ を $- 12$ で割ります。

$e = 0 - - 12$

ステップ 1.1.2.4.2.1.4

$- 1$ に $- 12$ をかけます。

$e = 0 + 12$

ステップ 1.1.2.4.2.2

$0$ と $12$ をたし算します。

$e = 12$

ステップ 1.1.2.5

$a$ 、 $d$ 、および $e$ の値を頂点形 $- 3 {(x - 2)}^{2} + 12$ に代入します。

$- 3 {(x - 2)}^{2} + 12$

ステップ 1.1.3

$y$ は新しい右辺と等しいとします。

$y = - 3 {(x - 2)}^{2} + 12$

ステップ 1.2

頂点形、 $y = a {(x - h)}^{2} + k$ 、を利用して $a$ 、 $h$ 、 $k$ の値を求めます。

$a = - 3$

$h = 2$

$k = 12$

ステップ 1.3

$a$ の値が負なので、放物線は下に開です。

下に開く

ステップ 1.4

頂点 $(h, k)$ を求めます。

$(2, 12)$

ステップ 1.5

頂点から焦点までの距離 $p$ を求めます。

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ステップ 1.5.1

次の式を利用して放物線の交点から焦点までの距離を求めます。

$\frac{1}{4 a}$

ステップ 1.5.2

$a$ の値を公式に代入します。

$\frac{1}{4 \cdot - 3}$

ステップ 1.5.3

簡約します。

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ステップ 1.5.3.1

$4$ に $- 3$ をかけます。

$\frac{1}{- 12}$

ステップ 1.5.3.2

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{1}{12}$

ステップ 1.6

焦点を求めます。

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ステップ 1.6.1

放物線の焦点は、放物線が上下に開の場合、 $p$ をy座標 $k$ に加えて求められます。

$(h, k + p)$

ステップ 1.6.2

$h$ と $p$ 、および $k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$(2, \frac{143}{12})$

ステップ 1.7

交点と焦点を通る線を求め、対称軸を求めます。

$x = 2$

ステップ 1.8

準線を求めます。

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ステップ 1.8.1

放物線の準線は、放物線が上下に開の場合、頂点のy座標 $k$ から $p$ を引いて求められる水平線です。

$y = k - p$

ステップ 1.8.2

$p$ と $k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$y = \frac{145}{12}$

ステップ 1.9

放物線の性質を利用して放物線を分析しグラフに描きます。

方向：下に開

頂点： $(2, 12)$

焦点： $(2, \frac{143}{12})$

対称軸： $x = 2$

準線： $y = \frac{145}{12}$

方向：下に開

頂点： $(2, 12)$

焦点： $(2, \frac{143}{12})$

対称軸： $x = 2$

準線： $y = \frac{145}{12}$

ステップ 2

$x$ 値をいくつか選択し、方程式に代入し対応する $y$ 値を求めます。 $x$ 値は頂点の周りで選択しなければなりません。

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ステップ 2.1

式の変数 $x$ を $1$ で置換えます。

$f (1) = - 3 {(1)}^{2} + 12 (1)$

ステップ 2.2

結果を簡約します。

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ステップ 2.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.2.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$f (1) = - 3 \cdot 1 + 12 (1)$

ステップ 2.2.1.2

$- 3$ に $1$ をかけます。

$f (1) = - 3 + 12 (1)$

ステップ 2.2.1.3

$12$ に $1$ をかけます。

$f (1) = - 3 + 12$

ステップ 2.2.2

$- 3$ と $12$ をたし算します。

$f (1) = 9$

ステップ 2.2.3

最終的な答えは $9$ です。

$9$

ステップ 2.3

$x = 1$ における $y$ 値は $9$ です。

$y = 9$

ステップ 2.4

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f (0) = - 3 {(0)}^{2} + 12 (0)$

ステップ 2.5

結果を簡約します。

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ステップ 2.5.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.5.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f (0) = - 3 \cdot 0 + 12 (0)$

ステップ 2.5.1.2

$- 3$ に $0$ をかけます。

$f (0) = 0 + 12 (0)$

ステップ 2.5.1.3

$12$ に $0$ をかけます。

$f (0) = 0 + 0$

ステップ 2.5.2

$0$ と $0$ をたし算します。

$f (0) = 0$

ステップ 2.5.3

最終的な答えは $0$ です。

$0$

ステップ 2.6

$x = 0$ における $y$ 値は $0$ です。

$y = 0$

ステップ 2.7

式の変数 $x$ を $3$ で置換えます。

$f (3) = - 3 {(3)}^{2} + 12 (3)$

ステップ 2.8

結果を簡約します。

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ステップ 2.8.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.8.1.1

$3$ を $2$ 乗します。

$f (3) = - 3 \cdot 9 + 12 (3)$

ステップ 2.8.1.2

$- 3$ に $9$ をかけます。

$f (3) = - 27 + 12 (3)$

ステップ 2.8.1.3

$12$ に $3$ をかけます。

$f (3) = - 27 + 36$

ステップ 2.8.2

$- 27$ と $36$ をたし算します。

$f (3) = 9$

ステップ 2.8.3

最終的な答えは $9$ です。

$9$

ステップ 2.9

$x = 3$ における $y$ 値は $9$ です。

$y = 9$

ステップ 2.10

式の変数 $x$ を $4$ で置換えます。

$f (4) = - 3 {(4)}^{2} + 12 (4)$

ステップ 2.11

結果を簡約します。

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ステップ 2.11.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.11.1.1

$4$ を $2$ 乗します。

$f (4) = - 3 \cdot 16 + 12 (4)$

ステップ 2.11.1.2

$- 3$ に $16$ をかけます。

$f (4) = - 48 + 12 (4)$

ステップ 2.11.1.3

$12$ に $4$ をかけます。

$f (4) = - 48 + 48$

ステップ 2.11.2

$- 48$ と $48$ をたし算します。

$f (4) = 0$

ステップ 2.11.3

最終的な答えは $0$ です。

$0$

ステップ 2.12

$x = 4$ における $y$ 値は $0$ です。

$y = 0$

ステップ 2.13

放物線の特性と選択した点を利用し、放物線をグラフに描きます。

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & 0 \\ 1 & 9 \\ 2 & 12 \\ 3 & 9 \\ 4 & 0 \end{array}$

ステップ 3

放物線の特性と選択した点を利用し、放物線をグラフに描きます。

方向：下に開

頂点： $(2, 12)$

焦点： $(2, \frac{143}{12})$

対称軸： $x = 2$

準線： $y = \frac{145}{12}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & 0 \\ 1 & 9 \\ 2 & 12 \\ 3 & 9 \\ 4 & 0 \end{array}$

ステップ 4

微分積分 例

微分積分例