微分積分例

$x = y^{2} - 5 y$

ステップ 1

与えられた放物線の特性を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

方程式を頂点形で書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

$y^{2} - 5 y$ の平方完成。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.1

式 $a x^{2} + b x + c$ を利用して、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ の値を求めます。

$a = 1$

$b = - 5$

$c = 0$

ステップ 1.1.1.2

放物線の標準形を考えます。

$a {(x + d)}^{2} + e$

ステップ 1.1.1.3

公式 $d = \frac{b}{2 a}$ を利用して $d$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.3.1

$a$ と $b$ の値を公式 $d = \frac{b}{2 a}$ に代入します。

$d = \frac{- 5}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.1.1.3.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.3.2.1

$2$ に $1$ をかけます。

$d = \frac{- 5}{2}$

ステップ 1.1.1.3.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$d = - \frac{5}{2}$

ステップ 1.1.1.4

公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ を利用して $e$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.4.1

$c$ 、 $b$ 、および $a$ の値を公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ に代入します。

$e = 0 - \frac{{(- 5)}^{2}}{4 \cdot 1}$

ステップ 1.1.1.4.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.4.2.1.1

$- 5$ を $2$ 乗します。

$e = 0 - \frac{25}{4 \cdot 1}$

ステップ 1.1.1.4.2.1.2

$4$ に $1$ をかけます。

$e = 0 - \frac{25}{4}$

ステップ 1.1.1.4.2.2

$0$ から $\frac{25}{4}$ を引きます。

$e = - \frac{25}{4}$

ステップ 1.1.1.5

$a$ 、 $d$ 、および $e$ の値を頂点形 ${(y - \frac{5}{2})}^{2} - \frac{25}{4}$ に代入します。

${(y - \frac{5}{2})}^{2} - \frac{25}{4}$

ステップ 1.1.2

$x$ は新しい右辺と等しいとします。

$x = {(y - \frac{5}{2})}^{2} - \frac{25}{4}$

ステップ 1.2

頂点形、 $x = a {(y - k)}^{2} + h$ 、を利用して $a$ 、 $h$ 、 $k$ の値を求めます。

$a = 1$

$h = - \frac{25}{4}$

$k = \frac{5}{2}$

ステップ 1.3

$a$ の値が正なので、放物線は右に開です。

右に開く

ステップ 1.4

頂点 $(h, k)$ を求めます。

$(- \frac{25}{4}, \frac{5}{2})$

ステップ 1.5

頂点から焦点までの距離 $p$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1

次の式を利用して放物線の交点から焦点までの距離を求めます。

$\frac{1}{4 a}$

ステップ 1.5.2

$a$ の値を公式に代入します。

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

ステップ 1.5.3

$1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

ステップ 1.5.3.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{4}$

ステップ 1.6

焦点を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.6.1

放物線の焦点は、放物線が左右に開の場合、 $p$ をx座標 $h$ に加えて求められます。

$(h + p, k)$

ステップ 1.6.2

$h$ と $p$ 、および $k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$(- 6, \frac{5}{2})$

ステップ 1.7

交点と焦点を通る線を求め、対称軸を求めます。

$y = \frac{5}{2}$

ステップ 1.8

準線を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.8.1

放物線の準線は、放物線が左右に開の場合、頂点のx座標 $h$ から $p$ を引いて求められる垂直線です。

$x = h - p$

ステップ 1.8.2

$p$ と $h$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$x = - \frac{13}{2}$

ステップ 1.9

放物線の性質を利用して放物線を分析しグラフに描きます。

方向：右に開

頂点： $(- \frac{25}{4}, \frac{5}{2})$

焦点： $(- 6, \frac{5}{2})$

対称軸： $y = \frac{5}{2}$

準線： $x = - \frac{13}{2}$

方向：右に開

頂点： $(- \frac{25}{4}, \frac{5}{2})$

焦点： $(- 6, \frac{5}{2})$

対称軸： $y = \frac{5}{2}$

準線： $x = - \frac{13}{2}$

ステップ 2

$x$ 値をいくつか選択し、方程式に代入し対応する $y$ 値を求めます。 $x$ 値は頂点の周りで選択しなければなりません。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$x$ 値の $- 5.25$ を $f (x) = \frac{5 + \sqrt{25 + 4 x}}{2}$ に代入します。この場合、点は $(- 5.25, 3.5)$ です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

式の変数 $x$ を $- 5.25$ で置換えます。

$f (- 5.25) = \frac{5 + \sqrt{25 + 4 (- 5.25)}}{2}$

ステップ 2.1.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1.1

$4$ に $- 5.25$ をかけます。

$f (- 5.25) = \frac{5 + \sqrt{25 - 21}}{2}$

ステップ 2.1.2.1.2

$25$ から $21$ を引きます。

$f (- 5.25) = \frac{5 + \sqrt{4}}{2}$

ステップ 2.1.2.1.3

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$f (- 5.25) = \frac{5 + \sqrt{2^{2}}}{2}$

ステップ 2.1.2.1.4

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$f (- 5.25) = \frac{5 + 2}{2}$

ステップ 2.1.2.1.5

$5$ と $2$ をたし算します。

$f (- 5.25) = \frac{7}{2}$

ステップ 2.1.2.2

$7$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.2.1

$7$ を $1 (7)$ に書き換えます。

$f (- 5.25) = \frac{1 (7)}{2}$

ステップ 2.1.2.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.2.2.1

$2$ を $1 (2)$ に書き換えます。

$f (- 5.25) = \frac{1 \cdot 7}{1 \cdot 2}$

ステップ 2.1.2.2.2.2

共通因数を約分します。

$f (- 5.25) = \frac{1 \cdot 7}{1 \cdot 2}$

ステップ 2.1.2.2.2.3

式を書き換えます。

$f (- 5.25) = \frac{7}{2}$

ステップ 2.1.2.3

最終的な答えは $\frac{7}{2}$ です。

$y = \frac{7}{2}$

ステップ 2.1.3

$\frac{7}{2}$ を10進数に変換します。

$= 3.5$

ステップ 2.2

$x$ 値の $- 5.25$ を $f (x) = \frac{5 - \sqrt{25 + 4 x}}{2}$ に代入します。この場合、点は $(- 5.25, 1.5)$ です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

式の変数 $x$ を $- 5.25$ で置換えます。

$f (- 5.25) = \frac{5 - \sqrt{25 + 4 (- 5.25)}}{2}$

ステップ 2.2.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1.1

$4$ に $- 5.25$ をかけます。

$f (- 5.25) = \frac{5 - \sqrt{25 - 21}}{2}$

ステップ 2.2.2.1.2

$25$ から $21$ を引きます。

$f (- 5.25) = \frac{5 - \sqrt{4}}{2}$

ステップ 2.2.2.1.3

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$f (- 5.25) = \frac{5 - \sqrt{2^{2}}}{2}$

ステップ 2.2.2.1.4

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$f (- 5.25) = \frac{5 - 1 \cdot 2}{2}$

ステップ 2.2.2.1.5

$- 1$ に $2$ をかけます。

$f (- 5.25) = \frac{5 - 2}{2}$

ステップ 2.2.2.1.6

$5$ から $2$ を引きます。

$f (- 5.25) = \frac{3}{2}$

ステップ 2.2.2.2

$3$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.2.1

$3$ を $1 (3)$ に書き換えます。

$f (- 5.25) = \frac{1 (3)}{2}$

ステップ 2.2.2.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.2.2.1

$2$ を $1 (2)$ に書き換えます。

$f (- 5.25) = \frac{1 \cdot 3}{1 \cdot 2}$

ステップ 2.2.2.2.2.2

共通因数を約分します。

$f (- 5.25) = \frac{1 \cdot 3}{1 \cdot 2}$

ステップ 2.2.2.2.2.3

式を書き換えます。

$f (- 5.25) = \frac{3}{2}$

ステップ 2.2.2.3

最終的な答えは $\frac{3}{2}$ です。

$y = \frac{3}{2}$

ステップ 2.2.3

$\frac{3}{2}$ を10進数に変換します。

$= 1.5$

ステップ 2.3

$x$ 値の $- 4.25$ を $f (x) = \frac{5 + \sqrt{25 + 4 x}}{2}$ に代入します。この場合、点は $(- 4.25, \frac{5 + \sqrt{8}}{2})$ です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

式の変数 $x$ を $- 4.25$ で置換えます。

$f (- 4.25) = \frac{5 + \sqrt{25 + 4 (- 4.25)}}{2}$

ステップ 2.3.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1.1

$4$ に $- 4.25$ をかけます。

$f (- 4.25) = \frac{5 + \sqrt{25 - 17}}{2}$

ステップ 2.3.2.1.2

$25$ から $17$ を引きます。

$f (- 4.25) = \frac{5 + \sqrt{8}}{2}$

ステップ 2.3.2.2

最終的な答えは $\frac{5 + \sqrt{8}}{2}$ です。

$y = \frac{5 + \sqrt{8}}{2}$

ステップ 2.4

$x$ 値の $- 4.25$ を $f (x) = \frac{5 - \sqrt{25 + 4 x}}{2}$ に代入します。この場合、点は $(- 4.25, \frac{5 - \sqrt{8}}{2})$ です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

式の変数 $x$ を $- 4.25$ で置換えます。

$f (- 4.25) = \frac{5 - \sqrt{25 + 4 (- 4.25)}}{2}$

ステップ 2.4.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.1.1

$4$ に $- 4.25$ をかけます。

$f (- 4.25) = \frac{5 - \sqrt{25 - 17}}{2}$

ステップ 2.4.2.1.2

$25$ から $17$ を引きます。

$f (- 4.25) = \frac{5 - \sqrt{8}}{2}$

ステップ 2.4.2.2

最終的な答えは $\frac{5 - \sqrt{8}}{2}$ です。

$y = \frac{5 - \sqrt{8}}{2}$

ステップ 2.5

放物線の特性と選択した点を利用し、放物線をグラフに描きます。

$\begin{array}{c} x & y \\ - \frac{25}{4} & \frac{5}{2} \\ - 5.25 & 3.5 \\ - 5.25 & 1.5 \\ - 4.25 & 3.91 \\ - 4.25 & 1.09 \end{array}$

ステップ 3

放物線の特性と選択した点を利用し、放物線をグラフに描きます。

方向：右に開

頂点： $(- \frac{25}{4}, \frac{5}{2})$

焦点： $(- 6, \frac{5}{2})$

対称軸： $y = \frac{5}{2}$

準線： $x = - \frac{13}{2}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - \frac{25}{4} & \frac{5}{2} \\ - 5.25 & 3.5 \\ - 5.25 & 1.5 \\ - 4.25 & 3.91 \\ - 4.25 & 1.09 \end{array}$

ステップ 4

微分積分 例

微分積分例