微分積分例

$x \sqrt{2 - x^{2}}$

ステップ 1

$y = x \sqrt{2 - x^{2}}$ の定義域を求めると、 $x$ 値のリストが選択され、点のリストを求めることができます。このことで、累乗根をグラフにできます。

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ステップ 1.1

$\sqrt{2 - x^{2}}$ の被開数を $0$ 以上として、式が定義である場所を求めます。

$2 - x^{2} \geq 0$

ステップ 1.2

$x$ について解きます。

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ステップ 1.2.1

不等式の両辺から $2$ を引きます。

$- x^{2} \geq - 2$

ステップ 1.2.2

$- x^{2} \geq - 2$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.2.2.1

$- x^{2} \geq - 2$ の各項を $- 1$ で割ります。不等式の両辺を負の値でかけ算またはわり算するとき、不等号の向きを逆にします。

$\frac{- x^{2}}{- 1} \leq \frac{- 2}{- 1}$

ステップ 1.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.2.2.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{x^{2}}{1} \leq \frac{- 2}{- 1}$

ステップ 1.2.2.2.2

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$x^{2} \leq \frac{- 2}{- 1}$

ステップ 1.2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 1.2.2.3.1

$- 2$ を $- 1$ で割ります。

$x^{2} \leq 2$

ステップ 1.2.3

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt{x^{2}} \leq \sqrt{2}$

ステップ 1.2.4

左辺を簡約します。

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ステップ 1.2.4.1

累乗根の下から項を取り出します。

$| x | \leq \sqrt{2}$

ステップ 1.2.5

$| x | \leq \sqrt{2}$ を区分で書きます。

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ステップ 1.2.5.1

1番目の区分の区間を求めるために、絶対値の中が負でない場所を求めます。

$x \geq 0$

ステップ 1.2.5.2

$x$ が負でない区分では、絶対値を削除します。

$x \leq \sqrt{2}$

ステップ 1.2.5.3

2番目の区分の区間を求めるために、絶対値の中が負になる場所を求めます。

$x < 0$

ステップ 1.2.5.4

$x$ が負である区分では、絶対値を取り除き $- 1$ を掛けます。

$- x \leq \sqrt{2}$

ステップ 1.2.5.5

区分で書きます。

${\begin{cases} x \leq \sqrt{2} & x \geq 0 \\ - x \leq \sqrt{2} & x < 0 \end{cases}$

ステップ 1.2.6

$x \leq \sqrt{2}$ と $x \geq 0$ の交点を求めます。

$0 \leq x \leq \sqrt{2}$

ステップ 1.2.7

$x < 0$ のとき、 $- x \leq \sqrt{2}$ を解きます。

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ステップ 1.2.7.1

$- x \leq \sqrt{2}$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.2.7.1.1

$- x \leq \sqrt{2}$ の各項を $- 1$ で割ります。不等式の両辺を負の値でかけ算またはわり算するとき、不等号の向きを逆にします。

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{\sqrt{2}}{- 1}$

ステップ 1.2.7.1.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.2.7.1.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{x}{1} \geq \frac{\sqrt{2}}{- 1}$

ステップ 1.2.7.1.2.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x \geq \frac{\sqrt{2}}{- 1}$

ステップ 1.2.7.1.3

右辺を簡約します。

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ステップ 1.2.7.1.3.1

$\frac{\sqrt{2}}{- 1}$ の分母からマイナス1を移動させます。

$x \geq - 1 \cdot \sqrt{2}$

ステップ 1.2.7.1.3.2

$- 1 \cdot \sqrt{2}$ を $- \sqrt{2}$ に書き換えます。

$x \geq - \sqrt{2}$

ステップ 1.2.7.2

$x \geq - \sqrt{2}$ と $x < 0$ の交点を求めます。

$- \sqrt{2} \leq x < 0$

ステップ 1.2.8

解の和集合を求めます。

$- \sqrt{2} \leq x \leq \sqrt{2}$

ステップ 1.3

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

区間記号：

$[- \sqrt{2}, \sqrt{2}]$

集合の内包的記法：

${x | - \sqrt{2} \leq x \leq \sqrt{2}}$

区間記号：

$[- \sqrt{2}, \sqrt{2}]$

集合の内包的記法：

${x | - \sqrt{2} \leq x \leq \sqrt{2}}$

ステップ 2

端点を求めるために、 $x$ 値の界を定義域から $f (x) = x \sqrt{2 - x^{2}}$ に代入します。

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ステップ 2.1

式の変数 $x$ を $- \sqrt{2}$ で置換えます。

$f (- \sqrt{2}) = (- \sqrt{2}) \sqrt{2 - {(- \sqrt{2})}^{2}}$

ステップ 2.2

結果を簡約します。

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ステップ 2.2.1

積の法則を $- \sqrt{2}$ に当てはめます。

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} \sqrt{2 - ({(- 1)}^{2} {\sqrt{2}}^{2})}$

ステップ 2.2.2

指数を足して $- 1$ に ${(- 1)}^{2}$ を掛けます。

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ステップ 2.2.2.1

${(- 1)}^{2}$ を移動させます。

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} \sqrt{2 + {(- 1)}^{2} \cdot (- 1 {\sqrt{2}}^{2})}$

ステップ 2.2.2.2

${(- 1)}^{2}$ に $- 1$ をかけます。

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ステップ 2.2.2.2.1

$- 1$ を $1$ 乗します。

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} \sqrt{2 + {(- 1)}^{2} \cdot ((- 1) {\sqrt{2}}^{2})}$

ステップ 2.2.2.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} \sqrt{2 + {(- 1)}^{2 + 1} {\sqrt{2}}^{2}}$

ステップ 2.2.2.3

$2$ と $1$ をたし算します。

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} \sqrt{2 + {(- 1)}^{3} {\sqrt{2}}^{2}}$

ステップ 2.2.3

$- 1$ を $3$ 乗します。

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} \sqrt{2 - {\sqrt{2}}^{2}}$

ステップ 2.2.4

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

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ステップ 2.2.4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} \sqrt{2 - {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 2.2.4.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} \sqrt{2 - 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 2.2.4.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} \sqrt{2 - 2^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 2.2.4.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.4.4.1

共通因数を約分します。

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} \sqrt{2 - 2^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 2.2.4.4.2

式を書き換えます。

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} \sqrt{2 - 2}$

ステップ 2.2.4.5

指数を求めます。

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} \sqrt{2 - 1 \cdot 2}$

ステップ 2.2.5

式を簡約します。

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ステップ 2.2.5.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} \sqrt{2 - 2}$

ステップ 2.2.5.2

$2$ から $2$ を引きます。

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} \sqrt{0}$

ステップ 2.2.5.3

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} \sqrt{0^{2}}$

ステップ 2.2.5.4

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} \cdot 0$

ステップ 2.2.6

$- \sqrt{2} \cdot 0$ を掛けます。

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ステップ 2.2.6.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$f (- \sqrt{2}) = 0 \sqrt{2}$

ステップ 2.2.6.2

$0$ に $\sqrt{2}$ をかけます。

$f (- \sqrt{2}) = 0$

ステップ 2.2.7

最終的な答えは $0$ です。

$0$

ステップ 2.3

式の変数 $x$ を $\sqrt{2}$ で置換えます。

$f (\sqrt{2}) = (\sqrt{2}) \sqrt{2 - {(\sqrt{2})}^{2}}$

ステップ 2.4

結果を簡約します。

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ステップ 2.4.1

根の積の法則を使ってまとめます。

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2 (2 - {(\sqrt{2})}^{2})}$

ステップ 2.4.2

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

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ステップ 2.4.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2 (2 - {(2^{\frac{1}{2}})}^{2})}$

ステップ 2.4.2.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2 (2 - 2^{\frac{1}{2} \cdot 2})}$

ステップ 2.4.2.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2 (2 - 2^{\frac{2}{2}})}$

ステップ 2.4.2.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.4.1

共通因数を約分します。

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2 (2 - 2^{\frac{2}{2}})}$

ステップ 2.4.2.4.2

式を書き換えます。

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2 (2 - 2)}$

ステップ 2.4.2.5

指数を求めます。

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2 (2 - 1 \cdot 2)}$

ステップ 2.4.3

式を簡約します。

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ステップ 2.4.3.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2 (2 - 2)}$

ステップ 2.4.3.2

$2$ から $2$ を引きます。

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2 \cdot 0}$

ステップ 2.4.3.3

$2$ に $0$ をかけます。

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{0}$

ステップ 2.4.3.4

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{0^{2}}$

ステップ 2.4.3.5

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$f (\sqrt{2}) = 0$

ステップ 2.4.4

最終的な答えは $0$ です。

$0$

ステップ 3

端点は $(- \sqrt{2}, 0), (\sqrt{2}, 0)$ です。

$(- \sqrt{2}, 0), (\sqrt{2}, 0)$

ステップ 4

平方根は、頂点 $(- \sqrt{2}, 0), (\sqrt{2}, 0),$ の周りの点を利用してグラフにすることができます。

$\begin{array}{c} x & y \\ - \sqrt{2} & 0 \\ \sqrt{2} & 0 \end{array}$

ステップ 5

微分積分 例

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