微分積分例

$f (x) = \ln (x^{2} - 2 x + 5)$

ステップ 1

漸近線を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

対数の独立変数を0とします。

$x^{2} - 2 x + 5 = 0$

ステップ 1.2

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 1.2.2

$a = 1$ 、 $b = - 2$ 、および $c = 5$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $x$ の値を求めます。

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 5)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.2.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.1.1

$- 2$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.2.3.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 5$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.2.3.1.2.2

$- 4$ に $5$ をかけます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 20}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.2.3.1.3

$4$ から $20$ を引きます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 16}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.2.3.1.4

$- 16$ を $- 1 (16)$ に書き換えます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.2.3.1.5

$\sqrt{- 1 (16)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}$ に書き換えます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.2.3.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.2.3.1.7

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4^{2}}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.2.3.1.8

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{2 \pm i \cdot 4}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.2.3.1.9

$4$ を $i$ の左に移動させます。

$x = \frac{2 \pm 4 i}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.2.3.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{2 \pm 4 i}{2}$

ステップ 1.2.3.3

$\frac{2 \pm 4 i}{2}$ を簡約します。

$x = 1 \pm 2 i$

ステップ 1.2.4

式を簡約し、 $\pm$ の $+$ 部の値を求めます。

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ステップ 1.2.4.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.1.1

$- 2$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.2.4.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 5$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.2.4.1.2.2

$- 4$ に $5$ をかけます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 20}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.2.4.1.3

$4$ から $20$ を引きます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 16}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.2.4.1.4

$- 16$ を $- 1 (16)$ に書き換えます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.2.4.1.5

$\sqrt{- 1 (16)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}$ に書き換えます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.2.4.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.2.4.1.7

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4^{2}}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.2.4.1.8

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{2 \pm i \cdot 4}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.2.4.1.9

$4$ を $i$ の左に移動させます。

$x = \frac{2 \pm 4 i}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.2.4.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{2 \pm 4 i}{2}$

ステップ 1.2.4.3

$\frac{2 \pm 4 i}{2}$ を簡約します。

$x = 1 \pm 2 i$

ステップ 1.2.4.4

$\pm$ を $+$ に変更します。

$x = 1 + 2 i$

ステップ 1.2.5

式を簡約し、 $\pm$ の $-$ 部の値を求めます。

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ステップ 1.2.5.1

分子を簡約します。

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ステップ 1.2.5.1.1

$- 2$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.2.5.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 5$ を掛けます。

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ステップ 1.2.5.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.2.5.1.2.2

$- 4$ に $5$ をかけます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 20}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.2.5.1.3

$4$ から $20$ を引きます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 16}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.2.5.1.4

$- 16$ を $- 1 (16)$ に書き換えます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.2.5.1.5

$\sqrt{- 1 (16)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}$ に書き換えます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.2.5.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.2.5.1.7

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4^{2}}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.2.5.1.8

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{2 \pm i \cdot 4}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.2.5.1.9

$4$ を $i$ の左に移動させます。

$x = \frac{2 \pm 4 i}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.2.5.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{2 \pm 4 i}{2}$

ステップ 1.2.5.3

$\frac{2 \pm 4 i}{2}$ を簡約します。

$x = 1 \pm 2 i$

ステップ 1.2.5.4

$\pm$ を $-$ に変更します。

$x = 1 - 2 i$

ステップ 1.2.6

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$x = 1 + 2 i, 1 - 2 i$

ステップ 1.3

垂直漸近線は $x = 1 + 2 i, x = 1 - 2 i$ で発生します。

垂直漸近線： $x = 1 + 2 i, x = 1 - 2 i$

ステップ 2

$x = 1$ で点を求めます。

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ステップ 2.1

式の変数 $x$ を $1$ で置換えます。

$f (1) = \ln ({(1)}^{2} - 2 \cdot 1 + 5)$

ステップ 2.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$f (1) = \ln (1 - 2 \cdot 1 + 5)$

ステップ 2.2.1.2

$- 2$ に $1$ をかけます。

$f (1) = \ln (1 - 2 + 5)$

ステップ 2.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1

$1$ から $2$ を引きます。

$f (1) = \ln (- 1 + 5)$

ステップ 2.2.2.2

$- 1$ と $5$ をたし算します。

$f (1) = \ln (4)$

ステップ 2.2.3

最終的な答えは $\ln (4)$ です。

$\ln (4)$

ステップ 2.3

$\ln (4)$ を10進数に変換します。

$y = 1.38629436$

ステップ 3

$x = 2$ で点を求めます。

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ステップ 3.1

式の変数 $x$ を $2$ で置換えます。

$f (2) = \ln ({(2)}^{2} - 2 \cdot 2 + 5)$

ステップ 3.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1

$2$ を $2$ 乗します。

$f (2) = \ln (4 - 2 \cdot 2 + 5)$

ステップ 3.2.1.2

$- 2$ に $2$ をかけます。

$f (2) = \ln (4 - 4 + 5)$

ステップ 3.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1

$4$ から $4$ を引きます。

$f (2) = \ln (0 + 5)$

ステップ 3.2.2.2

$0$ と $5$ をたし算します。

$f (2) = \ln (5)$

ステップ 3.2.3

最終的な答えは $\ln (5)$ です。

$\ln (5)$

ステップ 3.3

$\ln (5)$ を10進数に変換します。

$y = 1.60943791$

ステップ 4

$x = 3$ で点を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

式の変数 $x$ を $3$ で置換えます。

$f (3) = \ln ({(3)}^{2} - 2 \cdot 3 + 5)$

ステップ 4.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.1

$3$ を $2$ 乗します。

$f (3) = \ln (9 - 2 \cdot 3 + 5)$

ステップ 4.2.1.2

$- 2$ に $3$ をかけます。

$f (3) = \ln (9 - 6 + 5)$

ステップ 4.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1

$9$ から $6$ を引きます。

$f (3) = \ln (3 + 5)$

ステップ 4.2.2.2

$3$ と $5$ をたし算します。

$f (3) = \ln (8)$

ステップ 4.2.3

最終的な答えは $\ln (8)$ です。

$\ln (8)$

ステップ 4.3

$\ln (8)$ を10進数に変換します。

$y = 2.07944154$

ステップ 5

対数関数は、 $x = 1 + 2 i, x = 1 - 2 i$ における垂直漸近線と点 $(1, 1.38629436), (2, 1.60943791), (3, 2.07944154)$ を利用してグラフにすることができます。

垂直漸近線： $x = 1 + 2 i, x = 1 - 2 i$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 1.386 \\ 2 & 1.609 \\ 3 & 2.079 \end{array}$

ステップ 6

微分積分 例

微分積分例