微分積分例

$f (x) = \sqrt{x^{2} + 11}$ , $x = 5$

ステップ 1

Find the corresponding $y$ -value to $x = 5$ .

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ステップ 1.1

$5$ を $x$ に代入します。

$y = \sqrt{{(5)}^{2} + 11}$

ステップ 1.2

$\sqrt{{(5)}^{2} + 11}$ を簡約します。

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ステップ 1.2.1

$5$ を $2$ 乗します。

$y = \sqrt{25 + 11}$

ステップ 1.2.2

$25$ と $11$ をたし算します。

$y = \sqrt{36}$

ステップ 1.2.3

$36$ を $6^{2}$ に書き換えます。

$y = \sqrt{6^{2}}$

ステップ 1.2.4

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$y = 6$

ステップ 2

一次導関数を求め $x = 5$ と $y = 6$ における値を求め、接線の傾きを求めます。

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ステップ 2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x^{2} + 11}$ を ${(x^{2} + 11)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} + 11)}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 2.2

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = x^{2} + 11$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2} + 11$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 11]$

ステップ 2.2.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 11]$

ステップ 2.2.3

$u$ のすべての発生を $x^{2} + 11$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 11)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 11]$

ステップ 2.3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 11)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 11]$

ステップ 2.4

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 11)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 11]$

ステップ 2.5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 11)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 11]$

ステップ 2.6

分子を簡約します。

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ステップ 2.6.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 11)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 11]$

ステップ 2.6.2

$1$ から $2$ を引きます。

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 11)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 11]$

ステップ 2.7

分数をまとめます。

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ステップ 2.7.1

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 11)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 11]$

ステップ 2.7.2

$\frac{1}{2}$ と ${(x^{2} + 11)}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$\frac{{(x^{2} + 11)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 11]$

ステップ 2.7.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(x^{2} + 11)}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 11)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 11]$

ステップ 2.8

総和則では、 $x^{2} + 11$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [11]$ です。

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 11)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [11])$

ステップ 2.9

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 11)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [11])$

ステップ 2.10

$11$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $11$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 11)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 0)$

ステップ 2.11

項を簡約します。

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ステップ 2.11.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 11)}^{\frac{1}{2}}} (2 x)$

ステップ 2.11.2

$2$ と $\frac{1}{2 {(x^{2} + 11)}^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$\frac{2}{2 {(x^{2} + 11)}^{\frac{1}{2}}} x$

ステップ 2.11.3

$\frac{2}{2 {(x^{2} + 11)}^{\frac{1}{2}}}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{2 x}{2 {(x^{2} + 11)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 2.11.4

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2 {(x^{2} + 11)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 2.11.5

式を書き換えます。

$\frac{x}{{(x^{2} + 11)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 2.12

$x = 5$ で微分係数を求めます。

$\frac{5}{{({(5)}^{2} + 11)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 2.13

分母を簡約します。

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ステップ 2.13.1

$5$ を $2$ 乗します。

$\frac{5}{{(25 + 11)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 2.13.2

$25$ と $11$ をたし算します。

$\frac{5}{36^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 2.13.3

$36$ を $6^{2}$ に書き換えます。

$\frac{5}{{(6^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 2.13.4

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{5}{6^{2 (\frac{1}{2})}}$

ステップ 2.13.5

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.13.5.1

共通因数を約分します。

$\frac{5}{6^{2 (\frac{1}{2})}}$

ステップ 2.13.5.2

式を書き換えます。

$\frac{5}{6^{1}}$

ステップ 2.13.6

指数を求めます。

$\frac{5}{6}$

ステップ 3

傾きと点の値を点と傾きの公式に代入し、 $y$ について解きます。

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ステップ 3.1

傾き $\frac{5}{6}$ と与えられた点 $(5, 6)$ を利用して、点傾き型 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ の $x_{1}$ と $y_{1}$ に代入します。それは傾きの方程式 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ から導かれます。

$y - (6) = \frac{5}{6} \cdot (x - (5))$

ステップ 3.2

方程式を簡約し点傾き型にします。

$y - 6 = \frac{5}{6} \cdot (x - 5)$

ステップ 3.3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.3.1

$\frac{5}{6} \cdot (x - 5)$ を簡約します。

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ステップ 3.3.1.1

書き換えます。

$y - 6 = 0 + 0 + \frac{5}{6} \cdot (x - 5)$

ステップ 3.3.1.2

0を加えて簡約します。

$y - 6 = \frac{5}{6} \cdot (x - 5)$

ステップ 3.3.1.3

分配則を当てはめます。

$y - 6 = \frac{5}{6} x + \frac{5}{6} \cdot - 5$

ステップ 3.3.1.4

$\frac{5}{6}$ と $x$ をまとめます。

$y - 6 = \frac{5 x}{6} + \frac{5}{6} \cdot - 5$

ステップ 3.3.1.5

$\frac{5}{6} \cdot - 5$ を掛けます。

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ステップ 3.3.1.5.1

$\frac{5}{6}$ と $- 5$ をまとめます。

$y - 6 = \frac{5 x}{6} + \frac{5 \cdot - 5}{6}$

ステップ 3.3.1.5.2

$5$ に $- 5$ をかけます。

$y - 6 = \frac{5 x}{6} + \frac{- 25}{6}$

ステップ 3.3.1.6

分数の前に負数を移動させます。

$y - 6 = \frac{5 x}{6} - \frac{25}{6}$

ステップ 3.3.2

$y$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 3.3.2.1

方程式の両辺に $6$ を足します。

$y = \frac{5 x}{6} - \frac{25}{6} + 6$

ステップ 3.3.2.2

$6$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{6}{6}$ を掛けます。

$y = \frac{5 x}{6} - \frac{25}{6} + 6 \cdot \frac{6}{6}$

ステップ 3.3.2.3

$6$ と $\frac{6}{6}$ をまとめます。

$y = \frac{5 x}{6} - \frac{25}{6} + \frac{6 \cdot 6}{6}$

ステップ 3.3.2.4

公分母の分子をまとめます。

$y = \frac{5 x}{6} + \frac{- 25 + 6 \cdot 6}{6}$

ステップ 3.3.2.5

分子を簡約します。

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ステップ 3.3.2.5.1

$6$ に $6$ をかけます。

$y = \frac{5 x}{6} + \frac{- 25 + 36}{6}$

ステップ 3.3.2.5.2

$- 25$ と $36$ をたし算します。

$y = \frac{5 x}{6} + \frac{11}{6}$

ステップ 3.3.3

項を並べ替えます。

$y = \frac{5}{6} x + \frac{11}{6}$

ステップ 4

微分積分 例

微分積分例