微分積分例

$f (x) = 5 x^{2} + 6 x - 11$ , $x = - 2$

ステップ 1

Find the corresponding $y$ -value to $x = - 2$ .

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ステップ 1.1

$- 2$ を $x$ に代入します。

$y = 5 {(- 2)}^{2} + 6 (- 2) - 11$

ステップ 1.2

$5 {(- 2)}^{2} + 6 (- 2) - 11$ を簡約します。

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ステップ 1.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.2.1.1

$- 2$ を $2$ 乗します。

$y = 5 \cdot 4 + 6 (- 2) - 11$

ステップ 1.2.1.2

$5$ に $4$ をかけます。

$y = 20 + 6 (- 2) - 11$

ステップ 1.2.1.3

$6$ に $- 2$ をかけます。

$y = 20 - 12 - 11$

ステップ 1.2.2

数を引いて簡約します。

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ステップ 1.2.2.1

$20$ から $12$ を引きます。

$y = 8 - 11$

ステップ 1.2.2.2

$8$ から $11$ を引きます。

$y = - 3$

ステップ 2

一次導関数を求め $x = - 2$ と $y = - 3$ における値を求め、接線の傾きを求めます。

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ステップ 2.1

総和則では、 $5 x^{2} + 6 x - 11$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 11]$ です。

$\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 11]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.2.1

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 x^{2}$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 11]$

ステップ 2.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5 (2 x) + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 11]$

ステップ 2.2.3

$2$ に $5$ をかけます。

$10 x + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 11]$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [6 x]$ の値を求めます。

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ステップ 2.3.1

$6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $6 x$ の微分係数は $6 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$10 x + 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 11]$

ステップ 2.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$10 x + 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 11]$

ステップ 2.3.3

$6$ に $1$ をかけます。

$10 x + 6 + \frac{d}{d x} [- 11]$

ステップ 2.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 2.4.1

$- 11$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 11$ の微分係数は $0$ です。

$10 x + 6 + 0$

ステップ 2.4.2

$10 x + 6$ と $0$ をたし算します。

$10 x + 6$

ステップ 2.5

$x = - 2$ で微分係数を求めます。

$10 (- 2) + 6$

ステップ 2.6

簡約します。

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ステップ 2.6.1

$10$ に $- 2$ をかけます。

$- 20 + 6$

ステップ 2.6.2

$- 20$ と $6$ をたし算します。

$- 14$

ステップ 3

傾きと点の値を点と傾きの公式に代入し、 $y$ について解きます。

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ステップ 3.1

傾き $- 14$ と与えられた点 $(- 2, - 3)$ を利用して、点傾き型 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ の $x_{1}$ と $y_{1}$ に代入します。それは傾きの方程式 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ から導かれます。

$y - (- 3) = - 14 \cdot (x - (- 2))$

ステップ 3.2

方程式を簡約し点傾き型にします。

$y + 3 = - 14 \cdot (x + 2)$

ステップ 3.3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.3.1

$- 14 \cdot (x + 2)$ を簡約します。

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ステップ 3.3.1.1

書き換えます。

$y + 3 = 0 + 0 - 14 \cdot (x + 2)$

ステップ 3.3.1.2

0を加えて簡約します。

$y + 3 = - 14 \cdot (x + 2)$

ステップ 3.3.1.3

分配則を当てはめます。

$y + 3 = - 14 x - 14 \cdot 2$

ステップ 3.3.1.4

$- 14$ に $2$ をかけます。

$y + 3 = - 14 x - 28$

ステップ 3.3.2

$y$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 3.3.2.1

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$y = - 14 x - 28 - 3$

ステップ 3.3.2.2

$- 28$ から $3$ を引きます。

$y = - 14 x - 31$

ステップ 4

微分積分 例

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