微分積分例

$f (x) = x^{8} {(x - 1)}^{7}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

$f (x) = x^{8}$ および $g (x) = {(x - 1)}^{7}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$f' (x) = x^{8} \frac{d}{d x} ({(x - 1)}^{7}) + {(x - 1)}^{7} \frac{d}{d x} (x^{8})$

ステップ 1.1.2

$f (x) = x^{7}$ および $g (x) = x - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x - 1$ とします。

$f' (x) = x^{8} (\frac{d}{d u} (u^{7}) \frac{d}{d x} (x - 1)) + {(x - 1)}^{7} \frac{d}{d x} (x^{8})$

ステップ 1.1.2.2

$n = 7$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = x^{8} (7 u^{6} \frac{d}{d x} (x - 1)) + {(x - 1)}^{7} \frac{d}{d x} (x^{8})$

ステップ 1.1.2.3

$u$ のすべての発生を $x - 1$ で置き換えます。

$f' (x) = x^{8} (7 {(x - 1)}^{6} \frac{d}{d x} (x - 1)) + {(x - 1)}^{7} \frac{d}{d x} (x^{8})$

ステップ 1.1.3

微分します。

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ステップ 1.1.3.1

総和則では、 $x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$f' (x) = x^{8} (7 {(x - 1)}^{6} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1))) + {(x - 1)}^{7} \frac{d}{d x} (x^{8})$

ステップ 1.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = x^{8} (7 {(x - 1)}^{6} (1 + \frac{d}{d x} (- 1))) + {(x - 1)}^{7} \frac{d}{d x} (x^{8})$

ステップ 1.1.3.3

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$f' (x) = x^{8} (7 {(x - 1)}^{6} (1 + 0)) + {(x - 1)}^{7} \frac{d}{d x} (x^{8})$

ステップ 1.1.3.4

式を簡約します。

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ステップ 1.1.3.4.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = x^{8} (7 {(x - 1)}^{6} \cdot 1) + {(x - 1)}^{7} \frac{d}{d x} (x^{8})$

ステップ 1.1.3.4.2

$7$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = x^{8} (7 {(x - 1)}^{6}) + {(x - 1)}^{7} \frac{d}{d x} (x^{8})$

ステップ 1.1.3.5

$n = 8$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = x^{8} (7 {(x - 1)}^{6}) + {(x - 1)}^{7} (8 x^{7})$

ステップ 1.1.3.6

$8$ を ${(x - 1)}^{7}$ の左に移動させます。

$f' (x) = x^{8} (7 {(x - 1)}^{6}) + 8 \cdot ({(x - 1)}^{7} x^{7})$

ステップ 1.1.4

簡約します。

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ステップ 1.1.4.1

$x^{7} {(x - 1)}^{6}$ を $x^{8} (7 {(x - 1)}^{6}) + 8 {(x - 1)}^{7} x^{7}$ で因数分解します。

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ステップ 1.1.4.1.1

$x^{7} {(x - 1)}^{6}$ を $x^{8} (7 {(x - 1)}^{6})$ で因数分解します。

$f' (x) = x^{7} {(x - 1)}^{6} (x \cdot (7)) + 8 {(x - 1)}^{7} x^{7}$

ステップ 1.1.4.1.2

$x^{7} {(x - 1)}^{6}$ を $8 {(x - 1)}^{7} x^{7}$ で因数分解します。

$f' (x) = x^{7} {(x - 1)}^{6} (x \cdot (7)) + x^{7} {(x - 1)}^{6} (8 (x - 1))$

ステップ 1.1.4.1.3

$x^{7} {(x - 1)}^{6}$ を $x^{7} {(x - 1)}^{6} (x \cdot (7)) + x^{7} {(x - 1)}^{6} (8 (x - 1))$ で因数分解します。

$f' (x) = x^{7} {(x - 1)}^{6} (x \cdot (7) + 8 (x - 1))$

ステップ 1.1.4.2

$7$ を $x$ の左に移動させます。

$f' (x) = x^{7} {(x - 1)}^{6} (7 x + 8 (x - 1))$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $x^{7} {(x - 1)}^{6} (7 x + 8 (x - 1))$ です。

$x^{7} {(x - 1)}^{6} (7 x + 8 (x - 1))$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $x^{7} {(x - 1)}^{6} (7 x + 8 (x - 1)) = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$x^{7} {(x - 1)}^{6} (7 x + 8 (x - 1)) = 0$

ステップ 2.2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x^{7} = 0$

${(x - 1)}^{6} = 0$

$7 x + 8 (x - 1) = 0$

ステップ 2.3

$x^{7}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.3.1

$x^{7}$ が $0$ に等しいとします。

$x^{7} = 0$

ステップ 2.3.2

$x$ について $x^{7} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.3.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[7]{0}$

ステップ 2.3.2.2

$\sqrt[7]{0}$ を簡約します。

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ステップ 2.3.2.2.1

$0$ を $0^{7}$ に書き換えます。

$x = \sqrt[7]{0^{7}}$

ステップ 2.3.2.2.2

実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = 0$

ステップ 2.4

${(x - 1)}^{6}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.4.1

${(x - 1)}^{6}$ が $0$ に等しいとします。

${(x - 1)}^{6} = 0$

ステップ 2.4.2

$x$ について ${(x - 1)}^{6} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.4.2.1

$x - 1$ が $0$ に等しいとします。

$x - 1 = 0$

ステップ 2.4.2.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$x = 1$

ステップ 2.5

$7 x + 8 (x - 1)$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.5.1

$7 x + 8 (x - 1)$ が $0$ に等しいとします。

$7 x + 8 (x - 1) = 0$

ステップ 2.5.2

$x$ について $7 x + 8 (x - 1) = 0$ を解きます。

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ステップ 2.5.2.1

$7 x + 8 (x - 1)$ を簡約します。

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ステップ 2.5.2.1.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.5.2.1.1.1

分配則を当てはめます。

$7 x + 8 x + 8 \cdot - 1 = 0$

ステップ 2.5.2.1.1.2

$8$ に $- 1$ をかけます。

$7 x + 8 x - 8 = 0$

ステップ 2.5.2.1.2

$7 x$ と $8 x$ をたし算します。

$15 x - 8 = 0$

ステップ 2.5.2.2

方程式の両辺に $8$ を足します。

$15 x = 8$

ステップ 2.5.2.3

$15 x = 8$ の各項を $15$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.5.2.3.1

$15 x = 8$ の各項を $15$ で割ります。

$\frac{15 x}{15} = \frac{8}{15}$

ステップ 2.5.2.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.5.2.3.2.1

$15$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.5.2.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{15 x}{15} = \frac{8}{15}$

ステップ 2.5.2.3.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{8}{15}$

ステップ 2.6

最終解は $x^{7} {(x - 1)}^{6} (7 x + 8 (x - 1)) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, 1, \frac{8}{15}$

ステップ 3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 3.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $x^{8} {(x - 1)}^{7}$ の値を求めます。

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ステップ 4.1

$x = 0$ での値を求めます。

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ステップ 4.1.1

$0$ を $x$ に代入します。

${(0)}^{8} {((0) - 1)}^{7}$

ステップ 4.1.2

簡約します。

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ステップ 4.1.2.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$0 {((0) - 1)}^{7}$

ステップ 4.1.2.2

$0$ から $1$ を引きます。

$0 {(- 1)}^{7}$

ステップ 4.1.2.3

$- 1$ を $7$ 乗します。

$0 \cdot - 1$

ステップ 4.1.2.4

$0$ に $- 1$ をかけます。

$0$

ステップ 4.2

$x = 1$ での値を求めます。

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ステップ 4.2.1

$1$ を $x$ に代入します。

${(1)}^{8} {((1) - 1)}^{7}$

ステップ 4.2.2

簡約します。

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ステップ 4.2.2.1

1のすべての数の累乗は1です。

$1 {((1) - 1)}^{7}$

ステップ 4.2.2.2

${((1) - 1)}^{7}$ に $1$ をかけます。

${((1) - 1)}^{7}$

ステップ 4.2.2.3

$1$ から $1$ を引きます。

$0^{7}$

ステップ 4.2.2.4

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$0$

ステップ 4.3

$x = \frac{8}{15}$ での値を求めます。

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ステップ 4.3.1

$\frac{8}{15}$ を $x$ に代入します。

${(\frac{8}{15})}^{8} {((\frac{8}{15}) - 1)}^{7}$

ステップ 4.3.2

簡約します。

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ステップ 4.3.2.1

積の法則を $\frac{8}{15}$ に当てはめます。

$\frac{8^{8}}{15^{8}} {((\frac{8}{15}) - 1)}^{7}$

ステップ 4.3.2.2

$8$ を $8$ 乗します。

$\frac{16777216}{15^{8}} {((\frac{8}{15}) - 1)}^{7}$

ステップ 4.3.2.3

$15$ を $8$ 乗します。

$\frac{16777216}{2562890625} {((\frac{8}{15}) - 1)}^{7}$

ステップ 4.3.2.4

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{15}{15}$ を掛けます。

$\frac{16777216}{2562890625} {(\frac{8}{15} - 1 \cdot \frac{15}{15})}^{7}$

ステップ 4.3.2.5

$- 1$ と $\frac{15}{15}$ をまとめます。

$\frac{16777216}{2562890625} {(\frac{8}{15} + \frac{- 1 \cdot 15}{15})}^{7}$

ステップ 4.3.2.6

公分母の分子をまとめます。

$\frac{16777216}{2562890625} {(\frac{8 - 1 \cdot 15}{15})}^{7}$

ステップ 4.3.2.7

分子を簡約します。

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ステップ 4.3.2.7.1

$- 1$ に $15$ をかけます。

$\frac{16777216}{2562890625} {(\frac{8 - 15}{15})}^{7}$

ステップ 4.3.2.7.2

$8$ から $15$ を引きます。

$\frac{16777216}{2562890625} {(\frac{- 7}{15})}^{7}$

ステップ 4.3.2.8

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{16777216}{2562890625} {(- \frac{7}{15})}^{7}$

ステップ 4.3.2.9

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

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ステップ 4.3.2.9.1

積の法則を $- \frac{7}{15}$ に当てはめます。

$\frac{16777216}{2562890625} ({(- 1)}^{7} {(\frac{7}{15})}^{7})$

ステップ 4.3.2.9.2

積の法則を $\frac{7}{15}$ に当てはめます。

$\frac{16777216}{2562890625} ({(- 1)}^{7} \frac{7^{7}}{15^{7}})$

ステップ 4.3.2.10

$- 1$ を $7$ 乗します。

$\frac{16777216}{2562890625} (- \frac{7^{7}}{15^{7}})$

ステップ 4.3.2.11

$7$ を $7$ 乗します。

$\frac{16777216}{2562890625} (- \frac{823543}{15^{7}})$

ステップ 4.3.2.12

$15$ を $7$ 乗します。

$\frac{16777216}{2562890625} (- \frac{823543}{170859375})$

ステップ 4.3.2.13

$\frac{16777216}{2562890625} (- \frac{823543}{170859375})$ を掛けます。

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ステップ 4.3.2.13.1

$\frac{16777216}{2562890625}$ に $\frac{823543}{170859375}$ をかけます。

$- \frac{16777216 \cdot 823543}{2562890625 \cdot 170859375}$

ステップ 4.3.2.13.2

$16777216$ に $823543$ をかけます。

$- \frac{13816758796288}{2562890625 \cdot 170859375}$

ステップ 4.3.2.13.3

$2562890625$ に $170859375$ をかけます。

$- \frac{13816758796288}{437893890380859375}$

ステップ 4.4

点のすべてを一覧にします。

$(0, 0), (1, 0), (\frac{8}{15}, - \frac{13816758796288}{437893890380859375})$

ステップ 5

微分積分 例

微分積分例