微分積分例

$f (x) = x^{4} + 4 x^{3} - 8 x^{2} + 1$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

微分します。

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ステップ 1.1.1.1

総和則では、 $x^{4} + 4 x^{3} - 8 x^{2} + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 1.1.1.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 1.1.2

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x^{3}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$4 x^{3} + 4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 1.1.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 x^{3} + 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 1.1.2.3

$3$ に $4$ をかけます。

$4 x^{3} + 12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d x} [- 8 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

$- 8$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 8 x^{2}$ の微分係数は $- 8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$4 x^{3} + 12 x^{2} - 8 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 1.1.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 x^{3} + 12 x^{2} - 8 (2 x) + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 1.1.3.3

$2$ に $- 8$ をかけます。

$4 x^{3} + 12 x^{2} - 16 x + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 1.1.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 1.1.4.1

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$4 x^{3} + 12 x^{2} - 16 x + 0$

ステップ 1.1.4.2

$4 x^{3} + 12 x^{2} - 16 x$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = 4 x^{3} + 12 x^{2} - 16 x$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $4 x^{3} + 12 x^{2} - 16 x$ です。

$4 x^{3} + 12 x^{2} - 16 x$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $4 x^{3} + 12 x^{2} - 16 x = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$4 x^{3} + 12 x^{2} - 16 x = 0$

ステップ 2.2

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 2.2.1

$4 x$ を $4 x^{3} + 12 x^{2} - 16 x$ で因数分解します。

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ステップ 2.2.1.1

$4 x$ を $4 x^{3}$ で因数分解します。

$4 x (x^{2}) + 12 x^{2} - 16 x = 0$

ステップ 2.2.1.2

$4 x$ を $12 x^{2}$ で因数分解します。

$4 x (x^{2}) + 4 x (3 x) - 16 x = 0$

ステップ 2.2.1.3

$4 x$ を $- 16 x$ で因数分解します。

$4 x (x^{2}) + 4 x (3 x) + 4 x (- 4) = 0$

ステップ 2.2.1.4

$4 x$ を $4 x (x^{2}) + 4 x (3 x)$ で因数分解します。

$4 x (x^{2} + 3 x) + 4 x (- 4) = 0$

ステップ 2.2.1.5

$4 x$ を $4 x (x^{2} + 3 x) + 4 x (- 4)$ で因数分解します。

$4 x (x^{2} + 3 x - 4) = 0$

ステップ 2.2.2

因数分解。

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ステップ 2.2.2.1

たすき掛けを利用して $x^{2} + 3 x - 4$ を因数分解します。

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ステップ 2.2.2.1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 4$ で、その和が $3$ です。

$- 1, 4$

ステップ 2.2.2.1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$4 x ((x - 1) (x + 4)) = 0$

ステップ 2.2.2.2

不要な括弧を削除します。

$4 x (x - 1) (x + 4) = 0$

ステップ 2.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

$x - 1 = 0$

$x + 4 = 0$

ステップ 2.4

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

ステップ 2.5

$x - 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.5.1

$x - 1$ が $0$ に等しいとします。

$x - 1 = 0$

ステップ 2.5.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$x = 1$

ステップ 2.6

$x + 4$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.6.1

$x + 4$ が $0$ に等しいとします。

$x + 4 = 0$

ステップ 2.6.2

方程式の両辺から $4$ を引きます。

$x = - 4$

ステップ 2.7

最終解は $4 x (x - 1) (x + 4) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, 1, - 4$

ステップ 3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 3.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $x^{4} + 4 x^{3} - 8 x^{2} + 1$ の値を求めます。

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ステップ 4.1

$x = 0$ での値を求めます。

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ステップ 4.1.1

$0$ を $x$ に代入します。

${(0)}^{4} + 4 {(0)}^{3} - 8 {(0)}^{2} + 1$

ステップ 4.1.2

簡約します。

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ステップ 4.1.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.1.2.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$0 + 4 {(0)}^{3} - 8 {(0)}^{2} + 1$

ステップ 4.1.2.1.2

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$0 + 4 \cdot 0 - 8 {(0)}^{2} + 1$

ステップ 4.1.2.1.3

$4$ に $0$ をかけます。

$0 + 0 - 8 {(0)}^{2} + 1$

ステップ 4.1.2.1.4

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$0 + 0 - 8 \cdot 0 + 1$

ステップ 4.1.2.1.5

$- 8$ に $0$ をかけます。

$0 + 0 + 0 + 1$

ステップ 4.1.2.2

数を加えて簡約します。

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ステップ 4.1.2.2.1

$0$ と $0$ をたし算します。

$0 + 0 + 1$

ステップ 4.1.2.2.2

$0$ と $0$ をたし算します。

$0 + 1$

ステップ 4.1.2.2.3

$0$ と $1$ をたし算します。

$1$

ステップ 4.2

$x = 1$ での値を求めます。

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ステップ 4.2.1

$1$ を $x$ に代入します。

${(1)}^{4} + 4 {(1)}^{3} - 8 {(1)}^{2} + 1$

ステップ 4.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$1 + 4 {(1)}^{3} - 8 {(1)}^{2} + 1$

ステップ 4.2.2.1.2

1のすべての数の累乗は1です。

$1 + 4 \cdot 1 - 8 {(1)}^{2} + 1$

ステップ 4.2.2.1.3

$4$ に $1$ をかけます。

$1 + 4 - 8 {(1)}^{2} + 1$

ステップ 4.2.2.1.4

1のすべての数の累乗は1です。

$1 + 4 - 8 \cdot 1 + 1$

ステップ 4.2.2.1.5

$- 8$ に $1$ をかけます。

$1 + 4 - 8 + 1$

ステップ 4.2.2.2

足し算と引き算で簡約します。

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ステップ 4.2.2.2.1

$1$ と $4$ をたし算します。

$5 - 8 + 1$

ステップ 4.2.2.2.2

$5$ から $8$ を引きます。

$- 3 + 1$

ステップ 4.2.2.2.3

$- 3$ と $1$ をたし算します。

$- 2$

ステップ 4.3

$x = - 4$ での値を求めます。

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ステップ 4.3.1

$- 4$ を $x$ に代入します。

${(- 4)}^{4} + 4 {(- 4)}^{3} - 8 {(- 4)}^{2} + 1$

ステップ 4.3.2

簡約します。

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ステップ 4.3.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.3.2.1.1

$- 4$ を $4$ 乗します。

$256 + 4 {(- 4)}^{3} - 8 {(- 4)}^{2} + 1$

ステップ 4.3.2.1.2

$- 4$ を $3$ 乗します。

$256 + 4 \cdot - 64 - 8 {(- 4)}^{2} + 1$

ステップ 4.3.2.1.3

$4$ に $- 64$ をかけます。

$256 - 256 - 8 {(- 4)}^{2} + 1$

ステップ 4.3.2.1.4

$- 4$ を $2$ 乗します。

$256 - 256 - 8 \cdot 16 + 1$

ステップ 4.3.2.1.5

$- 8$ に $16$ をかけます。

$256 - 256 - 128 + 1$

ステップ 4.3.2.2

足し算と引き算で簡約します。

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ステップ 4.3.2.2.1

$256$ から $256$ を引きます。

$0 - 128 + 1$

ステップ 4.3.2.2.2

$0$ から $128$ を引きます。

$- 128 + 1$

ステップ 4.3.2.2.3

$- 128$ と $1$ をたし算します。

$- 127$

ステップ 4.4

点のすべてを一覧にします。

$(0, 1), (1, - 2), (- 4, - 127)$

ステップ 5

微分積分 例

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