微分積分例

$f (x) = x^{4} {(x - 1)}^{3}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

$f (x) = x^{4}$ および $g (x) = {(x - 1)}^{3}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x^{4} \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{3}] + {(x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

ステップ 1.1.2

$f (x) = x^{3}$ および $g (x) = x - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x - 1$ とします。

$x^{4} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

ステップ 1.1.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{4} (3 u^{2} \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

ステップ 1.1.2.3

$u$ のすべての発生を $x - 1$ で置き換えます。

$x^{4} (3 {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

ステップ 1.1.3

微分します。

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ステップ 1.1.3.1

総和則では、 $x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$x^{4} (3 {(x - 1)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])) + {(x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

ステップ 1.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{4} (3 {(x - 1)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- 1])) + {(x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

ステップ 1.1.3.3

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$x^{4} (3 {(x - 1)}^{2} (1 + 0)) + {(x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

ステップ 1.1.3.4

式を簡約します。

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ステップ 1.1.3.4.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$x^{4} (3 {(x - 1)}^{2} \cdot 1) + {(x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

ステップ 1.1.3.4.2

$3$ に $1$ をかけます。

$x^{4} (3 {(x - 1)}^{2}) + {(x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

ステップ 1.1.3.5

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{4} (3 {(x - 1)}^{2}) + {(x - 1)}^{3} (4 x^{3})$

ステップ 1.1.3.6

$4$ を ${(x - 1)}^{3}$ の左に移動させます。

$x^{4} (3 {(x - 1)}^{2}) + 4 \cdot {(x - 1)}^{3} x^{3}$

ステップ 1.1.4

簡約します。

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ステップ 1.1.4.1

$x^{3} {(x - 1)}^{2}$ を $x^{4} (3 {(x - 1)}^{2}) + 4 {(x - 1)}^{3} x^{3}$ で因数分解します。

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ステップ 1.1.4.1.1

$x^{3} {(x - 1)}^{2}$ を $x^{4} (3 {(x - 1)}^{2})$ で因数分解します。

$x^{3} {(x - 1)}^{2} (x \cdot (3)) + 4 {(x - 1)}^{3} x^{3}$

ステップ 1.1.4.1.2

$x^{3} {(x - 1)}^{2}$ を $4 {(x - 1)}^{3} x^{3}$ で因数分解します。

$x^{3} {(x - 1)}^{2} (x \cdot (3)) + x^{3} {(x - 1)}^{2} (4 (x - 1))$

ステップ 1.1.4.1.3

$x^{3} {(x - 1)}^{2}$ を $x^{3} {(x - 1)}^{2} (x \cdot (3)) + x^{3} {(x - 1)}^{2} (4 (x - 1))$ で因数分解します。

$x^{3} {(x - 1)}^{2} (x \cdot (3) + 4 (x - 1))$

ステップ 1.1.4.2

$3$ を $x$ の左に移動させます。

$x^{3} {(x - 1)}^{2} (3 x + 4 (x - 1))$

ステップ 1.1.4.3

${(x - 1)}^{2}$ を $(x - 1) (x - 1)$ に書き換えます。

$x^{3} ((x - 1) (x - 1)) (3 x + 4 (x - 1))$

ステップ 1.1.4.4

分配法則（FOIL法）を使って $(x - 1) (x - 1)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.4.4.1

分配則を当てはめます。

$x^{3} (x (x - 1) - 1 (x - 1)) (3 x + 4 (x - 1))$

ステップ 1.1.4.4.2

分配則を当てはめます。

$x^{3} (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)) (3 x + 4 (x - 1))$

ステップ 1.1.4.4.3

分配則を当てはめます。

$x^{3} (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) (3 x + 4 (x - 1))$

ステップ 1.1.4.5

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.4.5.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.4.5.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$x^{3} (x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) (3 x + 4 (x - 1))$

ステップ 1.1.4.5.1.2

$- 1$ を $x$ の左に移動させます。

$x^{3} (x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1) (3 x + 4 (x - 1))$

ステップ 1.1.4.5.1.3

$- 1 x$ を $- x$ に書き換えます。

$x^{3} (x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1) (3 x + 4 (x - 1))$

ステップ 1.1.4.5.1.4

$- 1 x$ を $- x$ に書き換えます。

$x^{3} (x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1) (3 x + 4 (x - 1))$

ステップ 1.1.4.5.1.5

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$x^{3} (x^{2} - x - x + 1) (3 x + 4 (x - 1))$

ステップ 1.1.4.5.2

$- x$ から $x$ を引きます。

$x^{3} (x^{2} - 2 x + 1) (3 x + 4 (x - 1))$

ステップ 1.1.4.6

分配則を当てはめます。

$(x^{3} x^{2} + x^{3} (- 2 x) + x^{3} \cdot 1) (3 x + 4 (x - 1))$

ステップ 1.1.4.7

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.4.7.1

指数を足して $x^{3}$ に $x^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.4.7.1.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$(x^{3 + 2} + x^{3} (- 2 x) + x^{3} \cdot 1) (3 x + 4 (x - 1))$

ステップ 1.1.4.7.1.2

$3$ と $2$ をたし算します。

$(x^{5} + x^{3} (- 2 x) + x^{3} \cdot 1) (3 x + 4 (x - 1))$

ステップ 1.1.4.7.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$(x^{5} - 2 x^{3} x + x^{3} \cdot 1) (3 x + 4 (x - 1))$

ステップ 1.1.4.7.3

$x^{3}$ に $1$ をかけます。

$(x^{5} - 2 x^{3} x + x^{3}) (3 x + 4 (x - 1))$

ステップ 1.1.4.8

指数を足して $x^{3}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.4.8.1

$x$ を移動させます。

$(x^{5} - 2 (x \cdot x^{3}) + x^{3}) (3 x + 4 (x - 1))$

ステップ 1.1.4.8.2

$x$ に $x^{3}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.4.8.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$(x^{5} - 2 (x^{1} x^{3}) + x^{3}) (3 x + 4 (x - 1))$

ステップ 1.1.4.8.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$(x^{5} - 2 x^{1 + 3} + x^{3}) (3 x + 4 (x - 1))$

ステップ 1.1.4.8.3

$1$ と $3$ をたし算します。

$(x^{5} - 2 x^{4} + x^{3}) (3 x + 4 (x - 1))$

ステップ 1.1.4.9

各項を簡約します。

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ステップ 1.1.4.9.1

分配則を当てはめます。

$(x^{5} - 2 x^{4} + x^{3}) (3 x + 4 x + 4 \cdot - 1)$

ステップ 1.1.4.9.2

$4$ に $- 1$ をかけます。

$(x^{5} - 2 x^{4} + x^{3}) (3 x + 4 x - 4)$

ステップ 1.1.4.10

$3 x$ と $4 x$ をたし算します。

$(x^{5} - 2 x^{4} + x^{3}) (7 x - 4)$

ステップ 1.1.4.11

1番目の式の各項に2番目の式の各項を掛け、 $(x^{5} - 2 x^{4} + x^{3}) (7 x - 4)$ を展開します。

$x^{5} (7 x) + x^{5} \cdot - 4 - 2 x^{4} (7 x) - 2 x^{4} \cdot - 4 + x^{3} (7 x) + x^{3} \cdot - 4$

ステップ 1.1.4.12

各項を簡約します。

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ステップ 1.1.4.12.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$7 x^{5} x + x^{5} \cdot - 4 - 2 x^{4} (7 x) - 2 x^{4} \cdot - 4 + x^{3} (7 x) + x^{3} \cdot - 4$

ステップ 1.1.4.12.2

指数を足して $x^{5}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.4.12.2.1

$x$ を移動させます。

$7 (x \cdot x^{5}) + x^{5} \cdot - 4 - 2 x^{4} (7 x) - 2 x^{4} \cdot - 4 + x^{3} (7 x) + x^{3} \cdot - 4$

ステップ 1.1.4.12.2.2

$x$ に $x^{5}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.4.12.2.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$7 (x^{1} x^{5}) + x^{5} \cdot - 4 - 2 x^{4} (7 x) - 2 x^{4} \cdot - 4 + x^{3} (7 x) + x^{3} \cdot - 4$

ステップ 1.1.4.12.2.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$7 x^{1 + 5} + x^{5} \cdot - 4 - 2 x^{4} (7 x) - 2 x^{4} \cdot - 4 + x^{3} (7 x) + x^{3} \cdot - 4$

ステップ 1.1.4.12.2.3

$1$ と $5$ をたし算します。

$7 x^{6} + x^{5} \cdot - 4 - 2 x^{4} (7 x) - 2 x^{4} \cdot - 4 + x^{3} (7 x) + x^{3} \cdot - 4$

ステップ 1.1.4.12.3

$- 4$ を $x^{5}$ の左に移動させます。

$7 x^{6} - 4 \cdot x^{5} - 2 x^{4} (7 x) - 2 x^{4} \cdot - 4 + x^{3} (7 x) + x^{3} \cdot - 4$

ステップ 1.1.4.12.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$7 x^{6} - 4 x^{5} - 2 \cdot 7 x^{4} x - 2 x^{4} \cdot - 4 + x^{3} (7 x) + x^{3} \cdot - 4$

ステップ 1.1.4.12.5

指数を足して $x^{4}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.4.12.5.1

$x$ を移動させます。

$7 x^{6} - 4 x^{5} - 2 \cdot 7 (x \cdot x^{4}) - 2 x^{4} \cdot - 4 + x^{3} (7 x) + x^{3} \cdot - 4$

ステップ 1.1.4.12.5.2

$x$ に $x^{4}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.4.12.5.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$7 x^{6} - 4 x^{5} - 2 \cdot 7 (x^{1} x^{4}) - 2 x^{4} \cdot - 4 + x^{3} (7 x) + x^{3} \cdot - 4$

ステップ 1.1.4.12.5.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$7 x^{6} - 4 x^{5} - 2 \cdot 7 x^{1 + 4} - 2 x^{4} \cdot - 4 + x^{3} (7 x) + x^{3} \cdot - 4$

ステップ 1.1.4.12.5.3

$1$ と $4$ をたし算します。

$7 x^{6} - 4 x^{5} - 2 \cdot 7 x^{5} - 2 x^{4} \cdot - 4 + x^{3} (7 x) + x^{3} \cdot - 4$

ステップ 1.1.4.12.6

$- 2$ に $7$ をかけます。

$7 x^{6} - 4 x^{5} - 14 x^{5} - 2 x^{4} \cdot - 4 + x^{3} (7 x) + x^{3} \cdot - 4$

ステップ 1.1.4.12.7

$- 4$ に $- 2$ をかけます。

$7 x^{6} - 4 x^{5} - 14 x^{5} + 8 x^{4} + x^{3} (7 x) + x^{3} \cdot - 4$

ステップ 1.1.4.12.8

積の可換性を利用して書き換えます。

$7 x^{6} - 4 x^{5} - 14 x^{5} + 8 x^{4} + 7 x^{3} x + x^{3} \cdot - 4$

ステップ 1.1.4.12.9

指数を足して $x^{3}$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 1.1.4.12.9.1

$x$ を移動させます。

$7 x^{6} - 4 x^{5} - 14 x^{5} + 8 x^{4} + 7 (x \cdot x^{3}) + x^{3} \cdot - 4$

ステップ 1.1.4.12.9.2

$x$ に $x^{3}$ をかけます。

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ステップ 1.1.4.12.9.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$7 x^{6} - 4 x^{5} - 14 x^{5} + 8 x^{4} + 7 (x^{1} x^{3}) + x^{3} \cdot - 4$

ステップ 1.1.4.12.9.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$7 x^{6} - 4 x^{5} - 14 x^{5} + 8 x^{4} + 7 x^{1 + 3} + x^{3} \cdot - 4$

ステップ 1.1.4.12.9.3

$1$ と $3$ をたし算します。

$7 x^{6} - 4 x^{5} - 14 x^{5} + 8 x^{4} + 7 x^{4} + x^{3} \cdot - 4$

ステップ 1.1.4.12.10

$- 4$ を $x^{3}$ の左に移動させます。

$7 x^{6} - 4 x^{5} - 14 x^{5} + 8 x^{4} + 7 x^{4} - 4 x^{3}$

ステップ 1.1.4.13

$- 4 x^{5}$ から $14 x^{5}$ を引きます。

$7 x^{6} - 18 x^{5} + 8 x^{4} + 7 x^{4} - 4 x^{3}$

ステップ 1.1.4.14

$8 x^{4}$ と $7 x^{4}$ をたし算します。

$f' (x) = 7 x^{6} - 18 x^{5} + 15 x^{4} - 4 x^{3}$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $7 x^{6} - 18 x^{5} + 15 x^{4} - 4 x^{3}$ です。

$7 x^{6} - 18 x^{5} + 15 x^{4} - 4 x^{3}$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $7 x^{6} - 18 x^{5} + 15 x^{4} - 4 x^{3} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$7 x^{6} - 18 x^{5} + 15 x^{4} - 4 x^{3} = 0$

ステップ 2.2

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 2.2.1

$x^{3}$ を $7 x^{6} - 18 x^{5} + 15 x^{4} - 4 x^{3}$ で因数分解します。

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ステップ 2.2.1.1

$x^{3}$ を $7 x^{6}$ で因数分解します。

$x^{3} (7 x^{3}) - 18 x^{5} + 15 x^{4} - 4 x^{3} = 0$

ステップ 2.2.1.2

$x^{3}$ を $- 18 x^{5}$ で因数分解します。

$x^{3} (7 x^{3}) + x^{3} (- 18 x^{2}) + 15 x^{4} - 4 x^{3} = 0$

ステップ 2.2.1.3

$x^{3}$ を $15 x^{4}$ で因数分解します。

$x^{3} (7 x^{3}) + x^{3} (- 18 x^{2}) + x^{3} (15 x) - 4 x^{3} = 0$

ステップ 2.2.1.4

$x^{3}$ を $- 4 x^{3}$ で因数分解します。

$x^{3} (7 x^{3}) + x^{3} (- 18 x^{2}) + x^{3} (15 x) + x^{3} \cdot - 4 = 0$

ステップ 2.2.1.5

$x^{3}$ を $x^{3} (7 x^{3}) + x^{3} (- 18 x^{2})$ で因数分解します。

$x^{3} (7 x^{3} - 18 x^{2}) + x^{3} (15 x) + x^{3} \cdot - 4 = 0$

ステップ 2.2.1.6

$x^{3}$ を $x^{3} (7 x^{3} - 18 x^{2}) + x^{3} (15 x)$ で因数分解します。

$x^{3} (7 x^{3} - 18 x^{2} + 15 x) + x^{3} \cdot - 4 = 0$

ステップ 2.2.1.7

$x^{3}$ を $x^{3} (7 x^{3} - 18 x^{2} + 15 x) + x^{3} \cdot - 4$ で因数分解します。

$x^{3} (7 x^{3} - 18 x^{2} + 15 x - 4) = 0$

ステップ 2.2.2

有理根検定を用いて $7 x^{3} - 18 x^{2} + 15 x - 4$ を因数分解します。

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ステップ 2.2.2.1

多項式関数が整数係数をもつならば、すべての有理数0は $\frac{p}{q}$ の形をもち、 $p$ は定数の因数、 $q$ は首位係数の因数です。

$p = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

$q = \pm 1, \pm 7$

ステップ 2.2.2.2

$\pm \frac{p}{q}$ のすべての組み合わせを求めます。これらは、多項式関数の可能な根です。

$\pm 1, \pm 0.\overline{142857}, \pm 4, \pm 0.\overline{571428}, \pm 2, \pm 0.\overline{285714}$

ステップ 2.2.2.3

$1$ を代入し、式を簡約します。この場合、式は $0$ に等しいので、 $1$ は多項式の根です。

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ステップ 2.2.2.3.1

$1$ を多項式に代入します。

$7 \cdot 1^{3} - 18 \cdot 1^{2} + 15 \cdot 1 - 4$

ステップ 2.2.2.3.2

$1$ を $3$ 乗します。

$7 \cdot 1 - 18 \cdot 1^{2} + 15 \cdot 1 - 4$

ステップ 2.2.2.3.3

$7$ に $1$ をかけます。

$7 - 18 \cdot 1^{2} + 15 \cdot 1 - 4$

ステップ 2.2.2.3.4

$1$ を $2$ 乗します。

$7 - 18 \cdot 1 + 15 \cdot 1 - 4$

ステップ 2.2.2.3.5

$- 18$ に $1$ をかけます。

$7 - 18 + 15 \cdot 1 - 4$

ステップ 2.2.2.3.6

$7$ から $18$ を引きます。

$- 11 + 15 \cdot 1 - 4$

ステップ 2.2.2.3.7

$15$ に $1$ をかけます。

$- 11 + 15 - 4$

ステップ 2.2.2.3.8

$- 11$ と $15$ をたし算します。

$4 - 4$

ステップ 2.2.2.3.9

$4$ から $4$ を引きます。

$0$

ステップ 2.2.2.4

$1$ は既知の根なので、多項式を $x - 1$ で割り、多項式の商を求めます。この多項式は他の根を求めるために利用できます。

$\frac{7 x^{3} - 18 x^{2} + 15 x - 4}{x - 1}$

ステップ 2.2.2.5

$7 x^{3} - 18 x^{2} + 15 x - 4$ を $x - 1$ で割ります。

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ステップ 2.2.2.5.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$x$

$1$

$7 x^{3}$

$18 x^{2}$

$15 x$

$4$

ステップ 2.2.2.5.2

被除数 $7 x^{3}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

					$7 x^{2}$
	$x$	-	$1$		$7 x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$15 x$	-	$4$

ステップ 2.2.2.5.3

新しい商の項に除数を掛けます。

				$7 x^{2}$
$x$	-	$1$		$7 x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$15 x$	-	$4$
			+	$7 x^{3}$	-	$7 x^{2}$

ステップ 2.2.2.5.4

式は被除数から引く必要があるので、 $7 x^{3} - 7 x^{2}$ の符号をすべて変更します。

				$7 x^{2}$
$x$	-	$1$		$7 x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$15 x$	-	$4$
			-	$7 x^{3}$	+	$7 x^{2}$

ステップ 2.2.2.5.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$7 x^{2}$
$x$	-	$1$		$7 x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$15 x$	-	$4$
			-	$7 x^{3}$	+	$7 x^{2}$
					-	$11 x^{2}$

ステップ 2.2.2.5.6

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$7 x^{2}$
$x$	-	$1$		$7 x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$15 x$	-	$4$
			-	$7 x^{3}$	+	$7 x^{2}$
					-	$11 x^{2}$	+	$15 x$

ステップ 2.2.2.5.7

被除数 $- 11 x^{2}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

				$7 x^{2}$	-	$11 x$
$x$	-	$1$		$7 x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$15 x$	-	$4$
			-	$7 x^{3}$	+	$7 x^{2}$
					-	$11 x^{2}$	+	$15 x$

ステップ 2.2.2.5.8

新しい商の項に除数を掛けます。

				$7 x^{2}$	-	$11 x$
$x$	-	$1$		$7 x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$15 x$	-	$4$
			-	$7 x^{3}$	+	$7 x^{2}$
					-	$11 x^{2}$	+	$15 x$
					-	$11 x^{2}$	+	$11 x$

ステップ 2.2.2.5.9

式は被除数から引く必要があるので、 $- 11 x^{2} + 11 x$ の符号をすべて変更します。

				$7 x^{2}$	-	$11 x$
$x$	-	$1$		$7 x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$15 x$	-	$4$
			-	$7 x^{3}$	+	$7 x^{2}$
					-	$11 x^{2}$	+	$15 x$
					+	$11 x^{2}$	-	$11 x$

ステップ 2.2.2.5.10

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$7 x^{2}$	-	$11 x$
$x$	-	$1$		$7 x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$15 x$	-	$4$
			-	$7 x^{3}$	+	$7 x^{2}$
					-	$11 x^{2}$	+	$15 x$
					+	$11 x^{2}$	-	$11 x$
							+	$4 x$

ステップ 2.2.2.5.11

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$7 x^{2}$	-	$11 x$
$x$	-	$1$		$7 x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$15 x$	-	$4$
			-	$7 x^{3}$	+	$7 x^{2}$
					-	$11 x^{2}$	+	$15 x$
					+	$11 x^{2}$	-	$11 x$
							+	$4 x$	-	$4$

ステップ 2.2.2.5.12

被除数 $4 x$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

				$7 x^{2}$	-	$11 x$	+	$4$
$x$	-	$1$		$7 x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$15 x$	-	$4$
			-	$7 x^{3}$	+	$7 x^{2}$
					-	$11 x^{2}$	+	$15 x$
					+	$11 x^{2}$	-	$11 x$
							+	$4 x$	-	$4$

ステップ 2.2.2.5.13

新しい商の項に除数を掛けます。

				$7 x^{2}$	-	$11 x$	+	$4$
$x$	-	$1$		$7 x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$15 x$	-	$4$
			-	$7 x^{3}$	+	$7 x^{2}$
					-	$11 x^{2}$	+	$15 x$
					+	$11 x^{2}$	-	$11 x$
							+	$4 x$	-	$4$
							+	$4 x$	-	$4$

ステップ 2.2.2.5.14

式は被除数から引く必要があるので、 $4 x - 4$ の符号をすべて変更します。

				$7 x^{2}$	-	$11 x$	+	$4$
$x$	-	$1$		$7 x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$15 x$	-	$4$
			-	$7 x^{3}$	+	$7 x^{2}$
					-	$11 x^{2}$	+	$15 x$
					+	$11 x^{2}$	-	$11 x$
							+	$4 x$	-	$4$
							-	$4 x$	+	$4$

ステップ 2.2.2.5.15

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$7 x^{2}$	-	$11 x$	+	$4$
$x$	-	$1$		$7 x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$15 x$	-	$4$
			-	$7 x^{3}$	+	$7 x^{2}$
					-	$11 x^{2}$	+	$15 x$
					+	$11 x^{2}$	-	$11 x$
							+	$4 x$	-	$4$
							-	$4 x$	+	$4$
										$0$

ステップ 2.2.2.5.16

余りが $0$ なので、最終回答は商です。

$7 x^{2} - 11 x + 4$

ステップ 2.2.2.6

$7 x^{3} - 18 x^{2} + 15 x - 4$ を因数の集合として書き換えます。

$x^{3} ((x - 1) (7 x^{2} - 11 x + 4)) = 0$

ステップ 2.2.3

因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.1

群による因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.1.1

群による因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.1.1.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 7 \cdot 4 = 28$ で和が $b = - 11$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.1.1.1.1

$- 11$ を $- 11 x$ で因数分解します。

$x^{3} ((x - 1) (7 x^{2} - 11 x + 4)) = 0$

ステップ 2.2.3.1.1.1.2

$- 11$ を $- 4$ プラス $- 7$ に書き換える

$x^{3} ((x - 1) (7 x^{2} + (- 4 - 7) x + 4)) = 0$

ステップ 2.2.3.1.1.1.3

分配則を当てはめます。

$x^{3} ((x - 1) (7 x^{2} - 4 x - 7 x + 4)) = 0$

ステップ 2.2.3.1.1.2

各群から最大公約数を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.1.1.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$x^{3} ((x - 1) ((7 x^{2} - 4 x) - 7 x + 4)) = 0$

ステップ 2.2.3.1.1.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$x^{3} ((x - 1) (x (7 x - 4) - (7 x - 4))) = 0$

ステップ 2.2.3.1.1.3

最大公約数 $7 x - 4$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$x^{3} ((x - 1) ((7 x - 4) (x - 1))) = 0$

ステップ 2.2.3.1.2

不要な括弧を削除します。

$x^{3} ((x - 1) (7 x - 4) (x - 1)) = 0$

ステップ 2.2.3.2

不要な括弧を削除します。

$x^{3} (x - 1) (7 x - 4) (x - 1) = 0$

ステップ 2.2.4

指数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.4.1

$x - 1$ を $1$ 乗します。

$x^{3} ((x - 1) (x - 1)) (7 x - 4) = 0$

ステップ 2.2.4.2

$x - 1$ を $1$ 乗します。

$x^{3} ((x - 1) (x - 1)) (7 x - 4) = 0$

ステップ 2.2.4.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$x^{3} {(x - 1)}^{1 + 1} (7 x - 4) = 0$

ステップ 2.2.4.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$x^{3} {(x - 1)}^{2} (7 x - 4) = 0$

ステップ 2.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x^{3} = 0$

${(x - 1)}^{2} = 0$

$7 x - 4 = 0$

ステップ 2.4

$x^{3}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

$x^{3}$ が $0$ に等しいとします。

$x^{3} = 0$

ステップ 2.4.2

$x$ について $x^{3} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.1

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \sqrt[3]{0}$

ステップ 2.4.2.2

$\sqrt[3]{0}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.2.1

$0$ を $0^{3}$ に書き換えます。

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

ステップ 2.4.2.2.2

実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = 0$

ステップ 2.5

${(x - 1)}^{2}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1

${(x - 1)}^{2}$ が $0$ に等しいとします。

${(x - 1)}^{2} = 0$

ステップ 2.5.2

$x$ について ${(x - 1)}^{2} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.1

$x - 1$ が $0$ に等しいとします。

$x - 1 = 0$

ステップ 2.5.2.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$x = 1$

ステップ 2.6

$7 x - 4$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.1

$7 x - 4$ が $0$ に等しいとします。

$7 x - 4 = 0$

ステップ 2.6.2

$x$ について $7 x - 4 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.2.1

方程式の両辺に $4$ を足します。

$7 x = 4$

ステップ 2.6.2.2

$7 x = 4$ の各項を $7$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.2.2.1

$7 x = 4$ の各項を $7$ で割ります。

$\frac{7 x}{7} = \frac{4}{7}$

ステップ 2.6.2.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.2.2.2.1

$7$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{7 x}{7} = \frac{4}{7}$

ステップ 2.6.2.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{4}{7}$

ステップ 2.7

最終解は $x^{3} {(x - 1)}^{2} (7 x - 4) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, 1, \frac{4}{7}$

ステップ 3

微分係数が未定義になる値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $x^{4} {(x - 1)}^{3}$ の値を求めます。

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ステップ 4.1

$x = 0$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

$0$ を $x$ に代入します。

${(0)}^{4} {((0) - 1)}^{3}$

ステップ 4.1.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$0 {((0) - 1)}^{3}$

ステップ 4.1.2.2

$0$ から $1$ を引きます。

$0 {(- 1)}^{3}$

ステップ 4.1.2.3

$- 1$ を $3$ 乗します。

$0 \cdot - 1$

ステップ 4.1.2.4

$0$ に $- 1$ をかけます。

$0$

ステップ 4.2

$x = 1$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

$1$ を $x$ に代入します。

${(1)}^{4} {((1) - 1)}^{3}$

ステップ 4.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1

1のすべての数の累乗は1です。

$1 {((1) - 1)}^{3}$

ステップ 4.2.2.2

${((1) - 1)}^{3}$ に $1$ をかけます。

${((1) - 1)}^{3}$

ステップ 4.2.2.3

$1$ から $1$ を引きます。

$0^{3}$

ステップ 4.2.2.4

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$0$

ステップ 4.3

$x = \frac{4}{7}$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

$\frac{4}{7}$ を $x$ に代入します。

${(\frac{4}{7})}^{4} {((\frac{4}{7}) - 1)}^{3}$

ステップ 4.3.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1

積の法則を $\frac{4}{7}$ に当てはめます。

$\frac{4^{4}}{7^{4}} {((\frac{4}{7}) - 1)}^{3}$

ステップ 4.3.2.2

$4$ を $4$ 乗します。

$\frac{256}{7^{4}} {((\frac{4}{7}) - 1)}^{3}$

ステップ 4.3.2.3

$7$ を $4$ 乗します。

$\frac{256}{2401} {((\frac{4}{7}) - 1)}^{3}$

ステップ 4.3.2.4

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{7}{7}$ を掛けます。

$\frac{256}{2401} {(\frac{4}{7} - 1 \cdot \frac{7}{7})}^{3}$

ステップ 4.3.2.5

$- 1$ と $\frac{7}{7}$ をまとめます。

$\frac{256}{2401} {(\frac{4}{7} + \frac{- 1 \cdot 7}{7})}^{3}$

ステップ 4.3.2.6

公分母の分子をまとめます。

$\frac{256}{2401} {(\frac{4 - 1 \cdot 7}{7})}^{3}$

ステップ 4.3.2.7

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.7.1

$- 1$ に $7$ をかけます。

$\frac{256}{2401} {(\frac{4 - 7}{7})}^{3}$

ステップ 4.3.2.7.2

$4$ から $7$ を引きます。

$\frac{256}{2401} {(\frac{- 3}{7})}^{3}$

ステップ 4.3.2.8

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{256}{2401} {(- \frac{3}{7})}^{3}$

ステップ 4.3.2.9

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.9.1

積の法則を $- \frac{3}{7}$ に当てはめます。

$\frac{256}{2401} ({(- 1)}^{3} {(\frac{3}{7})}^{3})$

ステップ 4.3.2.9.2

積の法則を $\frac{3}{7}$ に当てはめます。

$\frac{256}{2401} ({(- 1)}^{3} \frac{3^{3}}{7^{3}})$

ステップ 4.3.2.10

$- 1$ を $3$ 乗します。

$\frac{256}{2401} (- \frac{3^{3}}{7^{3}})$

ステップ 4.3.2.11

$3$ を $3$ 乗します。

$\frac{256}{2401} (- \frac{27}{7^{3}})$

ステップ 4.3.2.12

$7$ を $3$ 乗します。

$\frac{256}{2401} (- \frac{27}{343})$

ステップ 4.3.2.13

$\frac{256}{2401} (- \frac{27}{343})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.13.1

$\frac{256}{2401}$ に $\frac{27}{343}$ をかけます。

$- \frac{256 \cdot 27}{2401 \cdot 343}$

ステップ 4.3.2.13.2

$256$ に $27$ をかけます。

$- \frac{6912}{2401 \cdot 343}$

ステップ 4.3.2.13.3

$2401$ に $343$ をかけます。

$- \frac{6912}{823543}$

ステップ 4.4

点のすべてを一覧にします。

$(0, 0), (1, 0), (\frac{4}{7}, - \frac{6912}{823543})$

ステップ 5

微分積分 例

微分積分例