微分積分例

$f (x) = x^{4} - 18 x^{2}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

微分します。

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ステップ 1.1.1.1

総和則では、 $x^{4} - 18 x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 18 x^{2}]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 18 x^{2}]$

ステップ 1.1.1.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 18 x^{2}]$

ステップ 1.1.2

$\frac{d}{d x} [- 18 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

$- 18$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 18 x^{2}$ の微分係数は $- 18 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$4 x^{3} - 18 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 x^{3} - 18 (2 x)$

ステップ 1.1.2.3

$2$ に $- 18$ をかけます。

$f' (x) = 4 x^{3} - 36 x$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $4 x^{3} - 36 x$ です。

$4 x^{3} - 36 x$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $4 x^{3} - 36 x = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$4 x^{3} - 36 x = 0$

ステップ 2.2

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 2.2.1

$4 x$ を $4 x^{3} - 36 x$ で因数分解します。

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ステップ 2.2.1.1

$4 x$ を $4 x^{3}$ で因数分解します。

$4 x (x^{2}) - 36 x = 0$

ステップ 2.2.1.2

$4 x$ を $- 36 x$ で因数分解します。

$4 x (x^{2}) + 4 x (- 9) = 0$

ステップ 2.2.1.3

$4 x$ を $4 x (x^{2}) + 4 x (- 9)$ で因数分解します。

$4 x (x^{2} - 9) = 0$

ステップ 2.2.2

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$4 x (x^{2} - 3^{2}) = 0$

ステップ 2.2.3

因数分解。

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ステップ 2.2.3.1

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 3$ です。

$4 x ((x + 3) (x - 3)) = 0$

ステップ 2.2.3.2

不要な括弧を削除します。

$4 x (x + 3) (x - 3) = 0$

ステップ 2.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

$x + 3 = 0$

$x - 3 = 0$

ステップ 2.4

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

ステップ 2.5

$x + 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.5.1

$x + 3$ が $0$ に等しいとします。

$x + 3 = 0$

ステップ 2.5.2

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$x = - 3$

ステップ 2.6

$x - 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.6.1

$x - 3$ が $0$ に等しいとします。

$x - 3 = 0$

ステップ 2.6.2

方程式の両辺に $3$ を足します。

$x = 3$

ステップ 2.7

最終解は $4 x (x + 3) (x - 3) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, - 3, 3$

ステップ 3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 3.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $x^{4} - 18 x^{2}$ の値を求めます。

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ステップ 4.1

$x = 0$ での値を求めます。

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ステップ 4.1.1

$0$ を $x$ に代入します。

${(0)}^{4} - 18 {(0)}^{2}$

ステップ 4.1.2

簡約します。

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ステップ 4.1.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.1.2.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$0 - 18 {(0)}^{2}$

ステップ 4.1.2.1.2

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$0 - 18 \cdot 0$

ステップ 4.1.2.1.3

$- 18$ に $0$ をかけます。

$0 + 0$

ステップ 4.1.2.2

$0$ と $0$ をたし算します。

$0$

ステップ 4.2

$x = - 3$ での値を求めます。

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ステップ 4.2.1

$- 3$ を $x$ に代入します。

${(- 3)}^{4} - 18 {(- 3)}^{2}$

ステップ 4.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.2.2.1.1

$- 3$ を $4$ 乗します。

$81 - 18 {(- 3)}^{2}$

ステップ 4.2.2.1.2

$- 3$ を $2$ 乗します。

$81 - 18 \cdot 9$

ステップ 4.2.2.1.3

$- 18$ に $9$ をかけます。

$81 - 162$

ステップ 4.2.2.2

$81$ から $162$ を引きます。

$- 81$

ステップ 4.3

$x = 3$ での値を求めます。

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ステップ 4.3.1

$3$ を $x$ に代入します。

${(3)}^{4} - 18 {(3)}^{2}$

ステップ 4.3.2

簡約します。

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ステップ 4.3.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.3.2.1.1

$3$ を $4$ 乗します。

$81 - 18 {(3)}^{2}$

ステップ 4.3.2.1.2

$3$ を $2$ 乗します。

$81 - 18 \cdot 9$

ステップ 4.3.2.1.3

$- 18$ に $9$ をかけます。

$81 - 162$

ステップ 4.3.2.2

$81$ から $162$ を引きます。

$- 81$

ステップ 4.4

点のすべてを一覧にします。

$(0, 0), (- 3, - 81), (3, - 81)$

ステップ 5

微分積分 例

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