微分積分例

$f (x) = 2 x^{3} + 15 x^{2} + 24 x$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

総和則では、 $2 x^{3} + 15 x^{2} + 24 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [24 x]$ です。

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [24 x]$

ステップ 1.1.2

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x^{3}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [24 x]$

ステップ 1.1.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [24 x]$

ステップ 1.1.2.3

$3$ に $2$ をかけます。

$6 x^{2} + \frac{d}{d x} [15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [24 x]$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d x} [15 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

$15$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $15 x^{2}$ の微分係数は $15 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$6 x^{2} + 15 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [24 x]$

ステップ 1.1.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$6 x^{2} + 15 (2 x) + \frac{d}{d x} [24 x]$

ステップ 1.1.3.3

$2$ に $15$ をかけます。

$6 x^{2} + 30 x + \frac{d}{d x} [24 x]$

ステップ 1.1.4

$\frac{d}{d x} [24 x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.4.1

$24$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $24 x$ の微分係数は $24 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$6 x^{2} + 30 x + 24 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$6 x^{2} + 30 x + 24 \cdot 1$

ステップ 1.1.4.3

$24$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = 6 x^{2} + 30 x + 24$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $6 x^{2} + 30 x + 24$ です。

$6 x^{2} + 30 x + 24$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $6 x^{2} + 30 x + 24 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$6 x^{2} + 30 x + 24 = 0$

ステップ 2.2

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 2.2.1

$6$ を $6 x^{2} + 30 x + 24$ で因数分解します。

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ステップ 2.2.1.1

$6$ を $6 x^{2}$ で因数分解します。

$6 (x^{2}) + 30 x + 24 = 0$

ステップ 2.2.1.2

$6$ を $30 x$ で因数分解します。

$6 (x^{2}) + 6 (5 x) + 24 = 0$

ステップ 2.2.1.3

$6$ を $24$ で因数分解します。

$6 x^{2} + 6 (5 x) + 6 \cdot 4 = 0$

ステップ 2.2.1.4

$6$ を $6 x^{2} + 6 (5 x)$ で因数分解します。

$6 (x^{2} + 5 x) + 6 \cdot 4 = 0$

ステップ 2.2.1.5

$6$ を $6 (x^{2} + 5 x) + 6 \cdot 4$ で因数分解します。

$6 (x^{2} + 5 x + 4) = 0$

ステップ 2.2.2

因数分解。

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ステップ 2.2.2.1

たすき掛けを利用して $x^{2} + 5 x + 4$ を因数分解します。

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ステップ 2.2.2.1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $4$ で、その和が $5$ です。

$1, 4$

ステップ 2.2.2.1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$6 ((x + 1) (x + 4)) = 0$

ステップ 2.2.2.2

不要な括弧を削除します。

$6 (x + 1) (x + 4) = 0$

ステップ 2.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x + 1 = 0$

$x + 4 = 0$

ステップ 2.4

$x + 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.4.1

$x + 1$ が $0$ に等しいとします。

$x + 1 = 0$

ステップ 2.4.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$x = - 1$

ステップ 2.5

$x + 4$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.5.1

$x + 4$ が $0$ に等しいとします。

$x + 4 = 0$

ステップ 2.5.2

方程式の両辺から $4$ を引きます。

$x = - 4$

ステップ 2.6

最終解は $6 (x + 1) (x + 4) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = - 1, - 4$

ステップ 3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 3.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $2 x^{3} + 15 x^{2} + 24 x$ の値を求めます。

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ステップ 4.1

$x = - 1$ での値を求めます。

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ステップ 4.1.1

$- 1$ を $x$ に代入します。

$2 {(- 1)}^{3} + 15 {(- 1)}^{2} + 24 (- 1)$

ステップ 4.1.2

簡約します。

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ステップ 4.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1.1

$- 1$ を $3$ 乗します。

$2 \cdot - 1 + 15 {(- 1)}^{2} + 24 (- 1)$

ステップ 4.1.2.1.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$- 2 + 15 {(- 1)}^{2} + 24 (- 1)$

ステップ 4.1.2.1.3

$- 1$ を $2$ 乗します。

$- 2 + 15 \cdot 1 + 24 (- 1)$

ステップ 4.1.2.1.4

$15$ に $1$ をかけます。

$- 2 + 15 + 24 (- 1)$

ステップ 4.1.2.1.5

$24$ に $- 1$ をかけます。

$- 2 + 15 - 24$

ステップ 4.1.2.2

足し算と引き算で簡約します。

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ステップ 4.1.2.2.1

$- 2$ と $15$ をたし算します。

$13 - 24$

ステップ 4.1.2.2.2

$13$ から $24$ を引きます。

$- 11$

ステップ 4.2

$x = - 4$ での値を求めます。

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ステップ 4.2.1

$- 4$ を $x$ に代入します。

$2 {(- 4)}^{3} + 15 {(- 4)}^{2} + 24 (- 4)$

ステップ 4.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1.1

$- 4$ を $3$ 乗します。

$2 \cdot - 64 + 15 {(- 4)}^{2} + 24 (- 4)$

ステップ 4.2.2.1.2

$2$ に $- 64$ をかけます。

$- 128 + 15 {(- 4)}^{2} + 24 (- 4)$

ステップ 4.2.2.1.3

$- 4$ を $2$ 乗します。

$- 128 + 15 \cdot 16 + 24 (- 4)$

ステップ 4.2.2.1.4

$15$ に $16$ をかけます。

$- 128 + 240 + 24 (- 4)$

ステップ 4.2.2.1.5

$24$ に $- 4$ をかけます。

$- 128 + 240 - 96$

ステップ 4.2.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.2.1

$- 128$ と $240$ をたし算します。

$112 - 96$

ステップ 4.2.2.2.2

$112$ から $96$ を引きます。

$16$

ステップ 4.3

点のすべてを一覧にします。

$(- 1, - 11), (- 4, 16)$

ステップ 5

微分積分 例

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