微分積分例

$f (x) = 20 x^{3} - 3 x^{5}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

総和則では、 $20 x^{3} - 3 x^{5}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [20 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{5}]$ です。

$\frac{d}{d x} [20 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{5}]$

ステップ 1.1.2

$\frac{d}{d x} [20 x^{3}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

$20$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $20 x^{3}$ の微分係数は $20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$20 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{5}]$

ステップ 1.1.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$20 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{5}]$

ステップ 1.1.2.3

$3$ に $20$ をかけます。

$60 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{5}]$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d x} [- 3 x^{5}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

$- 3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 3 x^{5}$ の微分係数は $- 3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ です。

$60 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$

ステップ 1.1.3.2

$n = 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$60 x^{2} - 3 (5 x^{4})$

ステップ 1.1.3.3

$5$ に $- 3$ をかけます。

$60 x^{2} - 15 x^{4}$

ステップ 1.1.4

項を並べ替えます。

$f' (x) = - 15 x^{4} + 60 x^{2}$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $- 15 x^{4} + 60 x^{2}$ です。

$- 15 x^{4} + 60 x^{2}$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- 15 x^{4} + 60 x^{2} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$- 15 x^{4} + 60 x^{2} = 0$

ステップ 2.2

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 2.2.1

$x^{4}$ を ${(x^{2})}^{2}$ に書き換えます。

$- 15 {(x^{2})}^{2} + 60 x^{2} = 0$

ステップ 2.2.2

$u = x^{2}$ とします。 $u$ を $x^{2}$ に代入します。

$- 15 u^{2} + 60 u = 0$

ステップ 2.2.3

$15 u$ を $- 15 u^{2} + 60 u$ で因数分解します。

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ステップ 2.2.3.1

$15 u$ を $- 15 u^{2}$ で因数分解します。

$15 u (- u) + 60 u = 0$

ステップ 2.2.3.2

$15 u$ を $60 u$ で因数分解します。

$15 u (- u) + 15 u (4) = 0$

ステップ 2.2.3.3

$15 u$ を $15 u (- u) + 15 u (4)$ で因数分解します。

$15 u (- u + 4) = 0$

ステップ 2.2.4

$u$ のすべての発生を $x^{2}$ で置き換えます。

$15 x^{2} (- x^{2} + 4) = 0$

ステップ 2.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x^{2} = 0$

$- x^{2} + 4 = 0$

ステップ 2.4

$x^{2}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.4.1

$x^{2}$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} = 0$

ステップ 2.4.2

$x$ について $x^{2} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.4.2.1

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{0}$

ステップ 2.4.2.2

$\pm \sqrt{0}$ を簡約します。

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ステップ 2.4.2.2.1

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

ステップ 2.4.2.2.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 0$

ステップ 2.4.2.2.3

プラスマイナス $0$ は $0$ です。

$x = 0$

ステップ 2.5

$- x^{2} + 4$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.5.1

$- x^{2} + 4$ が $0$ に等しいとします。

$- x^{2} + 4 = 0$

ステップ 2.5.2

$x$ について $- x^{2} + 4 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.5.2.1

方程式の両辺から $4$ を引きます。

$- x^{2} = - 4$

ステップ 2.5.2.2

$- x^{2} = - 4$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.5.2.2.1

$- x^{2} = - 4$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 4}{- 1}$

ステップ 2.5.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.5.2.2.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 4}{- 1}$

ステップ 2.5.2.2.2.2

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$x^{2} = \frac{- 4}{- 1}$

ステップ 2.5.2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.5.2.2.3.1

$- 4$ を $- 1$ で割ります。

$x^{2} = 4$

ステップ 2.5.2.3

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{4}$

ステップ 2.5.2.4

$\pm \sqrt{4}$ を簡約します。

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ステップ 2.5.2.4.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

ステップ 2.5.2.4.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 2$

ステップ 2.5.2.5

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 2.5.2.5.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = 2$

ステップ 2.5.2.5.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - 2$

ステップ 2.5.2.5.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = 2, - 2$

ステップ 2.6

最終解は $15 x^{2} (- x^{2} + 4) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, 2, - 2$

ステップ 3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 3.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $20 x^{3} - 3 x^{5}$ の値を求めます。

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ステップ 4.1

$x = 0$ での値を求めます。

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ステップ 4.1.1

$0$ を $x$ に代入します。

$20 {(0)}^{3} - 3 {(0)}^{5}$

ステップ 4.1.2

簡約します。

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ステップ 4.1.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.1.2.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$20 \cdot 0 - 3 {(0)}^{5}$

ステップ 4.1.2.1.2

$20$ に $0$ をかけます。

$0 - 3 {(0)}^{5}$

ステップ 4.1.2.1.3

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$0 - 3 \cdot 0$

ステップ 4.1.2.1.4

$- 3$ に $0$ をかけます。

$0 + 0$

ステップ 4.1.2.2

$0$ と $0$ をたし算します。

$0$

ステップ 4.2

$x = 2$ での値を求めます。

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ステップ 4.2.1

$2$ を $x$ に代入します。

$20 {(2)}^{3} - 3 {(2)}^{5}$

ステップ 4.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1.1

$2$ を $3$ 乗します。

$20 \cdot 8 - 3 {(2)}^{5}$

ステップ 4.2.2.1.2

$20$ に $8$ をかけます。

$160 - 3 {(2)}^{5}$

ステップ 4.2.2.1.3

$2$ を $5$ 乗します。

$160 - 3 \cdot 32$

ステップ 4.2.2.1.4

$- 3$ に $32$ をかけます。

$160 - 96$

ステップ 4.2.2.2

$160$ から $96$ を引きます。

$64$

ステップ 4.3

$x = - 2$ での値を求めます。

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ステップ 4.3.1

$- 2$ を $x$ に代入します。

$20 {(- 2)}^{3} - 3 {(- 2)}^{5}$

ステップ 4.3.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1.1

$- 2$ を $3$ 乗します。

$20 \cdot - 8 - 3 {(- 2)}^{5}$

ステップ 4.3.2.1.2

$20$ に $- 8$ をかけます。

$- 160 - 3 {(- 2)}^{5}$

ステップ 4.3.2.1.3

$- 2$ を $5$ 乗します。

$- 160 - 3 \cdot - 32$

ステップ 4.3.2.1.4

$- 3$ に $- 32$ をかけます。

$- 160 + 96$

ステップ 4.3.2.2

$- 160$ と $96$ をたし算します。

$- 64$

ステップ 4.4

点のすべてを一覧にします。

$(0, 0), (2, 64), (- 2, - 64)$

ステップ 5

微分積分 例

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