微分積分例

$f (x) = 4 x^{3} + 3 x^{2} - 6 x + 1$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

総和則では、 $4 x^{3} + 3 x^{2} - 6 x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (1)$

ステップ 1.1.2

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x^{3}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$f' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (1)$

ステップ 1.1.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (1)$

ステップ 1.1.2.3

$3$ に $4$ をかけます。

$f' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (1)$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x^{2}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$f' (x) = 12 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (1)$

ステップ 1.1.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 12 x^{2} + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (1)$

ステップ 1.1.3.3

$2$ に $3$ をかけます。

$f' (x) = 12 x^{2} + 6 x + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (1)$

ステップ 1.1.4

$\frac{d}{d x} [- 6 x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.4.1

$- 6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 6 x$ の微分係数は $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f' (x) = 12 x^{2} + 6 x - 6 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (1)$

ステップ 1.1.4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 12 x^{2} + 6 x - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (1)$

ステップ 1.1.4.3

$- 6$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = 12 x^{2} + 6 x - 6 + \frac{d}{d x} (1)$

ステップ 1.1.5

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 1.1.5.1

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$f' (x) = 12 x^{2} + 6 x - 6 + 0$

ステップ 1.1.5.2

$12 x^{2} + 6 x - 6$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = 12 x^{2} + 6 x - 6$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $12 x^{2} + 6 x - 6$ です。

$12 x^{2} + 6 x - 6$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $12 x^{2} + 6 x - 6 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$12 x^{2} + 6 x - 6 = 0$

ステップ 2.2

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 2.2.1

$6$ を $12 x^{2} + 6 x - 6$ で因数分解します。

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ステップ 2.2.1.1

$6$ を $12 x^{2}$ で因数分解します。

$6 (2 x^{2}) + 6 x - 6 = 0$

ステップ 2.2.1.2

$6$ を $6 x$ で因数分解します。

$6 (2 x^{2}) + 6 (x) - 6 = 0$

ステップ 2.2.1.3

$6$ を $- 6$ で因数分解します。

$6 (2 x^{2}) + 6 (x) + 6 (- 1) = 0$

ステップ 2.2.1.4

$6$ を $6 (2 x^{2}) + 6 (x)$ で因数分解します。

$6 (2 x^{2} + x) + 6 (- 1) = 0$

ステップ 2.2.1.5

$6$ を $6 (2 x^{2} + x) + 6 (- 1)$ で因数分解します。

$6 (2 x^{2} + x - 1) = 0$

ステップ 2.2.2

因数分解。

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ステップ 2.2.2.1

群による因数分解。

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ステップ 2.2.2.1.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ で和が $b = 1$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 2.2.2.1.1.1

$1$ を掛けます。

$6 (2 x^{2} + 1 x - 1) = 0$

ステップ 2.2.2.1.1.2

$1$ を $- 1$ プラス $2$ に書き換える

$6 (2 x^{2} + (- 1 + 2) x - 1) = 0$

ステップ 2.2.2.1.1.3

分配則を当てはめます。

$6 (2 x^{2} - 1 x + 2 x - 1) = 0$

ステップ 2.2.2.1.2

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 2.2.2.1.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$6 ((2 x^{2} - 1 x) + 2 x - 1) = 0$

ステップ 2.2.2.1.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$6 (x (2 x - 1) + 1 (2 x - 1)) = 0$

ステップ 2.2.2.1.3

最大公約数 $2 x - 1$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$6 ((2 x - 1) (x + 1)) = 0$

ステップ 2.2.2.2

不要な括弧を削除します。

$6 (2 x - 1) (x + 1) = 0$

ステップ 2.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$2 x - 1 = 0$

$x + 1 = 0$

ステップ 2.4

$2 x - 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.4.1

$2 x - 1$ が $0$ に等しいとします。

$2 x - 1 = 0$

ステップ 2.4.2

$x$ について $2 x - 1 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.4.2.1

方程式の両辺に $1$ を足します。

$2 x = 1$

ステップ 2.4.2.2

$2 x = 1$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.4.2.2.1

$2 x = 1$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

ステップ 2.4.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.4.2.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

ステップ 2.4.2.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{1}{2}$

ステップ 2.5

$x + 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1

$x + 1$ が $0$ に等しいとします。

$x + 1 = 0$

ステップ 2.5.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$x = - 1$

ステップ 2.6

最終解は $6 (2 x - 1) (x + 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = \frac{1}{2}, - 1$

ステップ 3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 3.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $4 x^{3} + 3 x^{2} - 6 x + 1$ の値を求めます。

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ステップ 4.1

$x = \frac{1}{2}$ での値を求めます。

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ステップ 4.1.1

$\frac{1}{2}$ を $x$ に代入します。

$4 {(\frac{1}{2})}^{3} + 3 {(\frac{1}{2})}^{2} - 6 (\frac{1}{2}) + 1$

ステップ 4.1.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.1.2.1.1

積の法則を $\frac{1}{2}$ に当てはめます。

$4 \frac{1^{3}}{2^{3}} + 3 {(\frac{1}{2})}^{2} - 6 (\frac{1}{2}) + 1$

ステップ 4.1.2.1.2

1のすべての数の累乗は1です。

$4 \frac{1}{2^{3}} + 3 {(\frac{1}{2})}^{2} - 6 (\frac{1}{2}) + 1$

ステップ 4.1.2.1.3

$2$ を $3$ 乗します。

$4 (\frac{1}{8}) + 3 {(\frac{1}{2})}^{2} - 6 (\frac{1}{2}) + 1$

ステップ 4.1.2.1.4

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1.4.1

$4$ を $8$ で因数分解します。

$4 \frac{1}{4 (2)} + 3 {(\frac{1}{2})}^{2} - 6 (\frac{1}{2}) + 1$

ステップ 4.1.2.1.4.2

共通因数を約分します。

$4 \frac{1}{4 \cdot 2} + 3 {(\frac{1}{2})}^{2} - 6 (\frac{1}{2}) + 1$

ステップ 4.1.2.1.4.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{2} + 3 {(\frac{1}{2})}^{2} - 6 (\frac{1}{2}) + 1$

ステップ 4.1.2.1.5

積の法則を $\frac{1}{2}$ に当てはめます。

$\frac{1}{2} + 3 \frac{1^{2}}{2^{2}} - 6 (\frac{1}{2}) + 1$

ステップ 4.1.2.1.6

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{1}{2} + 3 \frac{1}{2^{2}} - 6 (\frac{1}{2}) + 1$

ステップ 4.1.2.1.7

$2$ を $2$ 乗します。

$\frac{1}{2} + 3 (\frac{1}{4}) - 6 (\frac{1}{2}) + 1$

ステップ 4.1.2.1.8

$3$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} + \frac{3}{4} - 6 (\frac{1}{2}) + 1$

ステップ 4.1.2.1.9

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1.9.1

$2$ を $- 6$ で因数分解します。

$\frac{1}{2} + \frac{3}{4} + 2 (- 3) \frac{1}{2} + 1$

ステップ 4.1.2.1.9.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{2} + \frac{3}{4} + 2 \cdot - 3 \frac{1}{2} + 1$

ステップ 4.1.2.1.9.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{2} + \frac{3}{4} - 3 + 1$

ステップ 4.1.2.2

公分母を求めます。

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ステップ 4.1.2.2.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{4} - 3 + 1$

ステップ 4.1.2.2.2

$\frac{1}{2}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$\frac{2}{2 \cdot 2} + \frac{3}{4} - 3 + 1$

ステップ 4.1.2.2.3

$- 3$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$\frac{2}{2 \cdot 2} + \frac{3}{4} + \frac{- 3}{1} + 1$

ステップ 4.1.2.2.4

$\frac{- 3}{1}$ に $\frac{4}{4}$ をかけます。

$\frac{2}{2 \cdot 2} + \frac{3}{4} + \frac{- 3}{1} \cdot \frac{4}{4} + 1$

ステップ 4.1.2.2.5

$\frac{- 3}{1}$ に $\frac{4}{4}$ をかけます。

$\frac{2}{2 \cdot 2} + \frac{3}{4} + \frac{- 3 \cdot 4}{4} + 1$

ステップ 4.1.2.2.6

$1$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$\frac{2}{2 \cdot 2} + \frac{3}{4} + \frac{- 3 \cdot 4}{4} + \frac{1}{1}$

ステップ 4.1.2.2.7

$\frac{1}{1}$ に $\frac{4}{4}$ をかけます。

$\frac{2}{2 \cdot 2} + \frac{3}{4} + \frac{- 3 \cdot 4}{4} + \frac{1}{1} \cdot \frac{4}{4}$

ステップ 4.1.2.2.8

$\frac{1}{1}$ に $\frac{4}{4}$ をかけます。

$\frac{2}{2 \cdot 2} + \frac{3}{4} + \frac{- 3 \cdot 4}{4} + \frac{4}{4}$

ステップ 4.1.2.2.9

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{2}{4} + \frac{3}{4} + \frac{- 3 \cdot 4}{4} + \frac{4}{4}$

ステップ 4.1.2.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{2 + 3 - 3 \cdot 4 + 4}{4}$

ステップ 4.1.2.4

式を簡約します。

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ステップ 4.1.2.4.1

$- 3$ に $4$ をかけます。

$\frac{2 + 3 - 12 + 4}{4}$

ステップ 4.1.2.4.2

$2$ と $3$ をたし算します。

$\frac{5 - 12 + 4}{4}$

ステップ 4.1.2.4.3

$5$ から $12$ を引きます。

$\frac{- 7 + 4}{4}$

ステップ 4.1.2.4.4

$- 7$ と $4$ をたし算します。

$\frac{- 3}{4}$

ステップ 4.1.2.4.5

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{3}{4}$

ステップ 4.2

$x = - 1$ での値を求めます。

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ステップ 4.2.1

$- 1$ を $x$ に代入します。

$4 {(- 1)}^{3} + 3 {(- 1)}^{2} - 6 \cdot - 1 + 1$

ステップ 4.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1.1

$- 1$ を $3$ 乗します。

$4 \cdot - 1 + 3 {(- 1)}^{2} - 6 \cdot - 1 + 1$

ステップ 4.2.2.1.2

$4$ に $- 1$ をかけます。

$- 4 + 3 {(- 1)}^{2} - 6 \cdot - 1 + 1$

ステップ 4.2.2.1.3

$- 1$ を $2$ 乗します。

$- 4 + 3 \cdot 1 - 6 \cdot - 1 + 1$

ステップ 4.2.2.1.4

$3$ に $1$ をかけます。

$- 4 + 3 - 6 \cdot - 1 + 1$

ステップ 4.2.2.1.5

$- 6$ に $- 1$ をかけます。

$- 4 + 3 + 6 + 1$

ステップ 4.2.2.2

数を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.2.1

$- 4$ と $3$ をたし算します。

$- 1 + 6 + 1$

ステップ 4.2.2.2.2

$- 1$ と $6$ をたし算します。

$5 + 1$

ステップ 4.2.2.2.3

$5$ と $1$ をたし算します。

$6$

ステップ 4.3

点のすべてを一覧にします。

$(\frac{1}{2}, - \frac{3}{4}), (- 1, 6)$

ステップ 5

微分積分 例

微分積分例