微分積分例

$f (x) = 3 x^{4} - 30 x^{2} + 27$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

総和則では、 $3 x^{4} - 30 x^{2} + 27$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 30 x^{2}] + \frac{d}{d x} [27]$ です。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 30 x^{2}) + \frac{d}{d x} (27)$

ステップ 1.1.2

$\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x^{4}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ です。

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 30 x^{2}) + \frac{d}{d x} (27)$

ステップ 1.1.2.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 30 x^{2}) + \frac{d}{d x} (27)$

ステップ 1.1.2.3

$4$ に $3$ をかけます。

$f' (x) = 12 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 30 x^{2}) + \frac{d}{d x} (27)$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d x} [- 30 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

$- 30$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 30 x^{2}$ の微分係数は $- 30 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$f' (x) = 12 x^{3} - 30 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (27)$

ステップ 1.1.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 12 x^{3} - 30 (2 x) + \frac{d}{d x} (27)$

ステップ 1.1.3.3

$2$ に $- 30$ をかけます。

$f' (x) = 12 x^{3} - 60 x + \frac{d}{d x} (27)$

ステップ 1.1.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 1.1.4.1

$27$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $27$ の微分係数は $0$ です。

$f' (x) = 12 x^{3} - 60 x + 0$

ステップ 1.1.4.2

$12 x^{3} - 60 x$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = 12 x^{3} - 60 x$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $12 x^{3} - 60 x$ です。

$12 x^{3} - 60 x$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $12 x^{3} - 60 x = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$12 x^{3} - 60 x = 0$

ステップ 2.2

$12 x$ を $12 x^{3} - 60 x$ で因数分解します。

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ステップ 2.2.1

$12 x$ を $12 x^{3}$ で因数分解します。

$12 x (x^{2}) - 60 x = 0$

ステップ 2.2.2

$12 x$ を $- 60 x$ で因数分解します。

$12 x (x^{2}) + 12 x (- 5) = 0$

ステップ 2.2.3

$12 x$ を $12 x (x^{2}) + 12 x (- 5)$ で因数分解します。

$12 x (x^{2} - 5) = 0$

ステップ 2.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

$x^{2} - 5 = 0$

ステップ 2.4

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

ステップ 2.5

$x^{2} - 5$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.5.1

$x^{2} - 5$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} - 5 = 0$

ステップ 2.5.2

$x$ について $x^{2} - 5 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.5.2.1

方程式の両辺に $5$ を足します。

$x^{2} = 5$

ステップ 2.5.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{5}$

ステップ 2.5.2.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 2.5.2.3.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = \sqrt{5}$

ステップ 2.5.2.3.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - \sqrt{5}$

ステップ 2.5.2.3.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = \sqrt{5}, - \sqrt{5}$

ステップ 2.6

最終解は $12 x (x^{2} - 5) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, \sqrt{5}, - \sqrt{5}$

ステップ 3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 3.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $3 x^{4} - 30 x^{2} + 27$ の値を求めます。

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ステップ 4.1

$x = 0$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

$0$ を $x$ に代入します。

$3 {(0)}^{4} - 30 {(0)}^{2} + 27$

ステップ 4.1.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$3 \cdot 0 - 30 {(0)}^{2} + 27$

ステップ 4.1.2.1.2

$3$ に $0$ をかけます。

$0 - 30 {(0)}^{2} + 27$

ステップ 4.1.2.1.3

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$0 - 30 \cdot 0 + 27$

ステップ 4.1.2.1.4

$- 30$ に $0$ をかけます。

$0 + 0 + 27$

ステップ 4.1.2.2

数を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.2.1

$0$ と $0$ をたし算します。

$0 + 27$

ステップ 4.1.2.2.2

$0$ と $27$ をたし算します。

$27$

ステップ 4.2

$x = \sqrt{5}$ での値を求めます。

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ステップ 4.2.1

$\sqrt{5}$ を $x$ に代入します。

$3 {(\sqrt{5})}^{4} - 30 {(\sqrt{5})}^{2} + 27$

ステップ 4.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1.1

${\sqrt{5}}^{4}$ を $5^{2}$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{5}$ を $5^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$3 {(5^{\frac{1}{2}})}^{4} - 30 {(\sqrt{5})}^{2} + 27$

ステップ 4.2.2.1.1.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$3 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 4} - 30 {(\sqrt{5})}^{2} + 27$

ステップ 4.2.2.1.1.3

$\frac{1}{2}$ と $4$ をまとめます。

$3 \cdot 5^{\frac{4}{2}} - 30 {(\sqrt{5})}^{2} + 27$

ステップ 4.2.2.1.1.4

$4$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1.1.4.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$3 \cdot 5^{\frac{2 \cdot 2}{2}} - 30 {(\sqrt{5})}^{2} + 27$

ステップ 4.2.2.1.1.4.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1.1.4.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$3 \cdot 5^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} - 30 {(\sqrt{5})}^{2} + 27$

ステップ 4.2.2.1.1.4.2.2

共通因数を約分します。

$3 \cdot 5^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} - 30 {(\sqrt{5})}^{2} + 27$

ステップ 4.2.2.1.1.4.2.3

式を書き換えます。

$3 \cdot 5^{\frac{2}{1}} - 30 {(\sqrt{5})}^{2} + 27$

ステップ 4.2.2.1.1.4.2.4

$2$ を $1$ で割ります。

$3 \cdot 5^{2} - 30 {(\sqrt{5})}^{2} + 27$

ステップ 4.2.2.1.2

$5$ を $2$ 乗します。

$3 \cdot 25 - 30 {(\sqrt{5})}^{2} + 27$

ステップ 4.2.2.1.3

$3$ に $25$ をかけます。

$75 - 30 {(\sqrt{5})}^{2} + 27$

ステップ 4.2.2.1.4

${\sqrt{5}}^{2}$ を $5$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1.4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{5}$ を $5^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$75 - 30 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2} + 27$

ステップ 4.2.2.1.4.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$75 - 30 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 27$

ステップ 4.2.2.1.4.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$75 - 30 \cdot 5^{\frac{2}{2}} + 27$

ステップ 4.2.2.1.4.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1.4.4.1

共通因数を約分します。

$75 - 30 \cdot 5^{\frac{2}{2}} + 27$

ステップ 4.2.2.1.4.4.2

式を書き換えます。

$75 - 30 \cdot 5^{1} + 27$

ステップ 4.2.2.1.4.5

指数を求めます。

$75 - 30 \cdot 5 + 27$

ステップ 4.2.2.1.5

$- 30$ に $5$ をかけます。

$75 - 150 + 27$

ステップ 4.2.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.2.1

$75$ から $150$ を引きます。

$- 75 + 27$

ステップ 4.2.2.2.2

$- 75$ と $27$ をたし算します。

$- 48$

ステップ 4.3

$x = - \sqrt{5}$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

$- \sqrt{5}$ を $x$ に代入します。

$3 {(- \sqrt{5})}^{4} - 30 {(- \sqrt{5})}^{2} + 27$

ステップ 4.3.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1.1

積の法則を $- \sqrt{5}$ に当てはめます。

$3 ({(- 1)}^{4} {\sqrt{5}}^{4}) - 30 {(- \sqrt{5})}^{2} + 27$

ステップ 4.3.2.1.2

$- 1$ を $4$ 乗します。

$3 (1 {\sqrt{5}}^{4}) - 30 {(- \sqrt{5})}^{2} + 27$

ステップ 4.3.2.1.3

${\sqrt{5}}^{4}$ に $1$ をかけます。

$3 {\sqrt{5}}^{4} - 30 {(- \sqrt{5})}^{2} + 27$

ステップ 4.3.2.1.4

${\sqrt{5}}^{4}$ を $5^{2}$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1.4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{5}$ を $5^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$3 {(5^{\frac{1}{2}})}^{4} - 30 {(- \sqrt{5})}^{2} + 27$

ステップ 4.3.2.1.4.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$3 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 4} - 30 {(- \sqrt{5})}^{2} + 27$

ステップ 4.3.2.1.4.3

$\frac{1}{2}$ と $4$ をまとめます。

$3 \cdot 5^{\frac{4}{2}} - 30 {(- \sqrt{5})}^{2} + 27$

ステップ 4.3.2.1.4.4

$4$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1.4.4.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$3 \cdot 5^{\frac{2 \cdot 2}{2}} - 30 {(- \sqrt{5})}^{2} + 27$

ステップ 4.3.2.1.4.4.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1.4.4.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$3 \cdot 5^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} - 30 {(- \sqrt{5})}^{2} + 27$

ステップ 4.3.2.1.4.4.2.2

共通因数を約分します。

$3 \cdot 5^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} - 30 {(- \sqrt{5})}^{2} + 27$

ステップ 4.3.2.1.4.4.2.3

式を書き換えます。

$3 \cdot 5^{\frac{2}{1}} - 30 {(- \sqrt{5})}^{2} + 27$

ステップ 4.3.2.1.4.4.2.4

$2$ を $1$ で割ります。

$3 \cdot 5^{2} - 30 {(- \sqrt{5})}^{2} + 27$

ステップ 4.3.2.1.5

$5$ を $2$ 乗します。

$3 \cdot 25 - 30 {(- \sqrt{5})}^{2} + 27$

ステップ 4.3.2.1.6

$3$ に $25$ をかけます。

$75 - 30 {(- \sqrt{5})}^{2} + 27$

ステップ 4.3.2.1.7

積の法則を $- \sqrt{5}$ に当てはめます。

$75 - 30 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{5}}^{2}) + 27$

ステップ 4.3.2.1.8

$- 1$ を $2$ 乗します。

$75 - 30 (1 {\sqrt{5}}^{2}) + 27$

ステップ 4.3.2.1.9

${\sqrt{5}}^{2}$ に $1$ をかけます。

$75 - 30 {\sqrt{5}}^{2} + 27$

ステップ 4.3.2.1.10

${\sqrt{5}}^{2}$ を $5$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1.10.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{5}$ を $5^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$75 - 30 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2} + 27$

ステップ 4.3.2.1.10.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$75 - 30 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 27$

ステップ 4.3.2.1.10.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$75 - 30 \cdot 5^{\frac{2}{2}} + 27$

ステップ 4.3.2.1.10.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1.10.4.1

共通因数を約分します。

$75 - 30 \cdot 5^{\frac{2}{2}} + 27$

ステップ 4.3.2.1.10.4.2

式を書き換えます。

$75 - 30 \cdot 5^{1} + 27$

ステップ 4.3.2.1.10.5

指数を求めます。

$75 - 30 \cdot 5 + 27$

ステップ 4.3.2.1.11

$- 30$ に $5$ をかけます。

$75 - 150 + 27$

ステップ 4.3.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.2.1

$75$ から $150$ を引きます。

$- 75 + 27$

ステップ 4.3.2.2.2

$- 75$ と $27$ をたし算します。

$- 48$

ステップ 4.4

点のすべてを一覧にします。

$(0, 27), (\sqrt{5}, - 48), (- \sqrt{5}, - 48)$

ステップ 5

微分積分 例

微分積分例