微分積分例

$f (x) = 7 x^{3} - 6 x^{2} + 1$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

総和則では、 $7 x^{3} - 6 x^{2} + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [7 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{d}{d x} [7 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 1.1.2

$\frac{d}{d x} [7 x^{3}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

$7$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $7 x^{3}$ の微分係数は $7 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$7 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 1.1.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$7 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 1.1.2.3

$3$ に $7$ をかけます。

$21 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

$- 6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 6 x^{2}$ の微分係数は $- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$21 x^{2} - 6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 1.1.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$21 x^{2} - 6 (2 x) + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 1.1.3.3

$2$ に $- 6$ をかけます。

$21 x^{2} - 12 x + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 1.1.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 1.1.4.1

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$21 x^{2} - 12 x + 0$

ステップ 1.1.4.2

$21 x^{2} - 12 x$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = 21 x^{2} - 12 x$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $21 x^{2} - 12 x$ です。

$21 x^{2} - 12 x$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $21 x^{2} - 12 x = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$21 x^{2} - 12 x = 0$

ステップ 2.2

$3 x$ を $21 x^{2} - 12 x$ で因数分解します。

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ステップ 2.2.1

$3 x$ を $21 x^{2}$ で因数分解します。

$3 x (7 x) - 12 x = 0$

ステップ 2.2.2

$3 x$ を $- 12 x$ で因数分解します。

$3 x (7 x) + 3 x (- 4) = 0$

ステップ 2.2.3

$3 x$ を $3 x (7 x) + 3 x (- 4)$ で因数分解します。

$3 x (7 x - 4) = 0$

ステップ 2.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

$7 x - 4 = 0$

ステップ 2.4

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

ステップ 2.5

$7 x - 4$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.5.1

$7 x - 4$ が $0$ に等しいとします。

$7 x - 4 = 0$

ステップ 2.5.2

$x$ について $7 x - 4 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.5.2.1

方程式の両辺に $4$ を足します。

$7 x = 4$

ステップ 2.5.2.2

$7 x = 4$ の各項を $7$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.5.2.2.1

$7 x = 4$ の各項を $7$ で割ります。

$\frac{7 x}{7} = \frac{4}{7}$

ステップ 2.5.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.5.2.2.2.1

$7$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.5.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{7 x}{7} = \frac{4}{7}$

ステップ 2.5.2.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{4}{7}$

ステップ 2.6

最終解は $3 x (7 x - 4) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, \frac{4}{7}$

ステップ 3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 3.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $7 x^{3} - 6 x^{2} + 1$ の値を求めます。

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ステップ 4.1

$x = 0$ での値を求めます。

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ステップ 4.1.1

$0$ を $x$ に代入します。

$7 {(0)}^{3} - 6 {(0)}^{2} + 1$

ステップ 4.1.2

簡約します。

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ステップ 4.1.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.1.2.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$7 \cdot 0 - 6 {(0)}^{2} + 1$

ステップ 4.1.2.1.2

$7$ に $0$ をかけます。

$0 - 6 {(0)}^{2} + 1$

ステップ 4.1.2.1.3

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$0 - 6 \cdot 0 + 1$

ステップ 4.1.2.1.4

$- 6$ に $0$ をかけます。

$0 + 0 + 1$

ステップ 4.1.2.2

数を加えて簡約します。

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ステップ 4.1.2.2.1

$0$ と $0$ をたし算します。

$0 + 1$

ステップ 4.1.2.2.2

$0$ と $1$ をたし算します。

$1$

ステップ 4.2

$x = \frac{4}{7}$ での値を求めます。

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ステップ 4.2.1

$\frac{4}{7}$ を $x$ に代入します。

$7 {(\frac{4}{7})}^{3} - 6 {(\frac{4}{7})}^{2} + 1$

ステップ 4.2.2

簡約します。

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ステップ 4.2.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.2.2.1.1

積の法則を $\frac{4}{7}$ に当てはめます。

$7 \frac{4^{3}}{7^{3}} - 6 {(\frac{4}{7})}^{2} + 1$

ステップ 4.2.2.1.2

$4$ を $3$ 乗します。

$7 \frac{64}{7^{3}} - 6 {(\frac{4}{7})}^{2} + 1$

ステップ 4.2.2.1.3

$7$ を $3$ 乗します。

$7 (\frac{64}{343}) - 6 {(\frac{4}{7})}^{2} + 1$

ステップ 4.2.2.1.4

$7$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.2.1.4.1

$7$ を $343$ で因数分解します。

$7 \frac{64}{7 (49)} - 6 {(\frac{4}{7})}^{2} + 1$

ステップ 4.2.2.1.4.2

共通因数を約分します。

$7 \frac{64}{7 \cdot 49} - 6 {(\frac{4}{7})}^{2} + 1$

ステップ 4.2.2.1.4.3

式を書き換えます。

$\frac{64}{49} - 6 {(\frac{4}{7})}^{2} + 1$

ステップ 4.2.2.1.5

積の法則を $\frac{4}{7}$ に当てはめます。

$\frac{64}{49} - 6 \frac{4^{2}}{7^{2}} + 1$

ステップ 4.2.2.1.6

$4$ を $2$ 乗します。

$\frac{64}{49} - 6 \frac{16}{7^{2}} + 1$

ステップ 4.2.2.1.7

$7$ を $2$ 乗します。

$\frac{64}{49} - 6 (\frac{16}{49}) + 1$

ステップ 4.2.2.1.8

$- 6 (\frac{16}{49})$ を掛けます。

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ステップ 4.2.2.1.8.1

$- 6$ と $\frac{16}{49}$ をまとめます。

$\frac{64}{49} + \frac{- 6 \cdot 16}{49} + 1$

ステップ 4.2.2.1.8.2

$- 6$ に $16$ をかけます。

$\frac{64}{49} + \frac{- 96}{49} + 1$

ステップ 4.2.2.1.9

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{64}{49} - \frac{96}{49} + 1$

ステップ 4.2.2.2

分数をまとめます。

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ステップ 4.2.2.2.1

公分母の分子をまとめます。

$1 + \frac{64 - 96}{49}$

ステップ 4.2.2.2.2

式を簡約します。

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ステップ 4.2.2.2.2.1

$64$ から $96$ を引きます。

$1 + \frac{- 32}{49}$

ステップ 4.2.2.2.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$1 - \frac{32}{49}$

ステップ 4.2.2.2.2.3

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{49}{49} - \frac{32}{49}$

ステップ 4.2.2.2.2.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{49 - 32}{49}$

ステップ 4.2.2.2.2.5

$49$ から $32$ を引きます。

$\frac{17}{49}$

ステップ 4.3

点のすべてを一覧にします。

$(0, 1), (\frac{4}{7}, \frac{17}{49})$

ステップ 5

微分積分 例

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