微分積分例

$f (x) = x {(4 - x)}^{3}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

$f (x) = x$ および $g (x) = {(4 - x)}^{3}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$f' (x) = x \frac{d}{d x} ({(4 - x)}^{3}) + {(4 - x)}^{3} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 1.1.2

$f (x) = x^{3}$ および $g (x) = 4 - x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $4 - x$ とします。

$f' (x) = x (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (4 - x)) + {(4 - x)}^{3} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 1.1.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = x (3 u^{2} \frac{d}{d x} (4 - x)) + {(4 - x)}^{3} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 1.1.2.3

$u$ のすべての発生を $4 - x$ で置き換えます。

$f' (x) = x (3 {(4 - x)}^{2} \frac{d}{d x} (4 - x)) + {(4 - x)}^{3} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 1.1.3

微分します。

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ステップ 1.1.3.1

総和則では、 $4 - x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x]$ です。

$f' (x) = x (3 {(4 - x)}^{2} (\frac{d}{d x} (4) + \frac{d}{d x} (- x))) + {(4 - x)}^{3} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 1.1.3.2

$4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $4$ の微分係数は $0$ です。

$f' (x) = x (3 {(4 - x)}^{2} (0 + \frac{d}{d x} (- x))) + {(4 - x)}^{3} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 1.1.3.3

$0$ と $\frac{d}{d x} [- x]$ をたし算します。

$f' (x) = x (3 {(4 - x)}^{2} \frac{d}{d x} (- x)) + {(4 - x)}^{3} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 1.1.3.4

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f' (x) = x (3 {(4 - x)}^{2} (- \frac{d}{d x} x)) + {(4 - x)}^{3} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 1.1.3.5

$- 1$ に $3$ をかけます。

$f' (x) = x (- 3 {(4 - x)}^{2} \frac{d}{d x} x) + {(4 - x)}^{3} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 1.1.3.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = x (- 3 {(4 - x)}^{2} \cdot 1) + {(4 - x)}^{3} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 1.1.3.7

$- 3$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = x (- 3 {(4 - x)}^{2}) + {(4 - x)}^{3} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 1.1.3.8

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = x (- 3 {(4 - x)}^{2}) + {(4 - x)}^{3} \cdot 1$

ステップ 1.1.3.9

${(4 - x)}^{3}$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = x (- 3 {(4 - x)}^{2}) + {(4 - x)}^{3}$

ステップ 1.1.4

簡約します。

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ステップ 1.1.4.1

${(4 - x)}^{2}$ を $x (- 3 {(4 - x)}^{2}) + {(4 - x)}^{3}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.4.1.1

${(4 - x)}^{2}$ を $x (- 3 {(4 - x)}^{2})$ で因数分解します。

$f' (x) = {(4 - x)}^{2} (x \cdot (- 3)) + {(4 - x)}^{3}$

ステップ 1.1.4.1.2

${(4 - x)}^{2}$ を ${(4 - x)}^{3}$ で因数分解します。

$f' (x) = {(4 - x)}^{2} (x \cdot (- 3)) + {(4 - x)}^{2} (4 - x)$

ステップ 1.1.4.1.3

${(4 - x)}^{2}$ を ${(4 - x)}^{2} (x \cdot (- 3)) + {(4 - x)}^{2} (4 - x)$ で因数分解します。

$f' (x) = {(4 - x)}^{2} (x \cdot (- 3) + 4 - x)$

ステップ 1.1.4.2

項をまとめます。

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ステップ 1.1.4.2.1

$- 3$ を $x$ の左に移動させます。

$f' (x) = {(4 - x)}^{2} (- 3 \cdot x + 4 - x)$

ステップ 1.1.4.2.2

$- 3 x$ から $x$ を引きます。

$f' (x) = {(4 - x)}^{2} (- 4 x + 4)$

ステップ 1.1.4.3

${(4 - x)}^{2}$ を $(4 - x) (4 - x)$ に書き換えます。

$f' (x) = (4 - x) (4 - x) (- 4 x + 4)$

ステップ 1.1.4.4

分配法則（FOIL法）を使って $(4 - x) (4 - x)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.4.4.1

分配則を当てはめます。

$f' (x) = (4 (4 - x) - x (4 - x)) (- 4 x + 4)$

ステップ 1.1.4.4.2

分配則を当てはめます。

$f' (x) = (4 \cdot 4 + 4 (- x) - x (4 - x)) (- 4 x + 4)$

ステップ 1.1.4.4.3

分配則を当てはめます。

$f' (x) = (4 \cdot 4 + 4 (- x) - x \cdot 4 - x (- x)) (- 4 x + 4)$

ステップ 1.1.4.5

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 1.1.4.5.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.4.5.1.1

$4$ に $4$ をかけます。

$f' (x) = (16 + 4 (- x) - x \cdot 4 - x (- x)) (- 4 x + 4)$

ステップ 1.1.4.5.1.2

$- 1$ に $4$ をかけます。

$f' (x) = (16 - 4 x - x \cdot 4 - x (- x)) (- 4 x + 4)$

ステップ 1.1.4.5.1.3

$4$ に $- 1$ をかけます。

$f' (x) = (16 - 4 x - 4 x - x (- x)) (- 4 x + 4)$

ステップ 1.1.4.5.1.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$f' (x) = (16 - 4 x - 4 x - 1 \cdot (- 1 x \cdot x)) (- 4 x + 4)$

ステップ 1.1.4.5.1.5

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.4.5.1.5.1

$x$ を移動させます。

$f' (x) = (16 - 4 x - 4 x - 1 \cdot (- 1 (x \cdot x))) (- 4 x + 4)$

ステップ 1.1.4.5.1.5.2

$x$ に $x$ をかけます。

$f' (x) = (16 - 4 x - 4 x - 1 \cdot (- 1 x^{2})) (- 4 x + 4)$

ステップ 1.1.4.5.1.6

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$f' (x) = (16 - 4 x - 4 x + 1 x^{2}) (- 4 x + 4)$

ステップ 1.1.4.5.1.7

$x^{2}$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = (16 - 4 x - 4 x + x^{2}) (- 4 x + 4)$

ステップ 1.1.4.5.2

$- 4 x$ から $4 x$ を引きます。

$f' (x) = (16 - 8 x + x^{2}) (- 4 x + 4)$

ステップ 1.1.4.6

1番目の式の各項に2番目の式の各項を掛け、 $(16 - 8 x + x^{2}) (- 4 x + 4)$ を展開します。

$f' (x) = 16 (- 4 x) + 16 \cdot 4 - 8 x (- 4 x) - 8 x \cdot 4 + x^{2} (- 4 x) + x^{2} \cdot 4$

ステップ 1.1.4.7

各項を簡約します。

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ステップ 1.1.4.7.1

$- 4$ に $16$ をかけます。

$f' (x) = - 64 x + 16 \cdot 4 - 8 x (- 4 x) - 8 x \cdot 4 + x^{2} (- 4 x) + x^{2} \cdot 4$

ステップ 1.1.4.7.2

$16$ に $4$ をかけます。

$f' (x) = - 64 x + 64 - 8 x (- 4 x) - 8 x \cdot 4 + x^{2} (- 4 x) + x^{2} \cdot 4$

ステップ 1.1.4.7.3

積の可換性を利用して書き換えます。

$f' (x) = - 64 x + 64 - 8 \cdot (- 4 x \cdot x) - 8 x \cdot 4 + x^{2} (- 4 x) + x^{2} \cdot 4$

ステップ 1.1.4.7.4

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 1.1.4.7.4.1

$x$ を移動させます。

$f' (x) = - 64 x + 64 - 8 \cdot (- 4 (x \cdot x)) - 8 x \cdot 4 + x^{2} (- 4 x) + x^{2} \cdot 4$

ステップ 1.1.4.7.4.2

$x$ に $x$ をかけます。

$f' (x) = - 64 x + 64 - 8 \cdot (- 4 x^{2}) - 8 x \cdot 4 + x^{2} (- 4 x) + x^{2} \cdot 4$

ステップ 1.1.4.7.5

$- 8$ に $- 4$ をかけます。

$f' (x) = - 64 x + 64 + 32 x^{2} - 8 x \cdot 4 + x^{2} (- 4 x) + x^{2} \cdot 4$

ステップ 1.1.4.7.6

$4$ に $- 8$ をかけます。

$f' (x) = - 64 x + 64 + 32 x^{2} - 32 x + x^{2} (- 4 x) + x^{2} \cdot 4$

ステップ 1.1.4.7.7

積の可換性を利用して書き換えます。

$f' (x) = - 64 x + 64 + 32 x^{2} - 32 x - 4 x^{2} x + x^{2} \cdot 4$

ステップ 1.1.4.7.8

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 1.1.4.7.8.1

$x$ を移動させます。

$f' (x) = - 64 x + 64 + 32 x^{2} - 32 x - 4 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot 4$

ステップ 1.1.4.7.8.2

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

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ステップ 1.1.4.7.8.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$f' (x) = - 64 x + 64 + 32 x^{2} - 32 x - 4 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot 4$

ステップ 1.1.4.7.8.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f' (x) = - 64 x + 64 + 32 x^{2} - 32 x - 4 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot 4$

ステップ 1.1.4.7.8.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$f' (x) = - 64 x + 64 + 32 x^{2} - 32 x - 4 x^{3} + x^{2} \cdot 4$

ステップ 1.1.4.7.9

$4$ を $x^{2}$ の左に移動させます。

$f' (x) = - 64 x + 64 + 32 x^{2} - 32 x - 4 x^{3} + 4 x^{2}$

ステップ 1.1.4.8

$- 64 x$ から $32 x$ を引きます。

$f' (x) = - 96 x + 64 + 32 x^{2} - 4 x^{3} + 4 x^{2}$

ステップ 1.1.4.9

$32 x^{2}$ と $4 x^{2}$ をたし算します。

$f' (x) = - 96 x + 64 - 4 x^{3} + 36 x^{2}$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $- 96 x + 64 - 4 x^{3} + 36 x^{2}$ です。

$- 96 x + 64 - 4 x^{3} + 36 x^{2}$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- 96 x + 64 - 4 x^{3} + 36 x^{2} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$- 96 x + 64 - 4 x^{3} + 36 x^{2} = 0$

ステップ 2.2

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 2.2.1

$4$ を $- 96 x + 64 - 4 x^{3} + 36 x^{2}$ で因数分解します。

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ステップ 2.2.1.1

$4$ を $- 96 x$ で因数分解します。

$4 (- 24 x) + 64 - 4 x^{3} + 36 x^{2} = 0$

ステップ 2.2.1.2

$4$ を $64$ で因数分解します。

$4 (- 24 x) + 4 (16) - 4 x^{3} + 36 x^{2} = 0$

ステップ 2.2.1.3

$4$ を $- 4 x^{3}$ で因数分解します。

$4 (- 24 x) + 4 (16) + 4 (- x^{3}) + 36 x^{2} = 0$

ステップ 2.2.1.4

$4$ を $36 x^{2}$ で因数分解します。

$4 (- 24 x) + 4 (16) + 4 (- x^{3}) + 4 (9 x^{2}) = 0$

ステップ 2.2.1.5

$4$ を $4 (- 24 x) + 4 (16)$ で因数分解します。

$4 (- 24 x + 16) + 4 (- x^{3}) + 4 (9 x^{2}) = 0$

ステップ 2.2.1.6

$4$ を $4 (- 24 x + 16) + 4 (- x^{3})$ で因数分解します。

$4 (- 24 x + 16 - x^{3}) + 4 (9 x^{2}) = 0$

ステップ 2.2.1.7

$4$ を $4 (- 24 x + 16 - x^{3}) + 4 (9 x^{2})$ で因数分解します。

$4 (- 24 x + 16 - x^{3} + 9 x^{2}) = 0$

ステップ 2.2.2

項を並べ替えます。

$4 (- x^{3} + 9 x^{2} - 24 x + 16) = 0$

ステップ 2.2.3

因数分解。

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ステップ 2.2.3.1

有理根検定を用いて $- x^{3} + 9 x^{2} - 24 x + 16$ を因数分解します。

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ステップ 2.2.3.1.1

多項式関数が整数係数をもつならば、すべての有理数0は $\frac{p}{q}$ の形をもち、 $p$ は定数の因数、 $q$ は首位係数の因数です。

$p = \pm 1, \pm 16, \pm 2, \pm 8, \pm 4$

$q = \pm 1$

ステップ 2.2.3.1.2

$\pm \frac{p}{q}$ のすべての組み合わせを求めます。これらは、多項式関数の可能な根です。

$\pm 1, \pm 16, \pm 2, \pm 8, \pm 4$

ステップ 2.2.3.1.3

$1$ を代入し、式を簡約します。この場合、式は $0$ に等しいので、 $1$ は多項式の根です。

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ステップ 2.2.3.1.3.1

$1$ を多項式に代入します。

$- 1^{3} + 9 \cdot 1^{2} - 24 \cdot 1 + 16$

ステップ 2.2.3.1.3.2

$1$ を $3$ 乗します。

$- 1 \cdot 1 + 9 \cdot 1^{2} - 24 \cdot 1 + 16$

ステップ 2.2.3.1.3.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- 1 + 9 \cdot 1^{2} - 24 \cdot 1 + 16$

ステップ 2.2.3.1.3.4

$1$ を $2$ 乗します。

$- 1 + 9 \cdot 1 - 24 \cdot 1 + 16$

ステップ 2.2.3.1.3.5

$9$ に $1$ をかけます。

$- 1 + 9 - 24 \cdot 1 + 16$

ステップ 2.2.3.1.3.6

$- 1$ と $9$ をたし算します。

$8 - 24 \cdot 1 + 16$

ステップ 2.2.3.1.3.7

$- 24$ に $1$ をかけます。

$8 - 24 + 16$

ステップ 2.2.3.1.3.8

$8$ から $24$ を引きます。

$- 16 + 16$

ステップ 2.2.3.1.3.9

$- 16$ と $16$ をたし算します。

$0$

ステップ 2.2.3.1.4

$1$ は既知の根なので、多項式を $x - 1$ で割り、多項式の商を求めます。この多項式は他の根を求めるために利用できます。

$\frac{- x^{3} + 9 x^{2} - 24 x + 16}{x - 1}$

ステップ 2.2.3.1.5

$- x^{3} + 9 x^{2} - 24 x + 16$ を $x - 1$ で割ります。

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ステップ 2.2.3.1.5.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$x$

$1$

$x^{3}$

$9 x^{2}$

$24 x$

$16$

ステップ 2.2.3.1.5.2

被除数 $- x^{3}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

				-	$x^{2}$
	$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	-	$24 x$	+	$16$

ステップ 2.2.3.1.5.3

新しい商の項に除数を掛けます。

			-	$x^{2}$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	-	$24 x$	+	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$

ステップ 2.2.3.1.5.4

式は被除数から引く必要があるので、 $- x^{3} + x^{2}$ の符号をすべて変更します。

			-	$x^{2}$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	-	$24 x$	+	$16$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$

ステップ 2.2.3.1.5.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

			-	$x^{2}$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	-	$24 x$	+	$16$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$8 x^{2}$

ステップ 2.2.3.1.5.6

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

			-	$x^{2}$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	-	$24 x$	+	$16$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	-	$24 x$

ステップ 2.2.3.1.5.7

被除数 $8 x^{2}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

			-	$x^{2}$	+	$8 x$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	-	$24 x$	+	$16$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	-	$24 x$

ステップ 2.2.3.1.5.8

新しい商の項に除数を掛けます。

			-	$x^{2}$	+	$8 x$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	-	$24 x$	+	$16$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	-	$24 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$8 x$

ステップ 2.2.3.1.5.9

式は被除数から引く必要があるので、 $8 x^{2} - 8 x$ の符号をすべて変更します。

			-	$x^{2}$	+	$8 x$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	-	$24 x$	+	$16$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	-	$24 x$
					-	$8 x^{2}$	+	$8 x$

ステップ 2.2.3.1.5.10

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

			-	$x^{2}$	+	$8 x$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	-	$24 x$	+	$16$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	-	$24 x$
					-	$8 x^{2}$	+	$8 x$
							-	$16 x$

ステップ 2.2.3.1.5.11

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

			-	$x^{2}$	+	$8 x$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	-	$24 x$	+	$16$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	-	$24 x$
					-	$8 x^{2}$	+	$8 x$
							-	$16 x$	+	$16$

ステップ 2.2.3.1.5.12

被除数 $- 16 x$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

			-	$x^{2}$	+	$8 x$	-	$16$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	-	$24 x$	+	$16$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	-	$24 x$
					-	$8 x^{2}$	+	$8 x$
							-	$16 x$	+	$16$

ステップ 2.2.3.1.5.13

新しい商の項に除数を掛けます。

			-	$x^{2}$	+	$8 x$	-	$16$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	-	$24 x$	+	$16$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	-	$24 x$
					-	$8 x^{2}$	+	$8 x$
							-	$16 x$	+	$16$
							-	$16 x$	+	$16$

ステップ 2.2.3.1.5.14

式は被除数から引く必要があるので、 $- 16 x + 16$ の符号をすべて変更します。

			-	$x^{2}$	+	$8 x$	-	$16$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	-	$24 x$	+	$16$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	-	$24 x$
					-	$8 x^{2}$	+	$8 x$
							-	$16 x$	+	$16$
							+	$16 x$	-	$16$

ステップ 2.2.3.1.5.15

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

			-	$x^{2}$	+	$8 x$	-	$16$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	-	$24 x$	+	$16$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	-	$24 x$
					-	$8 x^{2}$	+	$8 x$
							-	$16 x$	+	$16$
							+	$16 x$	-	$16$
										$0$

ステップ 2.2.3.1.5.16

余りが $0$ なので、最終回答は商です。

$- x^{2} + 8 x - 16$

ステップ 2.2.3.1.6

$- x^{3} + 9 x^{2} - 24 x + 16$ を因数の集合として書き換えます。

$4 ((x - 1) (- x^{2} + 8 x - 16)) = 0$

ステップ 2.2.3.2

不要な括弧を削除します。

$4 (x - 1) (- x^{2} + 8 x - 16) = 0$

ステップ 2.2.4

因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.4.1

群による因数分解。

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ステップ 2.2.4.1.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = - 1 \cdot - 16 = 16$ で和が $b = 8$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 2.2.4.1.1.1

$8$ を $8 x$ で因数分解します。

$4 (x - 1) (- x^{2} + 8 (x) - 16) = 0$

ステップ 2.2.4.1.1.2

$8$ を $4$ プラス $4$ に書き換える

$4 (x - 1) (- x^{2} + (4 + 4) x - 16) = 0$

ステップ 2.2.4.1.1.3

分配則を当てはめます。

$4 (x - 1) (- x^{2} + 4 x + 4 x - 16) = 0$

ステップ 2.2.4.1.2

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 2.2.4.1.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$4 (x - 1) ((- x^{2} + 4 x) + 4 x - 16) = 0$

ステップ 2.2.4.1.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$4 (x - 1) (x (- x + 4) - 4 (- x + 4)) = 0$

ステップ 2.2.4.1.3

最大公約数 $- x + 4$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$4 (x - 1) ((- x + 4) (x - 4)) = 0$

ステップ 2.2.4.2

不要な括弧を削除します。

$4 (x - 1) (- x + 4) (x - 4) = 0$

ステップ 2.2.5

指数をまとめます。

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ステップ 2.2.5.1

$- 1$ を $- x$ で因数分解します。

$4 (x - 1) (- (x) + 4) (x - 4) = 0$

ステップ 2.2.5.2

$4$ を $- 1 (- 4)$ に書き換えます。

$4 (x - 1) (- (x) - 1 \cdot - 4) (x - 4) = 0$

ステップ 2.2.5.3

$- 1$ を $- (x) - 1 (- 4)$ で因数分解します。

$4 (x - 1) (- (x - 4)) (x - 4) = 0$

ステップ 2.2.5.4

$- (x - 4)$ を $- 1 (x - 4)$ に書き換えます。

$4 (x - 1) (- 1 (x - 4)) (x - 4) = 0$

ステップ 2.2.5.5

括弧を削除します。

$4 (x - 1) \cdot (- 1 (x - 4) (x - 4)) = 0$

ステップ 2.2.5.6

$x - 4$ を $1$ 乗します。

$4 (x - 1) \cdot (- 1 ((x - 4) (x - 4))) = 0$

ステップ 2.2.5.7

$x - 4$ を $1$ 乗します。

$4 (x - 1) \cdot (- 1 ((x - 4) (x - 4))) = 0$

ステップ 2.2.5.8

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$4 (x - 1) \cdot (- 1 {(x - 4)}^{1 + 1}) = 0$

ステップ 2.2.5.9

$1$ と $1$ をたし算します。

$4 (x - 1) \cdot (- 1 {(x - 4)}^{2}) = 0$

ステップ 2.2.5.10

$- 1$ に $4$ をかけます。

$- 4 (x - 1) {(x - 4)}^{2} = 0$

ステップ 2.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x - 1 = 0$

${(x - 4)}^{2} = 0$

ステップ 2.4

$x - 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.4.1

$x - 1$ が $0$ に等しいとします。

$x - 1 = 0$

ステップ 2.4.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$x = 1$

ステップ 2.5

${(x - 4)}^{2}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.5.1

${(x - 4)}^{2}$ が $0$ に等しいとします。

${(x - 4)}^{2} = 0$

ステップ 2.5.2

$x$ について ${(x - 4)}^{2} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.5.2.1

$x - 4$ が $0$ に等しいとします。

$x - 4 = 0$

ステップ 2.5.2.2

方程式の両辺に $4$ を足します。

$x = 4$

ステップ 2.6

最終解は $- 4 (x - 1) {(x - 4)}^{2} = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 1, 4$

ステップ 3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 3.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $x {(4 - x)}^{3}$ の値を求めます。

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ステップ 4.1

$x = 1$ での値を求めます。

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ステップ 4.1.1

$1$ を $x$ に代入します。

$(1) {(4 - (1))}^{3}$

ステップ 4.1.2

簡約します。

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ステップ 4.1.2.1

${(4 - (1))}^{3}$ に $1$ をかけます。

${(4 - (1))}^{3}$

ステップ 4.1.2.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

${(4 - 1)}^{3}$

ステップ 4.1.2.3

$4$ から $1$ を引きます。

$3^{3}$

ステップ 4.1.2.4

$3$ を $3$ 乗します。

$27$

ステップ 4.2

$x = 4$ での値を求めます。

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ステップ 4.2.1

$4$ を $x$ に代入します。

$(4) {(4 - (4))}^{3}$

ステップ 4.2.2

簡約します。

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ステップ 4.2.2.1

$- 1$ に $4$ をかけます。

$4 {(4 - 4)}^{3}$

ステップ 4.2.2.2

$4$ から $4$ を引きます。

$4 \cdot 0^{3}$

ステップ 4.2.2.3

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$4 \cdot 0$

ステップ 4.2.2.4

$4$ に $0$ をかけます。

$0$

ステップ 4.3

点のすべてを一覧にします。

$(1, 27), (4, 0)$

ステップ 5

微分積分 例

微分積分例