微分積分例

$f (x) = \frac{2 x}{\sqrt{x - 1}}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

定数倍の公式を使って微分します。

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ステップ 1.1.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x - 1}$ を ${(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{2 x}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}}})$

ステップ 1.1.1.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{2 x}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}]$ です。

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\frac{x}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}}})$

ステップ 1.1.2

$f (x) = x$ および $g (x) = {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$f' (x) = 2 (\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{{({(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

ステップ 1.1.3

${({(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 1.1.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f' (x) = 2 (\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

ステップ 1.1.3.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.3.2.1

共通因数を約分します。

$f' (x) = 2 (\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

ステップ 1.1.3.2.2

式を書き換えます。

$f' (x) = 2 (\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{x - 1})$

ステップ 1.1.4

簡約します。

$f' (x) = 2 (\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{x - 1})$

ステップ 1.1.5

べき乗則を使って微分します。

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ステップ 1.1.5.1

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 2 (\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{x - 1})$

ステップ 1.1.5.2

${(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = 2 (\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{x - 1})$

ステップ 1.1.6

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = x - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1.6.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x - 1$ とします。

$f' (x) = 2 (\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x - 1))}{x - 1})$

ステップ 1.1.6.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 2 (\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x - 1))}{x - 1})$

ステップ 1.1.6.3

$u$ のすべての発生を $x - 1$ で置き換えます。

$f' (x) = 2 (\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x - 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x - 1))}{x - 1})$

ステップ 1.1.7

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$f' (x) = 2 (\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x - 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x - 1))}{x - 1})$

ステップ 1.1.8

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$f' (x) = 2 (\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x - 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x - 1))}{x - 1})$

ステップ 1.1.9

公分母の分子をまとめます。

$f' (x) = 2 (\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x - 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x - 1))}{x - 1})$

ステップ 1.1.10

分子を簡約します。

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ステップ 1.1.10.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$f' (x) = 2 (\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x - 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x - 1))}{x - 1})$

ステップ 1.1.10.2

$1$ から $2$ を引きます。

$f' (x) = 2 (\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x - 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (x - 1))}{x - 1})$

ステップ 1.1.11

分数をまとめます。

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ステップ 1.1.11.1

分数の前に負数を移動させます。

$f' (x) = 2 (\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x - 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x - 1))}{x - 1})$

ステップ 1.1.11.2

$\frac{1}{2}$ と ${(x - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$f' (x) = 2 (\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{{(x - 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x - 1))}{x - 1})$

ステップ 1.1.11.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(x - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$f' (x) = 2 (\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x - 1))}{x - 1})$

ステップ 1.1.11.4

$\frac{1}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ と $x$ をまとめます。

$f' (x) = 2 (\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x - 1)}{x - 1})$

ステップ 1.1.12

総和則では、 $x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$f' (x) = 2 (\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1))}{x - 1})$

ステップ 1.1.13

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 2 (\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (1 + \frac{d}{d x} (- 1))}{x - 1})$

ステップ 1.1.14

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$f' (x) = 2 (\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (1 + 0)}{x - 1})$

ステップ 1.1.15

式を簡約します。

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ステップ 1.1.15.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = 2 (\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1}{x - 1})$

ステップ 1.1.15.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = 2 (\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x - 1})$

ステップ 1.1.16

${(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ を掛けます。

$f' (x) = 2 (\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x - 1})$

ステップ 1.1.17

${(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ と $\frac{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$f' (x) = 2 (\frac{\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x - 1})$

ステップ 1.1.18

公分母の分子をまとめます。

$f' (x) = 2 (\frac{\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}) - x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x - 1})$

ステップ 1.1.19

指数を足して ${(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ に ${(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ を掛けます。

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ステップ 1.1.19.1

${(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ を移動させます。

$f' (x) = 2 (\frac{\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2 - x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x - 1})$

ステップ 1.1.19.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f' (x) = 2 (\frac{\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2 - x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x - 1})$

ステップ 1.1.19.3

公分母の分子をまとめます。

$f' (x) = 2 (\frac{\frac{{(x - 1)}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2 - x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x - 1})$

ステップ 1.1.19.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$f' (x) = 2 (\frac{\frac{{(x - 1)}^{\frac{2}{2}} \cdot 2 - x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x - 1})$

ステップ 1.1.19.5

$2$ を $2$ で割ります。

$f' (x) = 2 (\frac{\frac{(x - 1) \cdot 2 - x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x - 1})$

ステップ 1.1.20

${(x - 1)}^{1} \cdot 2$ を簡約します。

$f' (x) = 2 (\frac{\frac{(x - 1) \cdot 2 - x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x - 1})$

ステップ 1.1.21

$2$ を $x - 1$ の左に移動させます。

$f' (x) = 2 (\frac{\frac{2 \cdot (x - 1) - x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x - 1})$

ステップ 1.1.22

$\frac{\frac{2 (x - 1) - x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x - 1}$ を積として書き換えます。

$f' (x) = 2 (\frac{2 (x - 1) - x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x - 1})$

ステップ 1.1.23

$\frac{2 (x - 1) - x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ に $\frac{1}{x - 1}$ をかけます。

$f' (x) = 2 (\frac{2 (x - 1) - x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} (x - 1)})$

ステップ 1.1.24

$x - 1$ を $1$ 乗します。

$f' (x) = 2 (\frac{2 (x - 1) - x}{2 ((x - 1) {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})})$

ステップ 1.1.25

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f' (x) = 2 (\frac{2 (x - 1) - x}{2 {(x - 1)}^{1 + \frac{1}{2}}})$

ステップ 1.1.26

式を簡約します。

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ステップ 1.1.26.1

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$f' (x) = 2 (\frac{2 (x - 1) - x}{2 {(x - 1)}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}})$

ステップ 1.1.26.2

公分母の分子をまとめます。

$f' (x) = 2 (\frac{2 (x - 1) - x}{2 {(x - 1)}^{\frac{2 + 1}{2}}})$

ステップ 1.1.26.3

$2$ と $1$ をたし算します。

$f' (x) = 2 (\frac{2 (x - 1) - x}{2 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}}})$

ステップ 1.1.27

$2$ と $\frac{2 (x - 1) - x}{2 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}}}$ をまとめます。

$f' (x) = \frac{2 (2 (x - 1) - x)}{2 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 1.1.28

共通因数を約分します。

$f' (x) = \frac{2 (2 (x - 1) - x)}{2 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 1.1.29

式を書き換えます。

$f' (x) = \frac{2 (x - 1) - x}{{(x - 1)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 1.1.30

簡約します。

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ステップ 1.1.30.1

分配則を当てはめます。

$f' (x) = \frac{2 x + 2 \cdot - 1 - x}{{(x - 1)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 1.1.30.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.30.2.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$f' (x) = \frac{2 x - 2 - x}{{(x - 1)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 1.1.30.2.2

$2 x$ から $x$ を引きます。

$f' (x) = \frac{x - 2}{{(x - 1)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $\frac{x - 2}{{(x - 1)}^{\frac{3}{2}}}$ です。

$\frac{x - 2}{{(x - 1)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{x - 2}{{(x - 1)}^{\frac{3}{2}}} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$\frac{x - 2}{{(x - 1)}^{\frac{3}{2}}} = 0$

ステップ 2.2

分子を0に等しくします。

$x - 2 = 0$

ステップ 2.3

方程式の両辺に $2$ を足します。

$x = 2$

ステップ 3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 3.1

法則 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ を当てはめ、累乗法を根で書き換えます。

$\frac{x - 2}{\sqrt{{(x - 1)}^{3}}}$

ステップ 3.2

$\frac{x - 2}{\sqrt{{(x - 1)}^{3}}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$\sqrt{{(x - 1)}^{3}} = 0$

ステップ 3.3

$x$ について解きます。

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ステップ 3.3.1

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を2乗します。

${\sqrt{{(x - 1)}^{3}}}^{2} = 0^{2}$

ステップ 3.3.2

方程式の各辺を簡約します。

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ステップ 3.3.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{{(x - 1)}^{3}}$ を ${(x - 1)}^{\frac{3}{2}}$ に書き換えます。

${({(x - 1)}^{\frac{3}{2}})}^{2} = 0^{2}$

ステップ 3.3.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.2.1

${({(x - 1)}^{\frac{3}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 3.3.2.2.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

${(x - 1)}^{\frac{3}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

ステップ 3.3.2.2.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.2.2.1.2.1

共通因数を約分します。

${(x - 1)}^{\frac{3}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

ステップ 3.3.2.2.1.2.2

式を書き換えます。

${(x - 1)}^{3} = 0^{2}$

ステップ 3.3.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.3.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

${(x - 1)}^{3} = 0$

ステップ 3.3.3

$x$ について解きます。

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ステップ 3.3.3.1

$x - 1$ が $0$ に等しいとします。

$x - 1 = 0$

ステップ 3.3.3.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$x = 1$

ステップ 3.4

$\sqrt{{(x - 1)}^{3}}$ の被開数を $0$ より小さいとして、式が未定義である場所を求めます。

${(x - 1)}^{3} < 0$

ステップ 3.5

$x$ について解きます。

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ステップ 3.5.1

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt[3]{{(x - 1)}^{3}} < \sqrt[3]{0}$

ステップ 3.5.2

方程式を簡約します。

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ステップ 3.5.2.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.1.1

累乗根の下から項を取り出します。

$x - 1 < \sqrt[3]{0}$

ステップ 3.5.2.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.2.1

$\sqrt[3]{0}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.2.1.1

$0$ を $0^{3}$ に書き換えます。

$x - 1 < \sqrt[3]{0^{3}}$

ステップ 3.5.2.2.1.2

累乗根の下から項を取り出します。

$x - 1 < 0$

ステップ 3.5.3

不等式の両辺に $1$ を足します。

$x < 1$

ステップ 3.6

分母が $0$ に等しい、平方根の引数が $0$ より小さい、または対数の引数が $0$ 以下の場合、方程式は未定義です。

$x \leq 1$

$(- \infty, 1]$

$x \leq 1$

$(- \infty, 1]$

ステップ 4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $\frac{2 x}{\sqrt{x - 1}}$ の値を求めます。

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ステップ 4.1

$x = 2$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

$2$ を $x$ に代入します。

$\frac{2 (2)}{\sqrt{(2) - 1}}$

ステップ 4.1.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{4}{\sqrt{2 - 1}}$

ステップ 4.1.2.2

分母を簡約します。

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ステップ 4.1.2.2.1

$2$ から $1$ を引きます。

$\frac{4}{\sqrt{1}}$

ステップ 4.1.2.2.2

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$\frac{4}{1}$

ステップ 4.1.2.3

$4$ を $1$ で割ります。

$4$

ステップ 4.2

$x = 1$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

$1$ を $x$ に代入します。

$\frac{2 (1)}{\sqrt{(1) - 1}}$

ステップ 4.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1

括弧を削除します。

$\frac{2 (1)}{\sqrt{1 - 1}}$

ステップ 4.2.2.2

$1$ から $1$ を引きます。

$\frac{2 (1)}{\sqrt{0}}$

ステップ 4.2.2.3

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$\frac{2 (1)}{\sqrt{0^{2}}}$

ステップ 4.2.2.4

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{2 (1)}{0}$

ステップ 4.2.2.5

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

ステップ 4.3

点のすべてを一覧にします。

$(2, 4)$

ステップ 5

微分積分 例

微分積分例