微分積分例

$f (x) = {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

$f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ および $g (x) = x^{2} - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2} - 1$ とします。

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{3}}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)$

ステップ 1.1.1.2

$n = \frac{1}{3}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = \frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)$

ステップ 1.1.1.3

$u$ のすべての発生を $x^{2} - 1$ で置き換えます。

$f' (x) = \frac{1}{3} \cdot {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)$

ステップ 1.1.2

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$f' (x) = \frac{1}{3} \cdot {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)$

ステップ 1.1.3

$- 1$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$f' (x) = \frac{1}{3} \cdot {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)$

ステップ 1.1.4

公分母の分子をまとめます。

$f' (x) = \frac{1}{3} \cdot {(x^{2} - 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)$

ステップ 1.1.5

分子を簡約します。

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ステップ 1.1.5.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$f' (x) = \frac{1}{3} \cdot {(x^{2} - 1)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)$

ステップ 1.1.5.2

$1$ から $3$ を引きます。

$f' (x) = \frac{1}{3} \cdot {(x^{2} - 1)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)$

ステップ 1.1.6

分数をまとめます。

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ステップ 1.1.6.1

分数の前に負数を移動させます。

$f' (x) = \frac{1}{3} \cdot {(x^{2} - 1)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)$

ステップ 1.1.6.2

$\frac{1}{3}$ と ${(x^{2} - 1)}^{- \frac{2}{3}}$ をまとめます。

$f' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)$

ステップ 1.1.6.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(x^{2} - 1)}^{- \frac{2}{3}}$ を分母に移動させます。

$f' (x) = \frac{1}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)$

ステップ 1.1.7

総和則では、 $x^{2} - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$f' (x) = \frac{1}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1))$

ステップ 1.1.8

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = \frac{1}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (2 x + \frac{d}{d x} (- 1))$

ステップ 1.1.9

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$f' (x) = \frac{1}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (2 x + 0)$

ステップ 1.1.10

分数をまとめます。

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ステップ 1.1.10.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = \frac{1}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (2 x)$

ステップ 1.1.10.2

$2$ と $\frac{1}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ をまとめます。

$f' (x) = \frac{2}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}} \cdot x$

ステップ 1.1.10.3

$\frac{2}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ と $x$ をまとめます。

$f' (x) = \frac{2 x}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $\frac{2 x}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ です。

$\frac{2 x}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{2 x}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$\frac{2 x}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}} = 0$

ステップ 2.2

分子を0に等しくします。

$2 x = 0$

ステップ 2.3

$2 x = 0$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.3.1

$2 x = 0$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

ステップ 2.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.3.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

ステップ 2.3.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{0}{2}$

ステップ 2.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.3.3.1

$0$ を $2$ で割ります。

$x = 0$

ステップ 3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 3.1

法則 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ を当てはめ、累乗法を根で書き換えます。

$\frac{2 x}{3 \sqrt[3]{{(x^{2} - 1)}^{2}}}$

ステップ 3.2

$\frac{2 x}{3 \sqrt[3]{{(x^{2} - 1)}^{2}}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$3 \sqrt[3]{{(x^{2} - 1)}^{2}} = 0$

ステップ 3.3

$x$ について解きます。

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ステップ 3.3.1

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を3乗します。

${(3 \sqrt[3]{{(x^{2} - 1)}^{2}})}^{3} = 0^{3}$

ステップ 3.3.2

方程式の各辺を簡約します。

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ステップ 3.3.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{{(x^{2} - 1)}^{2}}$ を ${(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}$ に書き換えます。

${(3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

ステップ 3.3.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.2.1

${(3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{3}$ を簡約します。

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ステップ 3.3.2.2.1.1

積の法則を $3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}$ に当てはめます。

$3^{3} {({(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

ステップ 3.3.2.2.1.2

$3$ を $3$ 乗します。

$27 {({(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

ステップ 3.3.2.2.1.3

${({(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{3}$ の指数を掛けます。

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ステップ 3.3.2.2.1.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$27 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

ステップ 3.3.2.2.1.3.2

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.2.1.3.2.1

共通因数を約分します。

$27 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

ステップ 3.3.2.2.1.3.2.2

式を書き換えます。

$27 {(x^{2} - 1)}^{2} = 0^{3}$

ステップ 3.3.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.3.2.3.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$27 {(x^{2} - 1)}^{2} = 0$

ステップ 3.3.3

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.1

方程式の左辺を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.1.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$27 {(x^{2} - 1^{2})}^{2} = 0$

ステップ 3.3.3.1.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 1$ です。

$27 {((x + 1) (x - 1))}^{2} = 0$

ステップ 3.3.3.1.3

因数分解。

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ステップ 3.3.3.1.3.1

積の法則を $(x + 1) (x - 1)$ に当てはめます。

$27 ({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}) = 0$

ステップ 3.3.3.1.3.2

不要な括弧を削除します。

$27 {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} = 0$

ステップ 3.3.3.2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

${(x + 1)}^{2} = 0$

${(x - 1)}^{2} = 0$

ステップ 3.3.3.3

${(x + 1)}^{2}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.3.1

${(x + 1)}^{2}$ が $0$ に等しいとします。

${(x + 1)}^{2} = 0$

ステップ 3.3.3.3.2

$x$ について ${(x + 1)}^{2} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.3.2.1

$x + 1$ が $0$ に等しいとします。

$x + 1 = 0$

ステップ 3.3.3.3.2.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$x = - 1$

ステップ 3.3.3.4

${(x - 1)}^{2}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 3.3.3.4.1

${(x - 1)}^{2}$ が $0$ に等しいとします。

${(x - 1)}^{2} = 0$

ステップ 3.3.3.4.2

$x$ について ${(x - 1)}^{2} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.4.2.1

$x - 1$ が $0$ に等しいとします。

$x - 1 = 0$

ステップ 3.3.3.4.2.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$x = 1$

ステップ 3.3.3.5

最終解は $27 {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} = 0$ を真にするすべての値です。

$x = - 1, 1$

ステップ 3.4

分母が $0$ に等しい、平方根の引数が $0$ より小さい、または対数の引数が $0$ 以下の場合、方程式は未定義です。

$x = - 1, x = 1$

ステップ 4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}$ の値を求めます。

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ステップ 4.1

$x = 0$ での値を求めます。

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ステップ 4.1.1

$0$ を $x$ に代入します。

${({(0)}^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}$

ステップ 4.1.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

${(0 - 1)}^{\frac{1}{3}}$

ステップ 4.1.2.1.2

$0$ から $1$ を引きます。

${(- 1)}^{\frac{1}{3}}$

ステップ 4.1.2.1.3

$- 1$ を ${(- 1)}^{3}$ に書き換えます。

${({(- 1)}^{3})}^{\frac{1}{3}}$

ステップ 4.1.2.1.4

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

${(- 1)}^{3 (\frac{1}{3})}$

ステップ 4.1.2.2

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.2.1

共通因数を約分します。

${(- 1)}^{3 (\frac{1}{3})}$

ステップ 4.1.2.2.2

式を書き換えます。

${(- 1)}^{1}$

ステップ 4.1.2.3

指数を求めます。

$- 1$

ステップ 4.2

$x = - 1$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

$- 1$ を $x$ に代入します。

${({(- 1)}^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}$

ステップ 4.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1.1

$- 1$ を $2$ 乗します。

${(1 - 1)}^{\frac{1}{3}}$

ステップ 4.2.2.1.2

$1$ から $1$ を引きます。

$0^{\frac{1}{3}}$

ステップ 4.2.2.1.3

$0$ を $0^{3}$ に書き換えます。

${(0^{3})}^{\frac{1}{3}}$

ステップ 4.2.2.1.4

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$0^{3 (\frac{1}{3})}$

ステップ 4.2.2.2

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.2.1

共通因数を約分します。

$0^{3 (\frac{1}{3})}$

ステップ 4.2.2.2.2

式を書き換えます。

$0^{1}$

ステップ 4.2.2.3

指数を求めます。

$0$

ステップ 4.3

$x = 1$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

$1$ を $x$ に代入します。

${({(1)}^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}$

ステップ 4.3.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

${(1 - 1)}^{\frac{1}{3}}$

ステップ 4.3.2.1.2

$1$ から $1$ を引きます。

$0^{\frac{1}{3}}$

ステップ 4.3.2.1.3

$0$ を $0^{3}$ に書き換えます。

${(0^{3})}^{\frac{1}{3}}$

ステップ 4.3.2.1.4

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$0^{3 (\frac{1}{3})}$

ステップ 4.3.2.2

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.2.1

共通因数を約分します。

$0^{3 (\frac{1}{3})}$

ステップ 4.3.2.2.2

式を書き換えます。

$0^{1}$

ステップ 4.3.2.3

指数を求めます。

$0$

ステップ 4.4

点のすべてを一覧にします。

$(0, - 1), (- 1, 0), (1, 0)$

ステップ 5

微分積分 例

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