微分積分例

$f (x) = \frac{x}{x^{2} - 4}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

$f (x) = x$ および $g (x) = x^{2} - 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 4) \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

ステップ 1.1.2

微分します。

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ステップ 1.1.2.1

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 4) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.2

$x^{2} - 4$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = \frac{x^{2} - 4 - x \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.3

総和則では、 $x^{2} - 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ です。

$f' (x) = \frac{x^{2} - 4 - x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4))}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = \frac{x^{2} - 4 - x (2 x + \frac{d}{d x} (- 4))}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.5

$- 4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 4$ の微分係数は $0$ です。

$f' (x) = \frac{x^{2} - 4 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.6

式を簡約します。

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ステップ 1.1.2.6.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = \frac{x^{2} - 4 - x (2 x)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.6.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$f' (x) = \frac{x^{2} - 4 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

ステップ 1.1.3

$x$ を $1$ 乗します。

$f' (x) = \frac{x^{2} - 4 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

ステップ 1.1.4

$x$ を $1$ 乗します。

$f' (x) = \frac{x^{2} - 4 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

ステップ 1.1.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f' (x) = \frac{x^{2} - 4 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

ステップ 1.1.6

$1$ と $1$ をたし算します。

$f' (x) = \frac{x^{2} - 4 - 2 x^{2}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

ステップ 1.1.7

$x^{2}$ から $2 x^{2}$ を引きます。

$f' (x) = \frac{- x^{2} - 4}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $\frac{- x^{2} - 4}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$ です。

$\frac{- x^{2} - 4}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{- x^{2} - 4}{{(x^{2} - 4)}^{2}} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$\frac{- x^{2} - 4}{{(x^{2} - 4)}^{2}} = 0$

ステップ 2.2

分子を0に等しくします。

$- x^{2} - 4 = 0$

ステップ 2.3

$x$ について方程式を解きます。

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ステップ 2.3.1

方程式の両辺に $4$ を足します。

$- x^{2} = 4$

ステップ 2.3.2

$- x^{2} = 4$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.3.2.1

$- x^{2} = 4$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{4}{- 1}$

ステップ 2.3.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.3.2.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{4}{- 1}$

ステップ 2.3.2.2.2

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$x^{2} = \frac{4}{- 1}$

ステップ 2.3.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.3.2.3.1

$4$ を $- 1$ で割ります。

$x^{2} = - 4$

ステップ 2.3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 4}$

ステップ 2.3.4

$\pm \sqrt{- 4}$ を簡約します。

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ステップ 2.3.4.1

$- 4$ を $- 1 (4)$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{- 1 (4)}$

ステップ 2.3.4.2

$\sqrt{- 1 (4)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$

ステップ 2.3.4.3

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \pm i \cdot \sqrt{4}$

ステップ 2.3.4.4

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}$

ステップ 2.3.4.5

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm i \cdot 2$

ステップ 2.3.4.6

$2$ を $i$ の左に移動させます。

$x = \pm 2 i$

ステップ 2.3.5

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 2.3.5.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = 2 i$

ステップ 2.3.5.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - 2 i$

ステップ 2.3.5.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = 2 i, - 2 i$

ステップ 3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 3.1

$\frac{- x^{2} - 4}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

${(x^{2} - 4)}^{2} = 0$

ステップ 3.2

$x$ について解きます。

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ステップ 3.2.1

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 3.2.1.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

${(x^{2} - 2^{2})}^{2} = 0$

ステップ 3.2.1.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 2$ です。

${((x + 2) (x - 2))}^{2} = 0$

ステップ 3.2.1.3

積の法則を $(x + 2) (x - 2)$ に当てはめます。

${(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} = 0$

ステップ 3.2.2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

${(x + 2)}^{2} = 0$

${(x - 2)}^{2} = 0$

ステップ 3.2.3

${(x + 2)}^{2}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 3.2.3.1

${(x + 2)}^{2}$ が $0$ に等しいとします。

${(x + 2)}^{2} = 0$

ステップ 3.2.3.2

$x$ について ${(x + 2)}^{2} = 0$ を解きます。

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ステップ 3.2.3.2.1

$x + 2$ が $0$ に等しいとします。

$x + 2 = 0$

ステップ 3.2.3.2.2

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$x = - 2$

ステップ 3.2.4

${(x - 2)}^{2}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 3.2.4.1

${(x - 2)}^{2}$ が $0$ に等しいとします。

${(x - 2)}^{2} = 0$

ステップ 3.2.4.2

$x$ について ${(x - 2)}^{2} = 0$ を解きます。

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ステップ 3.2.4.2.1

$x - 2$ が $0$ に等しいとします。

$x - 2 = 0$

ステップ 3.2.4.2.2

方程式の両辺に $2$ を足します。

$x = 2$

ステップ 3.2.5

最終解は ${(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} = 0$ を真にするすべての値です。

$x = - 2, 2$

ステップ 3.3

分母が $0$ に等しい、平方根の引数が $0$ より小さい、または対数の引数が $0$ 以下の場合、方程式は未定義です。

$x = - 2, x = 2$

ステップ 4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $\frac{x}{x^{2} - 4}$ の値を求めます。

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ステップ 4.1

$x = - 2$ での値を求めます。

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ステップ 4.1.1

$- 2$ を $x$ に代入します。

$\frac{- 2}{{(- 2)}^{2} - 4}$

ステップ 4.1.2

簡約します。

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ステップ 4.1.2.1

$- 2$ を $2$ 乗します。

$\frac{- 2}{4 - 4}$

ステップ 4.1.2.2

$4$ から $4$ を引きます。

$\frac{- 2}{0}$

ステップ 4.1.2.3

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

ステップ 4.2

$x = 2$ での値を求めます。

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ステップ 4.2.1

$2$ を $x$ に代入します。

$\frac{2}{{(2)}^{2} - 4}$

ステップ 4.2.2

簡約します。

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ステップ 4.2.2.1

$2$ を $2$ 乗します。

$\frac{2}{4 - 4}$

ステップ 4.2.2.2

$4$ から $4$ を引きます。

$\frac{2}{0}$

ステップ 4.2.2.3

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

ステップ 5

微分係数が $0$ または未定義であるという、元の問題の定義域に $x$ の値はありません。

臨界点が見つかりません

微分積分 例

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