微分積分例

$f (x) = \sqrt[3]{x^{2} - 2 x}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{x^{2} - 2 x}$ を ${(x^{2} - 2 x)}^{\frac{1}{3}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} - 2 x)}^{\frac{1}{3}}]$

ステップ 1.1.2

$f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ および $g (x) = x^{2} - 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2} - 2 x$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]$

ステップ 1.1.2.2

$n = \frac{1}{3}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]$

ステップ 1.1.2.3

$u$ のすべての発生を $x^{2} - 2 x$ で置き換えます。

$\frac{1}{3} {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]$

ステップ 1.1.3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$\frac{1}{3} {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]$

ステップ 1.1.4

$- 1$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$\frac{1}{3} {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]$

ステップ 1.1.5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{3} {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]$

ステップ 1.1.6

分子を簡約します。

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ステップ 1.1.6.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$\frac{1}{3} {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]$

ステップ 1.1.6.2

$1$ から $3$ を引きます。

$\frac{1}{3} {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]$

ステップ 1.1.7

分数をまとめます。

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ステップ 1.1.7.1

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{3} {(x^{2} - 2 x)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]$

ステップ 1.1.7.2

$\frac{1}{3}$ と ${(x^{2} - 2 x)}^{- \frac{2}{3}}$ をまとめます。

$\frac{{(x^{2} - 2 x)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]$

ステップ 1.1.7.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(x^{2} - 2 x)}^{- \frac{2}{3}}$ を分母に移動させます。

$\frac{1}{3 {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]$

ステップ 1.1.8

総和則では、 $x^{2} - 2 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ です。

$\frac{1}{3 {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

ステップ 1.1.9

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{3 {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3}}} (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

ステップ 1.1.10

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 x$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{1}{3 {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3}}} (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.1.11

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{3 {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3}}} (2 x - 2 \cdot 1)$

ステップ 1.1.12

$- 2$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{3 {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3}}} (2 x - 2)$

ステップ 1.1.13

簡約します。

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ステップ 1.1.13.1

$\frac{1}{3 {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3}}} (2 x - 2)$ の因数を並べ替えます。

$(2 x - 2) \frac{1}{3 {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 1.1.13.2

$2 x - 2$ に $\frac{1}{3 {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3}}}$ をかけます。

$\frac{2 x - 2}{3 {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 1.1.13.3

$2$ を $2 x - 2$ で因数分解します。

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ステップ 1.1.13.3.1

$2$ を $2 x$ で因数分解します。

$\frac{2 (x) - 2}{3 {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 1.1.13.3.2

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$\frac{2 (x) + 2 (- 1)}{3 {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 1.1.13.3.3

$2$ を $2 (x) + 2 (- 1)$ で因数分解します。

$f' (x) = \frac{2 (x - 1)}{3 {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $\frac{2 (x - 1)}{3 {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3}}}$ です。

$\frac{2 (x - 1)}{3 {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{2 (x - 1)}{3 {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3}}} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$\frac{2 (x - 1)}{3 {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3}}} = 0$

ステップ 2.2

分子を0に等しくします。

$2 (x - 1) = 0$

ステップ 2.3

$x$ について方程式を解きます。

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ステップ 2.3.1

$2 (x - 1) = 0$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.3.1.1

$2 (x - 1) = 0$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 (x - 1)}{2} = \frac{0}{2}$

ステップ 2.3.1.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.3.1.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.1.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 (x - 1)}{2} = \frac{0}{2}$

ステップ 2.3.1.2.1.2

$x - 1$ を $1$ で割ります。

$x - 1 = \frac{0}{2}$

ステップ 2.3.1.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.3.1.3.1

$0$ を $2$ で割ります。

$x - 1 = 0$

ステップ 2.3.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$x = 1$

ステップ 3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 3.1

法則 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ を当てはめ、累乗法を根で書き換えます。

$\frac{2 (x - 1)}{3 \sqrt[3]{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}}$

ステップ 3.2

$\frac{2 (x - 1)}{3 \sqrt[3]{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$3 \sqrt[3]{{(x^{2} - 2 x)}^{2}} = 0$

ステップ 3.3

$x$ について解きます。

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ステップ 3.3.1

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を3乗します。

${(3 \sqrt[3]{{(x^{2} - 2 x)}^{2}})}^{3} = 0^{3}$

ステップ 3.3.2

方程式の各辺を簡約します。

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ステップ 3.3.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$ を ${(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3}}$ に書き換えます。

${(3 {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

ステップ 3.3.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.3.2.2.1

${(3 {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3}})}^{3}$ を簡約します。

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ステップ 3.3.2.2.1.1

積の法則を $3 {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3}}$ に当てはめます。

$3^{3} {({(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

ステップ 3.3.2.2.1.2

$3$ を $3$ 乗します。

$27 {({(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

ステップ 3.3.2.2.1.3

${({(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3}})}^{3}$ の指数を掛けます。

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ステップ 3.3.2.2.1.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$27 {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

ステップ 3.3.2.2.1.3.2

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.2.2.1.3.2.1

共通因数を約分します。

$27 {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

ステップ 3.3.2.2.1.3.2.2

式を書き換えます。

$27 {(x^{2} - 2 x)}^{2} = 0^{3}$

ステップ 3.3.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.3.2.3.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$27 {(x^{2} - 2 x)}^{2} = 0$

ステップ 3.3.3

$x$ について解きます。

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ステップ 3.3.3.1

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 3.3.3.1.1

$x$ を $x^{2} - 2 x$ で因数分解します。

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ステップ 3.3.3.1.1.1

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$27 {(x \cdot x - 2 x)}^{2} = 0$

ステップ 3.3.3.1.1.2

$x$ を $- 2 x$ で因数分解します。

$27 {(x \cdot x + x \cdot - 2)}^{2} = 0$

ステップ 3.3.3.1.1.3

$x$ を $x \cdot x + x \cdot - 2$ で因数分解します。

$27 {(x (x - 2))}^{2} = 0$

ステップ 3.3.3.1.2

因数分解。

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ステップ 3.3.3.1.2.1

積の法則を $x (x - 2)$ に当てはめます。

$27 (x^{2} {(x - 2)}^{2}) = 0$

ステップ 3.3.3.1.2.2

不要な括弧を削除します。

$27 x^{2} {(x - 2)}^{2} = 0$

ステップ 3.3.3.2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x^{2} = 0$

${(x - 2)}^{2} = 0$

ステップ 3.3.3.3

$x^{2}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 3.3.3.3.1

$x^{2}$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} = 0$

ステップ 3.3.3.3.2

$x$ について $x^{2} = 0$ を解きます。

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ステップ 3.3.3.3.2.1

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{0}$

ステップ 3.3.3.3.2.2

$\pm \sqrt{0}$ を簡約します。

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ステップ 3.3.3.3.2.2.1

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

ステップ 3.3.3.3.2.2.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 0$

ステップ 3.3.3.3.2.2.3

プラスマイナス $0$ は $0$ です。

$x = 0$

ステップ 3.3.3.4

${(x - 2)}^{2}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 3.3.3.4.1

${(x - 2)}^{2}$ が $0$ に等しいとします。

${(x - 2)}^{2} = 0$

ステップ 3.3.3.4.2

$x$ について ${(x - 2)}^{2} = 0$ を解きます。

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ステップ 3.3.3.4.2.1

$x - 2$ が $0$ に等しいとします。

$x - 2 = 0$

ステップ 3.3.3.4.2.2

方程式の両辺に $2$ を足します。

$x = 2$

ステップ 3.3.3.5

最終解は $27 x^{2} {(x - 2)}^{2} = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, 2$

ステップ 3.4

分母が $0$ に等しい、平方根の引数が $0$ より小さい、または対数の引数が $0$ 以下の場合、方程式は未定義です。

$x = 0, x = 2$

ステップ 4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $\sqrt[3]{x^{2} - 2 x}$ の値を求めます。

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ステップ 4.1

$x = 1$ での値を求めます。

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ステップ 4.1.1

$1$ を $x$ に代入します。

$\sqrt[3]{{(1)}^{2} - 2 \cdot 1}$

ステップ 4.1.2

簡約します。

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ステップ 4.1.2.1

1のすべての数の累乗は1です。

$\sqrt[3]{1 - 2 \cdot 1}$

ステップ 4.1.2.2

$- 2$ に $1$ をかけます。

$\sqrt[3]{1 - 2}$

ステップ 4.1.2.3

$1$ から $2$ を引きます。

$\sqrt[3]{- 1}$

ステップ 4.1.2.4

$- 1$ を ${(- 1)}^{3}$ に書き換えます。

$\sqrt[3]{{(- 1)}^{3}}$

ステップ 4.1.2.5

実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$- 1$

ステップ 4.2

$x = 0$ での値を求めます。

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ステップ 4.2.1

$0$ を $x$ に代入します。

$\sqrt[3]{{(0)}^{2} - 2 \cdot 0}$

ステップ 4.2.2

簡約します。

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ステップ 4.2.2.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\sqrt[3]{0 - 2 \cdot 0}$

ステップ 4.2.2.2

$- 2$ に $0$ をかけます。

$\sqrt[3]{0 + 0}$

ステップ 4.2.2.3

$0$ と $0$ をたし算します。

$\sqrt[3]{0}$

ステップ 4.2.2.4

$0$ を $0^{3}$ に書き換えます。

$\sqrt[3]{0^{3}}$

ステップ 4.2.2.5

実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$0$

ステップ 4.3

$x = 2$ での値を求めます。

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ステップ 4.3.1

$2$ を $x$ に代入します。

$\sqrt[3]{{(2)}^{2} - 2 \cdot 2}$

ステップ 4.3.2

簡約します。

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ステップ 4.3.2.1

$2$ を $2$ 乗します。

$\sqrt[3]{4 - 2 \cdot 2}$

ステップ 4.3.2.2

$- 2$ に $2$ をかけます。

$\sqrt[3]{4 - 4}$

ステップ 4.3.2.3

$4$ から $4$ を引きます。

$\sqrt[3]{0}$

ステップ 4.3.2.4

$0$ を $0^{3}$ に書き換えます。

$\sqrt[3]{0^{3}}$

ステップ 4.3.2.5

実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$0$

ステップ 4.4

点のすべてを一覧にします。

$(1, - 1), (0, 0), (2, 0)$

ステップ 5

微分積分 例

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