微分積分例

$f (x) = \frac{x}{x - 1}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

$f (x) = x$ および $g (x) = x - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(x - 1) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.2

微分します。

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ステップ 1.1.2.1

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(x - 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.2

$x - 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{x - 1 - x \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.3

総和則では、 $x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$\frac{x - 1 - x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x - 1 - x (1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.5

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{x - 1 - x (1 + 0)}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.6

項を加えて簡約します。

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ステップ 1.1.2.6.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{x - 1 - x \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.6.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{x - 1 - x}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.6.3

$x$ から $x$ を引きます。

$\frac{0 - 1}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.6.4

式を簡約します。

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ステップ 1.1.2.6.4.1

$0$ から $1$ を引きます。

$\frac{- 1}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.6.4.2

分数の前に負数を移動させます。

$f' (x) = - \frac{1}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $- \frac{1}{{(x - 1)}^{2}}$ です。

$- \frac{1}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- \frac{1}{{(x - 1)}^{2}} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$- \frac{1}{{(x - 1)}^{2}} = 0$

ステップ 2.2

分子を0に等しくします。

$1 = 0$

ステップ 2.3

$1 \neq 0$ なので、解はありません。

解がありません

ステップ 3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 3.1

$\frac{1}{{(x - 1)}^{2}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

${(x - 1)}^{2} = 0$

ステップ 3.2

$x$ について解きます。

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ステップ 3.2.1

$x - 1$ が $0$ に等しいとします。

$x - 1 = 0$

ステップ 3.2.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$x = 1$

ステップ 4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $\frac{x}{x - 1}$ の値を求めます。

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ステップ 4.1

$x = 1$ での値を求めます。

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ステップ 4.1.1

$1$ を $x$ に代入します。

$\frac{1}{(1) - 1}$

ステップ 4.1.2

簡約します。

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ステップ 4.1.2.1

$1$ から $1$ を引きます。

$\frac{1}{0}$

ステップ 4.1.2.2

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

ステップ 5

微分係数が $0$ または未定義であるという、元の問題の定義域に $x$ の値はありません。

臨界点が見つかりません

微分積分 例

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