微分積分例

$f (x) = x^{2} - 4 \sqrt{x}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

微分します。

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ステップ 1.1.1.1

総和則では、 $x^{2} - 4 \sqrt{x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 \sqrt{x}]$ です。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4 \sqrt{x})$

ステップ 1.1.1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 2 x + \frac{d}{d x} (- 4 \sqrt{x})$

ステップ 1.1.2

$\frac{d}{d x} [- 4 \sqrt{x}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$f' (x) = 2 x + \frac{d}{d x} (- 4 x^{\frac{1}{2}})$

ステップ 1.1.2.2

$- 4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 4 x^{\frac{1}{2}}$ の微分係数は $- 4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ です。

$f' (x) = 2 x - 4 \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{2}}$

ステップ 1.1.2.3

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 2 x - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

ステップ 1.1.2.4

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$f' (x) = 2 x - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

ステップ 1.1.2.5

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$f' (x) = 2 x - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

ステップ 1.1.2.6

公分母の分子をまとめます。

$f' (x) = 2 x - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

ステップ 1.1.2.7

分子を簡約します。

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ステップ 1.1.2.7.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$f' (x) = 2 x - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

ステップ 1.1.2.7.2

$1$ から $2$ を引きます。

$f' (x) = 2 x - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

ステップ 1.1.2.8

分数の前に負数を移動させます。

$f' (x) = 2 x - 4 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

ステップ 1.1.2.9

$\frac{1}{2}$ と $x^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$f' (x) = 2 x - 4 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

ステップ 1.1.2.10

$- 4$ と $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ をまとめます。

$f' (x) = 2 x + \frac{- 4 x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

ステップ 1.1.2.11

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$f' (x) = 2 x + \frac{- 4}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.1.2.12

$2$ を $- 4$ で因数分解します。

$f' (x) = 2 x + \frac{2 \cdot - 2}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.1.2.13

共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.2.13.1

$2$ を $2 x^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

$f' (x) = 2 x + \frac{2 \cdot - 2}{2 (x^{\frac{1}{2}})}$

ステップ 1.1.2.13.2

共通因数を約分します。

$f' (x) = 2 x + \frac{2 \cdot - 2}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.1.2.13.3

式を書き換えます。

$f' (x) = 2 x + \frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.1.2.14

分数の前に負数を移動させます。

$f' (x) = 2 x - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $2 x - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$ です。

$2 x - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $2 x - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$2 x - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$

ステップ 2.2

方程式の項の最小公分母を求めます。

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ステップ 2.2.1

値のリストの最小公分母を求めることは、それらの値の分母の最小公倍数を求めることと同じです。

$1, x^{\frac{1}{2}}, 1$

ステップ 2.2.2

1と任意の式の最小公倍数はその式です。

$x^{\frac{1}{2}}$

ステップ 2.3

$2 x - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$ の各項に $x^{\frac{1}{2}}$ を掛け、分数を消去します。

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ステップ 2.3.1

$2 x - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$ の各項に $x^{\frac{1}{2}}$ を掛けます。

$2 x \cdot x^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 0 x^{\frac{1}{2}}$

ステップ 2.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.3.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.3.2.1.1

指数を足して $x$ に $x^{\frac{1}{2}}$ を掛けます。

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ステップ 2.3.2.1.1.1

$x^{\frac{1}{2}}$ を移動させます。

$2 (x^{\frac{1}{2}} x) - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 0 x^{\frac{1}{2}}$

ステップ 2.3.2.1.1.2

$x^{\frac{1}{2}}$ に $x$ をかけます。

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ステップ 2.3.2.1.1.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$2 (x^{\frac{1}{2}} x^{1}) - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 0 x^{\frac{1}{2}}$

ステップ 2.3.2.1.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$2 x^{\frac{1}{2} + 1} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 0 x^{\frac{1}{2}}$

ステップ 2.3.2.1.1.3

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$2 x^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 0 x^{\frac{1}{2}}$

ステップ 2.3.2.1.1.4

公分母の分子をまとめます。

$2 x^{\frac{1 + 2}{2}} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 0 x^{\frac{1}{2}}$

ステップ 2.3.2.1.1.5

$1$ と $2$ をたし算します。

$2 x^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 0 x^{\frac{1}{2}}$

ステップ 2.3.2.1.2

$x^{\frac{1}{2}}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.2.1.2.1

$- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$2 x^{\frac{3}{2}} + \frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 0 x^{\frac{1}{2}}$

ステップ 2.3.2.1.2.2

共通因数を約分します。

$2 x^{\frac{3}{2}} + \frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 0 x^{\frac{1}{2}}$

ステップ 2.3.2.1.2.3

式を書き換えます。

$2 x^{\frac{3}{2}} - 2 = 0 x^{\frac{1}{2}}$

ステップ 2.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.3.3.1

$0$ に $x^{\frac{1}{2}}$ をかけます。

$2 x^{\frac{3}{2}} - 2 = 0$

ステップ 2.4

方程式を解きます。

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ステップ 2.4.1

方程式の両辺に $2$ を足します。

$2 x^{\frac{3}{2}} = 2$

ステップ 2.4.2

方程式の両辺を $\frac{2}{3}$ 乗し、左辺の分数指数を消去します。

${(2 x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}} = 2^{\frac{2}{3}}$

ステップ 2.4.3

左辺を簡約します。

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ステップ 2.4.3.1

${(2 x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}$ を簡約します。

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ステップ 2.4.3.1.1

積の法則を $2 x^{\frac{3}{2}}$ に当てはめます。

$2^{\frac{2}{3}} {(x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}} = 2^{\frac{2}{3}}$

ステップ 2.4.3.1.2

${(x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.4.3.1.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$2^{\frac{2}{3}} x^{\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}} = 2^{\frac{2}{3}}$

ステップ 2.4.3.1.2.2

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.4.3.1.2.2.1

共通因数を約分します。

$2^{\frac{2}{3}} x^{\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}} = 2^{\frac{2}{3}}$

ステップ 2.4.3.1.2.2.2

式を書き換えます。

$2^{\frac{2}{3}} x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 2^{\frac{2}{3}}$

ステップ 2.4.3.1.2.3

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.3.1.2.3.1

共通因数を約分します。

$2^{\frac{2}{3}} x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 2^{\frac{2}{3}}$

ステップ 2.4.3.1.2.3.2

式を書き換えます。

$2^{\frac{2}{3}} x^{1} = 2^{\frac{2}{3}}$

ステップ 2.4.3.1.3

簡約します。

$2^{\frac{2}{3}} x = 2^{\frac{2}{3}}$

ステップ 2.4.3.1.4

$2^{\frac{2}{3}} x$ の因数を並べ替えます。

$x \cdot 2^{\frac{2}{3}} = 2^{\frac{2}{3}}$

ステップ 2.4.4

$x \cdot 2^{\frac{2}{3}} = 2^{\frac{2}{3}}$ の各項を $2^{\frac{2}{3}}$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.4.4.1

$x \cdot 2^{\frac{2}{3}} = 2^{\frac{2}{3}}$ の各項を $2^{\frac{2}{3}}$ で割ります。

$\frac{x \cdot 2^{\frac{2}{3}}}{2^{\frac{2}{3}}} = \frac{2^{\frac{2}{3}}}{2^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 2.4.4.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.4.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{x \cdot 2^{\frac{2}{3}}}{2^{\frac{2}{3}}} = \frac{2^{\frac{2}{3}}}{2^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 2.4.4.2.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{2^{\frac{2}{3}}}{2^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 2.4.4.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.4.3.1

共通因数を約分します。

$x = \frac{2^{\frac{2}{3}}}{2^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 2.4.4.3.2

式を書き換えます。

$x = 1$

ステップ 3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 3.1

分数指数をもつ式を根に変換します。

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ステップ 3.1.1

法則 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ を当てはめ、累乗法を根で書き換えます。

$2 x - \frac{2}{\sqrt{x^{1}}}$

ステップ 3.1.2

$1$ に乗じたものは底そのものです。

$2 x - \frac{2}{\sqrt{x}}$

ステップ 3.2

$\frac{2}{\sqrt{x}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$\sqrt{x} = 0$

ステップ 3.3

$x$ について解きます。

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ステップ 3.3.1

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を2乗します。

${\sqrt{x}}^{2} = 0^{2}$

ステップ 3.3.2

方程式の各辺を簡約します。

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ステップ 3.3.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

ステップ 3.3.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.3.2.2.1

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ を簡約します。

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ステップ 3.3.2.2.1.1

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 3.3.2.2.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

ステップ 3.3.2.2.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.2.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

ステップ 3.3.2.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

$x^{1} = 0^{2}$

ステップ 3.3.2.2.1.2

簡約します。

$x = 0^{2}$

ステップ 3.3.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.3.2.3.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$x = 0$

ステップ 3.4

$\sqrt{x}$ の被開数を $0$ より小さいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x < 0$

ステップ 3.5

分母が $0$ に等しい、平方根の引数が $0$ より小さい、または対数の引数が $0$ 以下の場合、方程式は未定義です。

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

ステップ 4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $x^{2} - 4 \sqrt{x}$ の値を求めます。

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ステップ 4.1

$x = 1$ での値を求めます。

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ステップ 4.1.1

$1$ を $x$ に代入します。

${(1)}^{2} - 4 \sqrt{1}$

ステップ 4.1.2

簡約します。

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ステップ 4.1.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.1.2.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$1 - 4 \sqrt{1}$

ステップ 4.1.2.1.2

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$1 - 4 \cdot 1$

ステップ 4.1.2.1.3

$- 4$ に $1$ をかけます。

$1 - 4$

ステップ 4.1.2.2

$1$ から $4$ を引きます。

$- 3$

ステップ 4.2

$x = 0$ での値を求めます。

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ステップ 4.2.1

$0$ を $x$ に代入します。

${(0)}^{2} - 4 \sqrt{0}$

ステップ 4.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$0 - 4 \sqrt{0}$

ステップ 4.2.2.1.2

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$0 - 4 \sqrt{0^{2}}$

ステップ 4.2.2.1.3

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$0 - 4 \cdot 0$

ステップ 4.2.2.1.4

$- 4$ に $0$ をかけます。

$0 + 0$

ステップ 4.2.2.2

$0$ と $0$ をたし算します。

$0$

ステップ 4.3

点のすべてを一覧にします。

$(1, - 3), (0, 0)$

ステップ 5

微分積分 例

微分積分例