微分積分例

$x^{6} e^{x} - 5$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

総和則では、 $x^{6} e^{x} - 5$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{6} e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{6} e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

ステップ 1.1.2

$\frac{d}{d x} [x^{6} e^{x}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

$f (x) = x^{6}$ および $g (x) = e^{x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x^{6} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

ステップ 1.1.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$x^{6} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

ステップ 1.1.2.3

$n = 6$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{6} e^{x} + e^{x} (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} [- 5]$

ステップ 1.1.3

$- 5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 5$ の微分係数は $0$ です。

$x^{6} e^{x} + e^{x} (6 x^{5}) + 0$

ステップ 1.1.4

簡約します。

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ステップ 1.1.4.1

$x^{6} e^{x} + e^{x} (6 x^{5})$ と $0$ をたし算します。

$x^{6} e^{x} + e^{x} (6 x^{5})$

ステップ 1.1.4.2

項を並べ替えます。

$e^{x} x^{6} + 6 e^{x} x^{5}$

ステップ 1.1.4.3

$e^{x} x^{6} + 6 e^{x} x^{5}$ の因数を並べ替えます。

$f' (x) = x^{6} e^{x} + 6 x^{5} e^{x}$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $x^{6} e^{x} + 6 x^{5} e^{x}$ です。

$x^{6} e^{x} + 6 x^{5} e^{x}$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $x^{6} e^{x} + 6 x^{5} e^{x} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$x^{6} e^{x} + 6 x^{5} e^{x} = 0$

ステップ 2.2

$x^{5} e^{x}$ を $x^{6} e^{x} + 6 x^{5} e^{x}$ で因数分解します。

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ステップ 2.2.1

$x^{5} e^{x}$ を $x^{6} e^{x}$ で因数分解します。

$x^{5} e^{x} (x) + 6 x^{5} e^{x} = 0$

ステップ 2.2.2

$x^{5} e^{x}$ を $6 x^{5} e^{x}$ で因数分解します。

$x^{5} e^{x} (x) + x^{5} e^{x} (6) = 0$

ステップ 2.2.3

$x^{5} e^{x}$ を $x^{5} e^{x} (x) + x^{5} e^{x} (6)$ で因数分解します。

$x^{5} e^{x} (x + 6) = 0$

ステップ 2.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x^{5} = 0$

$e^{x} = 0$

$x + 6 = 0$

ステップ 2.4

$x^{5}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.4.1

$x^{5}$ が $0$ に等しいとします。

$x^{5} = 0$

ステップ 2.4.2

$x$ について $x^{5} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.4.2.1

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \sqrt[5]{0}$

ステップ 2.4.2.2

$\sqrt[5]{0}$ を簡約します。

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ステップ 2.4.2.2.1

$0$ を $0^{5}$ に書き換えます。

$x = \sqrt[5]{0^{5}}$

ステップ 2.4.2.2.2

実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = 0$

ステップ 2.5

$e^{x}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.5.1

$e^{x}$ が $0$ に等しいとします。

$e^{x} = 0$

ステップ 2.5.2

$x$ について $e^{x} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.5.2.1

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

ステップ 2.5.2.2

$\ln (0)$ が未定義なので、方程式は解くことができません。

未定義

ステップ 2.5.2.3

$e^{x} = 0$ の解はありません

解がありません

ステップ 2.6

$x + 6$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.6.1

$x + 6$ が $0$ に等しいとします。

$x + 6 = 0$

ステップ 2.6.2

方程式の両辺から $6$ を引きます。

$x = - 6$

ステップ 2.7

最終解は $x^{5} e^{x} (x + 6) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, - 6$

ステップ 3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 3.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $x^{6} e^{x} - 5$ の値を求めます。

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ステップ 4.1

$x = 0$ での値を求めます。

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ステップ 4.1.1

$0$ を $x$ に代入します。

${(0)}^{6} e^{0} - 5$

ステップ 4.1.2

簡約します。

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ステップ 4.1.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.1.2.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$0 e^{0} - 5$

ステップ 4.1.2.1.2

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$0 \cdot 1 - 5$

ステップ 4.1.2.1.3

$0$ に $1$ をかけます。

$0 - 5$

ステップ 4.1.2.2

$0$ から $5$ を引きます。

$- 5$

ステップ 4.2

$x = - 6$ での値を求めます。

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ステップ 4.2.1

$- 6$ を $x$ に代入します。

${(- 6)}^{6} e^{- 6} - 5$

ステップ 4.2.2

各項を簡約します。

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ステップ 4.2.2.1

$- 6$ を $6$ 乗します。

$46656 e^{- 6} - 5$

ステップ 4.2.2.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$46656 \frac{1}{e^{6}} - 5$

ステップ 4.2.2.3

$46656$ と $\frac{1}{e^{6}}$ をまとめます。

$\frac{46656}{e^{6}} - 5$

ステップ 4.3

点のすべてを一覧にします。

$(0, - 5), (- 6, \frac{46656}{e^{6}} - 5)$

ステップ 5

微分積分 例

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