微分積分例

$x^{2} e^{x}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = e^{x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.1.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$x^{2} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.1.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)$

ステップ 1.1.4

簡約します。

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ステップ 1.1.4.1

項を並べ替えます。

$e^{x} x^{2} + 2 e^{x} x$

ステップ 1.1.4.2

$e^{x} x^{2} + 2 e^{x} x$ の因数を並べ替えます。

$f' (x) = x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$ です。

$x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} = 0$

ステップ 2.2

$x e^{x}$ を $x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$ で因数分解します。

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ステップ 2.2.1

$x e^{x}$ を $x^{2} e^{x}$ で因数分解します。

$x e^{x} (x) + 2 x e^{x} = 0$

ステップ 2.2.2

$x e^{x}$ を $2 x e^{x}$ で因数分解します。

$x e^{x} (x) + x e^{x} (2) = 0$

ステップ 2.2.3

$x e^{x}$ を $x e^{x} (x) + x e^{x} (2)$ で因数分解します。

$x e^{x} (x + 2) = 0$

ステップ 2.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

$e^{x} = 0$

$x + 2 = 0$

ステップ 2.4

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

ステップ 2.5

$e^{x}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.5.1

$e^{x}$ が $0$ に等しいとします。

$e^{x} = 0$

ステップ 2.5.2

$x$ について $e^{x} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.5.2.1

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

ステップ 2.5.2.2

$\ln (0)$ が未定義なので、方程式は解くことができません。

未定義

ステップ 2.5.2.3

$e^{x} = 0$ の解はありません

解がありません

ステップ 2.6

$x + 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.6.1

$x + 2$ が $0$ に等しいとします。

$x + 2 = 0$

ステップ 2.6.2

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$x = - 2$

ステップ 2.7

最終解は $x e^{x} (x + 2) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, - 2$

ステップ 3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 3.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $x^{2} e^{x}$ の値を求めます。

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ステップ 4.1

$x = 0$ での値を求めます。

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ステップ 4.1.1

$0$ を $x$ に代入します。

${(0)}^{2} e^{0}$

ステップ 4.1.2

簡約します。

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ステップ 4.1.2.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$0 e^{0}$

ステップ 4.1.2.2

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$0 \cdot 1$

ステップ 4.1.2.3

$0$ に $1$ をかけます。

$0$

ステップ 4.2

$x = - 2$ での値を求めます。

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ステップ 4.2.1

$- 2$ を $x$ に代入します。

${(- 2)}^{2} e^{- 2}$

ステップ 4.2.2

簡約します。

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ステップ 4.2.2.1

$- 2$ を $2$ 乗します。

$4 e^{- 2}$

ステップ 4.2.2.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$4 \frac{1}{e^{2}}$

ステップ 4.2.2.3

$4$ と $\frac{1}{e^{2}}$ をまとめます。

$\frac{4}{e^{2}}$

ステップ 4.3

点のすべてを一覧にします。

$(0, 0), (- 2, \frac{4}{e^{2}})$

ステップ 5

微分積分 例

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