微分積分例

$x^{2} e^{8 x}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = e^{8 x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x^{2} \frac{d}{d x} [e^{8 x}] + e^{8 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.1.2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = 8 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $8 x$ とします。

$x^{2} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [8 x]) + e^{8 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.1.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$x^{2} (e^{u} \frac{d}{d x} [8 x]) + e^{8 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.1.2.3

$u$ のすべての発生を $8 x$ で置き換えます。

$x^{2} (e^{8 x} \frac{d}{d x} [8 x]) + e^{8 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.1.3

微分します。

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ステップ 1.1.3.1

$8$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $8 x$ の微分係数は $8 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$x^{2} (e^{8 x} (8 \frac{d}{d x} [x])) + e^{8 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{2} (e^{8 x} (8 \cdot 1)) + e^{8 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.1.3.3

式を簡約します。

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ステップ 1.1.3.3.1

$8$ に $1$ をかけます。

$x^{2} (e^{8 x} \cdot 8) + e^{8 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.1.3.3.2

$8$ を $e^{8 x}$ の左に移動させます。

$x^{2} (8 \cdot e^{8 x}) + e^{8 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.1.3.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{2} (8 e^{8 x}) + e^{8 x} (2 x)$

ステップ 1.1.4

簡約します。

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ステップ 1.1.4.1

項を並べ替えます。

$8 e^{8 x} x^{2} + 2 e^{8 x} x$

ステップ 1.1.4.2

$8 e^{8 x} x^{2} + 2 e^{8 x} x$ の因数を並べ替えます。

$f' (x) = 8 x^{2} e^{8 x} + 2 x e^{8 x}$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $8 x^{2} e^{8 x} + 2 x e^{8 x}$ です。

$8 x^{2} e^{8 x} + 2 x e^{8 x}$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $8 x^{2} e^{8 x} + 2 x e^{8 x} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$8 x^{2} e^{8 x} + 2 x e^{8 x} = 0$

ステップ 2.2

$2 x e^{8 x}$ を $8 x^{2} e^{8 x} + 2 x e^{8 x}$ で因数分解します。

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ステップ 2.2.1

$2 x e^{8 x}$ を $8 x^{2} e^{8 x}$ で因数分解します。

$2 x e^{8 x} (4 x) + 2 x e^{8 x} = 0$

ステップ 2.2.2

$2 x e^{8 x}$ を $2 x e^{8 x}$ で因数分解します。

$2 x e^{8 x} (4 x) + 2 x e^{8 x} (1) = 0$

ステップ 2.2.3

$2 x e^{8 x}$ を $2 x e^{8 x} (4 x) + 2 x e^{8 x} (1)$ で因数分解します。

$2 x e^{8 x} (4 x + 1) = 0$

ステップ 2.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

$e^{8 x} = 0$

$4 x + 1 = 0$

ステップ 2.4

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

ステップ 2.5

$e^{8 x}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.5.1

$e^{8 x}$ が $0$ に等しいとします。

$e^{8 x} = 0$

ステップ 2.5.2

$x$ について $e^{8 x} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.5.2.1

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (e^{8 x}) = \ln (0)$

ステップ 2.5.2.2

$\ln (0)$ が未定義なので、方程式は解くことができません。

未定義

ステップ 2.5.2.3

$e^{8 x} = 0$ の解はありません

解がありません

ステップ 2.6

$4 x + 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.6.1

$4 x + 1$ が $0$ に等しいとします。

$4 x + 1 = 0$

ステップ 2.6.2

$x$ について $4 x + 1 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.6.2.1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$4 x = - 1$

ステップ 2.6.2.2

$4 x = - 1$ の各項を $4$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.6.2.2.1

$4 x = - 1$ の各項を $4$ で割ります。

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 1}{4}$

ステップ 2.6.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.6.2.2.2.1

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.6.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 1}{4}$

ステップ 2.6.2.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 1}{4}$

ステップ 2.6.2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.6.2.2.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{1}{4}$

ステップ 2.7

最終解は $2 x e^{8 x} (4 x + 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, - \frac{1}{4}$

ステップ 3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 3.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $x^{2} e^{8 x}$ の値を求めます。

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ステップ 4.1

$x = 0$ での値を求めます。

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ステップ 4.1.1

$0$ を $x$ に代入します。

${(0)}^{2} e^{8 (0)}$

ステップ 4.1.2

簡約します。

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ステップ 4.1.2.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$0 e^{8 (0)}$

ステップ 4.1.2.2

$8$ に $0$ をかけます。

$0 e^{0}$

ステップ 4.1.2.3

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$0 \cdot 1$

ステップ 4.1.2.4

$0$ に $1$ をかけます。

$0$

ステップ 4.2

$x = - \frac{1}{4}$ での値を求めます。

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ステップ 4.2.1

$- \frac{1}{4}$ を $x$ に代入します。

${(- \frac{1}{4})}^{2} e^{8 (- \frac{1}{4})}$

ステップ 4.2.2

簡約します。

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ステップ 4.2.2.1

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

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ステップ 4.2.2.1.1

積の法則を $- \frac{1}{4}$ に当てはめます。

${(- 1)}^{2} {(\frac{1}{4})}^{2} e^{8 (- \frac{1}{4})}$

ステップ 4.2.2.1.2

積の法則を $\frac{1}{4}$ に当てはめます。

${(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{4^{2}} e^{8 (- \frac{1}{4})}$

ステップ 4.2.2.2

式を簡約します。

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ステップ 4.2.2.2.1

$- 1$ を $2$ 乗します。

$1 \frac{1^{2}}{4^{2}} e^{8 (- \frac{1}{4})}$

ステップ 4.2.2.2.2

$\frac{1^{2}}{4^{2}}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1^{2}}{4^{2}} e^{8 (- \frac{1}{4})}$

ステップ 4.2.2.2.3

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{1}{4^{2}} e^{8 (- \frac{1}{4})}$

ステップ 4.2.2.2.4

$4$ を $2$ 乗します。

$\frac{1}{16} e^{8 (- \frac{1}{4})}$

ステップ 4.2.2.3

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.2.3.1

$- \frac{1}{4}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{1}{16} e^{8 (\frac{- 1}{4})}$

ステップ 4.2.2.3.2

$4$ を $8$ で因数分解します。

$\frac{1}{16} e^{4 (2) \frac{- 1}{4}}$

ステップ 4.2.2.3.3

共通因数を約分します。

$\frac{1}{16} e^{4 \cdot 2 \frac{- 1}{4}}$

ステップ 4.2.2.3.4

式を書き換えます。

$\frac{1}{16} e^{2 \cdot - 1}$

ステップ 4.2.2.4

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{16} e^{- 2}$

ステップ 4.2.2.5

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\frac{1}{16} \cdot \frac{1}{e^{2}}$

ステップ 4.2.2.6

まとめる。

$\frac{1 \cdot 1}{16 e^{2}}$

ステップ 4.2.2.7

$1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{16 e^{2}}$

ステップ 4.3

点のすべてを一覧にします。

$(0, 0), (- \frac{1}{4}, \frac{1}{16 e^{2}})$

ステップ 5

微分積分 例

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